變截面框剪結構二階效應分析的初參數法

張 華，黃 鸝，胡啟平

（1.河北科技大學建筑工程學院，河北石家莊 050018；2.河北工程大學土木學院，河北邯鄲 056038）

隨著建筑物不斷向高處發展，結構的側向剛度相對減小，加之高層建筑巨大的豎向荷載，使結構豎向荷載與水平荷載相互影響的二階效應分析變得非常重要［1-3］。

框架-剪力墻結構作為傳統的三大結構體系之一，其計算理論發展得比較成熟［4-7］，但對于變截面框剪結構的簡化計算尚有待于進一步完善。筆者曾用狀態空間法分析過變截面高層建筑的簡化計算問題［8-10］，現擬沿用傳統假設，采用分段連續化模型，把結構看成變截面剪彎梁，總剪力墻采用彎曲梁模型，總框架采用剪切梁模型［7］，對上述模型建立二階分析的微分方程，寫出其矩陣形式的初參數解，以期得到一種簡單實用的計算方法。

1 二階分析的初參數解

高層框剪結構的梁柱截面尺寸或材料強度等級往往沿豎向分階段變化，形成多階變截面結構。為了簡化計算，并充分考慮多階變截面的影響，將結構沿豎向分階段連續化，每一階段內結構為等截面，并假定僅在樓層標高處作用豎向荷載，將結構按樓層分成n段，如圖1所示。

圖1 結構計算簡圖Fig.1 Model of the structure

設結構的總高度為H，第i（i＝1，2，…，n）層結構總剪力墻的抗彎剛度為Dwi，總框架的剪切剛度為Cfi，總連梁的約束剛度系數為Cli（它們的定義及求法見文獻［5］），軸向壓力為Ni（見圖2）。

圖2 第i層結構受力圖Fig.2 Loads of storey i

考慮二階效應時第i層結構的控制微分方程為［7］

式中Ni＝Pi＋Pi＋1＋…＋Pn。

結構的轉角θ、總剪力墻彎矩Mw、結構的總剪力Q可分別表示為

1）當Cfi＋Cli-Ni＞0時

式（3）的初參數形式的解為

式中：yi-1，θi-1，Mw，i-1，Qi-1分別為第（i-1）層樓板標高處結構的總位移、轉角、剪力墻的彎矩和結構的總剪力；yq1為荷載q引起的特解。

式中

2）當Cfi＋Cli-Ni＝0時

式（1）改寫成式（7）形式。

式（7）矩陣形式的初參數解同式（5），其中：

3）當Cfi＋Cli-Ni＜0時

式（9）矩陣形式的初參數解同式（5），其中

第i層結構的水平荷載一般為梯形分布荷載，設第i層結構層高為hi，則

對于上述3種情況，在水平荷載作用下的特解分別為

2 內力計算方法

在式（5）中令ξ＝ξi可得：

再令［Ai］＝［Ai（ξi-ξi-1）］，則矩陣［Ai］就是變截面框剪結構二階分析時第i層結構的傳遞矩陣。由式（15）遞推可得：

記［A］＝［An］［An-1］…［A1］，則五階方陣［A］即為結構二階分析時的整體傳遞矩陣。即

結構的邊界條件為

由式（17）及邊界條件（18）聯立，可以建立一個二元一次方程組，求解這組方程即可確定出問題的初參數，進而可以求出結構任一高度處的內力和變形。

3 算 例

某20層框-剪結構，層高h＝4.2m，總高度H＝84m，建筑物總重G＝305 760kN，經計算Dw＝7.00×109kN·m2，Cf＝3.59×106kN，Cl＝1.68×106kN。建筑物承受倒三角形分布水平荷載作用，頂部的荷載集度q＝250kN／m。按本文計算方法算出的部分樓層的水平位移等參數，以及文獻［7］的計算結果見表1。

表1 結構的水平位移及內力Tab.1 Lateral displacement and internal forces

本文算例的計算結果與參考文獻［7］中的計算結果非常接近，說明了初參數法的正確性和合理性。此外本文是先寫出微分方程矩陣形式的初參數解，然后只需在MATLAB中簡單編程即可求出結構在任一位置處的變形和內力，其思路簡捷，計算方便，是一種合理、實用的簡化計算方法。

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