非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格下大范圍波生流模擬和應(yīng)用

王 平，張寧川

(大連理工大學(xué)海岸和近海工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧大連 116024)

波浪在向近岸海域傳播的過程中，由于地形的影響會(huì)發(fā)生變形、破碎等現(xiàn)象，伴隨著質(zhì)量、動(dòng)量和能量的輸運(yùn)及傳遞，進(jìn)而形成強(qiáng)度和影響范圍都較大的近岸流。在近岸海域，波生沿岸流的現(xiàn)象非常普遍，尤其在淺水和河口區(qū)域更加顯著，對近岸地貌變遷、泥沙輸運(yùn)以及近海污染物輸運(yùn)等都有重要的影響。故在近岸潮流、泥沙和污染物輸運(yùn)的模擬時(shí)考慮波浪的影響必不可少。

目前波生沿岸流數(shù)值模擬方法主要有兩種，一種是基于Boussinesq方程的波生流模型［1］，該模型將波浪和流場的計(jì)算融合到一個(gè)控制方程中;第二種是建立在Longuet-Higgins和Stewart［2］提出的波浪輻射應(yīng)力理論的基礎(chǔ)上，該方法是將波浪場計(jì)算得到的輻射應(yīng)力等波浪影響參量作為驅(qū)動(dòng)因素添加到潮流場的控制方程中，很多學(xué)者對該方法進(jìn)行了大量的數(shù)值模擬和研究，得到了一定的結(jié)果。已有的基于輻射應(yīng)力理論模擬近岸波生流的方法，較多采用有限差分法對控制方程在矩形網(wǎng)格下進(jìn)行數(shù)值離散，如包西林［3］、Sun［4］、Yoon［5］和 Tang［6］等，但實(shí)際工程中邊界多為不規(guī)則形狀，矩形網(wǎng)格對其擬合的精度較差。Wu［7］、李孟國［8］和唐軍［9］等建立了基于三角形網(wǎng)格的波生流模型，但其波浪場都是基于緩坡方程，計(jì)算時(shí)網(wǎng)格步長受制于波長的限制，造成計(jì)算大范圍波浪場時(shí)的效率較低，且不能和流場同步耦合。Choi［10］、朱首賢［11］、王彪［12］等將SWAN模型模擬得到的輻射應(yīng)力添加到潮流模型中得到一種考慮波浪作用的流場模型，該方法解決了波生流計(jì)算時(shí)波浪場和潮流場不同尺度的問題，使得波浪和流場可以同步耦合，但受模式的限制在模擬中均未考慮波浪紊動(dòng)的影響，同時(shí)在非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格中SWAN模型并未考慮繞射的影響。

從含流的緩坡方程［13］出發(fā)，推出光程函數(shù)方程，聯(lián)立光程函數(shù)方程和波作用守恒方程建立了基于非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格下考慮繞射效應(yīng)的波浪模型，將波浪場模擬得到的輻射應(yīng)力和紊動(dòng)系數(shù)等同步添加到流場模型(FVCOM［14］)中得到基于非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格下的大范圍波生流數(shù)值模式。其中波浪場模型的計(jì)算不受波長的限制，適用于近岸大范圍波生流計(jì)算，同時(shí)使得波浪場和流場可以同步耦合計(jì)算。對所建立的模型進(jìn)行了多個(gè)算例驗(yàn)證，數(shù)值模式的結(jié)果與實(shí)測吻合較好，驗(yàn)證了模型精度、可靠性以及對復(fù)雜邊界的適應(yīng)性。同時(shí)將模型應(yīng)用于大連近岸區(qū)域，對常見浪在大連近岸區(qū)域產(chǎn)生的波生流進(jìn)行了研究，驗(yàn)證了模式對大范圍區(qū)域波生流計(jì)算的適用性。

1 數(shù)值模式

1.1 近岸波浪場控制方程

Kirby［12］推導(dǎo)出的含流非定常波浪方程，其表達(dá)式為:

其中方程左端第三項(xiàng)和第四項(xiàng)為波能密度在θ方向和σ方向的傳播，右端為源匯項(xiàng)，可以包括波浪破碎，底摩阻等對能量的影響。利用波數(shù)矢K替代波數(shù)k的求解，可以計(jì)算繞射對波高的影響。改進(jìn)后波速、波群速以及波能在θ和σ方向的傳播速度分別為:

聯(lián)立式(2)、式(4)建立包含繞射的波浪計(jì)算模式，該模式在空間網(wǎng)格上的劃分不再受波長的限制，可以用于大范圍波浪傳播計(jì)算;同時(shí)利用有限體積法對控制方程進(jìn)行離散，離散基于非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格可以和目前比較通用的流場模型同步耦合，且對復(fù)雜的岸線能很好的擬合;而且光程函數(shù)方程可以有效改善模型在計(jì)算近岸復(fù)雜海域的波浪繞射效應(yīng)［16］，提高了模型計(jì)算近岸波浪傳播的精度。

1.2 近岸波生流控制方程

流場模型采用修改后的三維水動(dòng)力模型FVCOM，其水動(dòng)力方程采用在ζ坐標(biāo)系下的三維Navier-Stokes方程組，同時(shí)引入三維波生時(shí)均剩余動(dòng)量和波浪的紊動(dòng)摻混效應(yīng)對水體的影響，方程基本形式見式(5)、式(7):

式中:η為自由水面;x和y為水平坐標(biāo);ζ=(z-η)/D為轉(zhuǎn)換后的垂向坐標(biāo);w為ζ坐標(biāo)系下的垂向流速分量;u和v為水平流速分量;Kmc為波流共存的垂向紊動(dòng)粘性系數(shù);Amc為波流共存的水平紊動(dòng)粘性系數(shù);R為波浪輻射應(yīng)力項(xiàng)。

對波流共同作用下的紊動(dòng)系數(shù)采用文獻(xiàn)［17］的方法，即分別單獨(dú)求解水流與波浪引起的紊動(dòng)系數(shù)A和K，并將其線性疊加，可表述為:

波浪引起的紊動(dòng)系數(shù)Aw和Kw計(jì)算均采用Larson-Kraus公式計(jì)算，Aw=Kw=λumaxH=2λH2cosh(1+σ)kD)/Tsinh(kD)，式中umax為波浪底部質(zhì)點(diǎn)最大流速;λ為無因次系數(shù)。

水流引起的水平紊動(dòng)系數(shù)采用Smagorinsky公式(10)。式中C為常數(shù);Ω為控制單元體面積。水流引起的垂向紊動(dòng)系數(shù)Km采用Mellor-Yamada紊流閉合模型求解。

FVCOM模型采用外模和內(nèi)模分別計(jì)算的方法，其中外模為沿深度平均的二維流場計(jì)算，內(nèi)模為沿深度分層的三維流場計(jì)算。計(jì)算波浪對流場的影響時(shí)，在外模和內(nèi)模均考慮輻射應(yīng)力項(xiàng)。波浪輻射應(yīng)力分項(xiàng)采用波能E等參數(shù)計(jì)算，二維輻射應(yīng)力形式具體計(jì)算公式如下:

三維輻射應(yīng)力采用鄭金海［18］推導(dǎo)的公式:

上述公式將輻射應(yīng)力的計(jì)算沿深度分為三個(gè)計(jì)算區(qū)域，R01、R02和R03的具體計(jì)算形式見文獻(xiàn)［18］。

流場和波浪的耦合過程分為，流場和波浪單獨(dú)計(jì)算以及參量相互傳遞兩個(gè)過程。其中流場為波浪提供流速和水位參量，而波浪場則為流場提供輻射應(yīng)力項(xiàng)和紊動(dòng)系數(shù)。流場和波浪場在完成每一步計(jì)算后以及下一步計(jì)算開始之前進(jìn)行參量傳遞，最終實(shí)現(xiàn)波流的相互耦合計(jì)算。

1.3 控制方程的離散

基于三角形網(wǎng)格，波浪場采用的有限體積法對波作用守恒方程進(jìn)行離散;對光程函數(shù)方程采用網(wǎng)格中心格式的有限體積法離散。時(shí)間離散采用歐拉向前格式，空間采用格林公式，具體形式如下:

對式(2)采用網(wǎng)格頂點(diǎn)格式的有限體積法在控制體內(nèi)積分，空間求導(dǎo)采用將面積分轉(zhuǎn)化為線積分，并將線積分寫成各控制邊求和的形式，整理得到離散后的方程為:

式中:MT(i)為第i個(gè)控制體的邊數(shù)，對三角形控制體取為3;Ai為控制體面積;標(biāo)注m為控制體第m邊上的參量;δ表示控制體邊上參量在x或y方向上的梯度，采用上述格林公式計(jì)算;ζ表示參量在時(shí)間上的梯度，采用向后差分的一階格式離散。

對式(3)分四步離散求解，空間離散采用單元中心頂點(diǎn)格式的有限體積法在控制體內(nèi)積分;對波譜在頻率方向上的離散采用FCT［19］離散方法;對波譜在傳播方程上的離散采用二階隱身Crank-Nicolson差分方法;對源項(xiàng)對波譜的影響采用二階隱式中心差分離散求解。離散后見式(15a)～(15d)。

式中:NT(i)為第i個(gè)控制體的邊數(shù);Ai為控制體面積;標(biāo)注m為控制體第m邊上的參量;FCT中的φ1和A*計(jì)算公式見文獻(xiàn)［19］;Cgx，i，m和 Cgy，i，m為控制體邊 m 上 U+(Cg/k)K 在 x，y 方向上的分量。

流場控制方程的離散見文獻(xiàn)［14］，對于增加的輻射應(yīng)力項(xiàng)同樣采用單元中心頂點(diǎn)格式的有限體積法在控制體內(nèi)積分，同時(shí)用格林公式將面積分轉(zhuǎn)換為各控制邊的求和形式，具體形式見式(16a)～(16b)。

2 數(shù)值模型驗(yàn)證及應(yīng)用

2.1 沿岸流計(jì)算及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

波浪斜向入射近岸時(shí)，破碎引起的輻射應(yīng)力會(huì)引起水體的順岸移動(dòng)而發(fā)生沿岸流。王淑平［20］進(jìn)行了沿岸流的模擬實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)分別研究了1∶40和1∶100兩種坡度下波浪斜向入射產(chǎn)生的沿岸流，實(shí)驗(yàn)工況見表1。

表1 沿岸流實(shí)驗(yàn)計(jì)算工況參數(shù)Tab.1 The calculation parameters of longshore current experiment

其中D為波浪入射處水深，H0為入射波高，T為入射波周期，γ為波浪破碎指標(biāo)，Bfric為波流作用下的底摩擦系數(shù)。波浪沿正向入射，圖1給出了兩種工況計(jì)算穩(wěn)定后的波生流平均流場圖，圖2和圖3給出了2種計(jì)算工況下的波高、增減水和沿岸流平均流速的數(shù)值解和實(shí)測值的比較。從計(jì)算結(jié)果可以看出，所建立的模式可以很好地模擬波浪斜向入射近岸時(shí)引起的沿岸流現(xiàn)象。

圖1 兩種工況下波生沿岸流流場Fig.1 The wave-induced longshore current velocity field of two cases

圖2 工況1數(shù)值解與實(shí)測值對比Fig.2 Comparison between the numerical and experimental results in case 1

圖3 工況2數(shù)值解與實(shí)測值對比Fig.3 Comparison between the numerical and experimental results in case 2

在破碎帶內(nèi)外選取4個(gè)點(diǎn)得到其流速的垂線分布，見圖4，Dx為點(diǎn)距岸邊的垂線距離。從圖中可以看出波生流的垂線分布區(qū)別于潮流的近對數(shù)分布形態(tài)，而垂向分布較為均勻。根據(jù)Visser［21］的研究，這種特征與波浪引起的附加垂向摻混有關(guān)，其中較大的附加粘性可使流速垂向剖面更加均勻。

圖4 兩種工況下四個(gè)點(diǎn)的流速垂向分布Fig.4 The vertical velocity distribution of four points in two cases

2.2 人工島后波生環(huán)流的計(jì)算及驗(yàn)證

波浪傳播過程中遇到人工島等障礙物時(shí)，會(huì)在人工島后發(fā)生繞射;由于波高的變化從而產(chǎn)生輻射應(yīng)力，在輻射應(yīng)力的驅(qū)動(dòng)下會(huì)形成島后環(huán)流現(xiàn)象。日本東京電力研究所于1994年利用大型水池實(shí)驗(yàn)研究了柏崎刈羽核電站人工島內(nèi)側(cè)取水口周圍波浪場以及波浪破碎而引起的波生流［22］。

試驗(yàn)中人工島布置在坡度為1∶50的斜坡上，整個(gè)實(shí)驗(yàn)區(qū)域長為23.5 m，寬為19.2 m;人工島大小為6.6 m×3.3 m。模型計(jì)算域選取19.2 m×15.0 m，入射波高為0.03 m，周期為1.0 s，波浪破碎指標(biāo)選為0.76，流場底摩擦系數(shù)選為0.025。

圖5給出實(shí)驗(yàn)得到的波生流實(shí)測流場分布，表2給出了A～J10個(gè)點(diǎn)的平均流場實(shí)測值和計(jì)算值對比，圖6給出了波生流模型的計(jì)算網(wǎng)格和平均流場分布計(jì)算結(jié)果。根據(jù)對比可以看出本模型流場流速的數(shù)值解和實(shí)測值比較接近;模擬得到在人工島內(nèi)側(cè)的對稱軸附近產(chǎn)生了回流現(xiàn)象，同時(shí)在島內(nèi)側(cè)區(qū)域形成一對方向相反的環(huán)流現(xiàn)象，該形態(tài)和實(shí)測得到人工島后的波生流結(jié)果一致。

圖5 人工島后波生流實(shí)測流場Fig.5 The measured result of wave-induced current velocity field behind the artificial island

表2 人工島后波生流場沿深度平均流速的計(jì)算值和實(shí)測值對比Tab.2 Comparison between the numerical and experimental results of the average velocity along the depth

圖6 人工島后波生流計(jì)算網(wǎng)格和流場計(jì)算結(jié)果Fig.6 Computational grids and wave-induced current velocity field

2.3 連續(xù)凹槽地形上的波生流計(jì)算及驗(yàn)證

Dingemans［23］和李孟國［8］等在驗(yàn)證近岸波生流模型時(shí)，均采用波浪在正向和斜向入射連續(xù)凹槽地形來驗(yàn)證模式的適定性。連續(xù)凹槽海區(qū)的水深可以用以下表達(dá)式表示:

模型的計(jì)算水深圖和計(jì)算網(wǎng)格見圖7，分別計(jì)算波浪正向入射(T=4.0 s，H0=0.92 m，θ0=90°)和斜向入射(T=4.0 s，H0=1.0 m，θ0=63°)兩種工況。李孟國模擬得到的波生流場見圖8。

圖7 模型計(jì)算網(wǎng)格和水深Fig.7 Computational grids and the bottom topography

本模式模擬得到的平均波生流場見圖8，得到波浪在正向入射連續(xù)凹槽地形時(shí)，會(huì)在凹槽的兩邊產(chǎn)生相向的沿岸流，沿岸流匯聚到凹槽頂點(diǎn)時(shí)會(huì)形成水體的雍高，同時(shí)雍高的水體則會(huì)通過破碎帶回流海洋從而產(chǎn)生裂流;波浪在斜向入射連續(xù)凹槽時(shí)則會(huì)產(chǎn)生順凹槽形狀的沿岸流。對比圖8和圖9可知本模式模擬的結(jié)果和已有研究結(jié)果較吻合。

2.4 大連灣區(qū)域的波流耦合計(jì)算

由于本波浪模式的空間步長不再受制于波長的限制，波浪模型計(jì)算與流場計(jì)算可以共用一套網(wǎng)格，波浪和流場模型同步計(jì)算，每步計(jì)算完成后將流場實(shí)時(shí)得到的水深、流速提供給波浪場;同時(shí)將波浪場得到的輻射應(yīng)力、紊動(dòng)系數(shù)等反饋給流場，即實(shí)現(xiàn)了波浪場和流場之間參量的雙向傳遞和同步耦合。

模型計(jì)算選擇大連灣及附近海域作為研究對象，其中波浪采用不規(guī)則波，不規(guī)則波的能量采用JONSWAP譜計(jì)算。圖10(a)和10(b)分別為計(jì)算區(qū)域地形和計(jì)算網(wǎng)格圖。波浪采用S和SE向入射(為大連灣區(qū)域的常見浪向)，波高為2.0和4.0 m，周期為8 s;計(jì)算中波浪和流場的步長均選為5 s，最小空間步長為100 m。

模型分兩步計(jì)算完成。首先計(jì)算波浪場，等波浪場計(jì)算穩(wěn)定后，流場開始計(jì)算，并將波浪場計(jì)算所得的輻射應(yīng)力、紊動(dòng)系數(shù)等參量添加進(jìn)流場;此時(shí)波浪和流場同步計(jì)算直至波生流場達(dá)到穩(wěn)定形態(tài)。由于波生流多發(fā)生在近岸區(qū)域，模型選取圖10(a)中方框中的波生流場分析。

圖8 李孟國模擬得到的波生流場Fig.8 The wave-induced current velocity field simulated by LI Meng-guo

圖9 本模式模擬得到的波生流場Fig.9 The wave-induced current velocity field computed by the present model

圖10 大連灣海域分布及模型計(jì)算網(wǎng)格Fig.10 The area distribution and computational mesh of the Dalian Bay

圖11(a)和11(b)為波浪S向入射下波高分別為2.0 m和4.0 m產(chǎn)生的波生流平均流場;圖12(a)和12(b)為波浪SE向入射下波高分別為2.0 m和4.0 m產(chǎn)生的波生流場。從圖可知波浪斜向入射破碎時(shí)會(huì)在波浪破碎處至岸邊區(qū)域發(fā)生沿岸流，沿岸流的方向同波浪入射成小角度;當(dāng)遇到凹槽地形時(shí)，若產(chǎn)生兩股相對的沿岸流時(shí)(圖11)，則會(huì)在相匯處形成逆流;波高越大，波浪破碎處離岸越遠(yuǎn)，沿岸流的影響范圍就會(huì)越大，強(qiáng)度也會(huì)越大;同時(shí)沿岸流的強(qiáng)度和近岸潮流強(qiáng)度為同一數(shù)量級(jí)，在考慮近岸污染物、泥沙輸運(yùn)時(shí)，波生流為主要影響因素之一。

圖11 S向波浪入射在近岸產(chǎn)生的沿岸流Fig.11 The wave-induced current velocity field by the south incident wave

圖12 SE向波浪入射在近岸產(chǎn)生的沿岸流Fig.12 The wave-induced current velocity field by the south-east incident wave

圖13為4.0 m有效波高的波浪S向和SE向入射后，形成的近岸增減水圖。從圖中可知波浪在近岸破碎時(shí)不僅會(huì)形成沿岸的波生流，同時(shí)在波浪破碎區(qū)形成增水，而在波浪未破區(qū)域形成減水。

從上述結(jié)果可以得到，波浪對流場的影響主要分為兩個(gè)方面，一是會(huì)在近岸破碎帶內(nèi)產(chǎn)生沿岸流，二是會(huì)在近岸形成增減水;而流對波浪的影響主要表現(xiàn)為，波流同向時(shí)波高減小、周期變大，而波流逆向時(shí)波高增大、周期變小，當(dāng)波浪與水流斜向相交時(shí)，波浪則會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象。

圖13 S向和SE向波浪入射后在近岸形成的增減水Fig.13 The distribution of wave set-up and set-down by the south and south-east incident waves

3 結(jié)語

在非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格下基于光程函數(shù)方程和波作用守恒方程，建立了考慮繞射效應(yīng)的大范圍波浪計(jì)算模型;利用波浪模型計(jì)算得到的輻射應(yīng)力、波浪紊動(dòng)系數(shù)等參量以及三維水動(dòng)力模型(FVCOM)建立了非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格下的大范圍波生流數(shù)值模型。模型分別對波浪斜向入射產(chǎn)生的沿岸流、人工島后的波生環(huán)流以及連續(xù)凸起地形下的逆流進(jìn)行了模擬，數(shù)值結(jié)果和實(shí)測結(jié)果對比表明，本波生流數(shù)值模式可以高效精確地實(shí)現(xiàn)近岸波浪破碎產(chǎn)生的近岸流的模擬計(jì)算。

利用本模型對實(shí)際海域的計(jì)算結(jié)果，表明該模型可以用于大范圍的波流同步耦合計(jì)算;同時(shí)非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格可以很好地?cái)M合復(fù)雜岸線的變化;且說明波生流為近岸水動(dòng)力不可缺少的影響因素之一。由于缺少實(shí)際海域波生流的實(shí)測資料，本模式對實(shí)際海域波生流的模擬計(jì)算需要進(jìn)一步的驗(yàn)證。

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