基礎振動下兩自由度機械臂的魯棒控制

鄭青山，侯保林

（南京理工大學機械工程學院，江蘇南京 210094）

0 引言

多自由度機械臂是一個十分復雜的多輸入/多輸出非線性系統，它具有時變、強耦合和高度非線性的動力學特征，其控制是十分復雜的［1］。本篇所討論的機械臂是置于振動的基礎平臺之上，因此，當在為這類系統設計控制器時，就應該考慮到由于基礎平臺振動所帶入的擾動，以及系統本身所具有的非線性。

本文所討論的系統模型，將基礎的運動簡化為正弦運動，同時考慮了由于負載變化所導致的動態模型參數的不確定性。為了引進控制方法，現需要做如下重要假設。A1:基礎運動的頻率范圍是事先知道的;A2:不考慮機械臂在運動過程中對基礎產生的作用力以及作用力矩。文中所采用的控制方法集合了非線性狀態反饋以及線性控制方案。引進非線性狀態反饋，主要是為了消除動態微分方程中的非線性部分。經過非線性狀態反饋之后，問題就被處理成具有外部擾動以及動態模型參數攝動的線性對象的魯棒穩定性控制問題。由于參數變化、未建模動態及外部環境干擾等不確定因素的存在，使得這類機械臂魯棒控制研究具有重要的理論和實踐意義。

1 問題的提出

大口徑陸戰武器彈藥自動裝填系統中的彈藥傳輸機械臂是彈藥自動裝填系統中的重要部件，對彈藥自動裝填系統的整體性能具有很大的影響。機械臂接收自動彈倉內被推彈器所推出來的彈丸或者模塊藥，將彈丸或者模塊藥傳送到輸彈線上，再由輸彈機將彈丸或者模塊藥送入炮膛［2］。在很多時候，這一工作過程需要在大口徑陸戰武器的行進過程中完成，所以說彈藥傳輸機械臂屬于一類移動機械臂系統。在這類系統中，機械臂的動力學特性在受到自身非線性力影響的同時，還受到由基礎振動所產生的非線性力的強烈影響，這些非線性力包括科氏力以及慣性力等。因此基礎振動下機械臂系統控制的核心問題是:不光要解決內部的非線性問題，還要解決外部的非線性擾動問題，即一類動態結構參數模型不確定問題。解決好機械臂機電系統的設計問題和控制問題，對我國大口徑陸戰武器自動裝填系統的研制具有重大理論和實踐意義。

2 動態模型的建立

在本節中，將彈藥自動裝填系統簡單等效為基礎振動下兩自由度機械臂的動態模型以及運用拉格朗日方法來建立系統動力學微分方程。圖1為基礎振動下兩自由度機械臂結構簡圖。為方便起見，假定基礎平臺做上下正弦運動以及兩個機械臂和它所固連的基底只在垂直平面做運動。

圖1 基礎振動下兩自由度機械臂簡圖

圖中各符號定義如下:

oxy—固定坐標系;

y—機械臂轉軸處縱坐標;

θ1—機械臂1質心和轉軸的連線相對于水平線的轉角;

θ2—機械臂2相對于機械臂1的轉角;

J1，J2—各機械臂相對于質心的轉動慣量;

G1，G2—各機械臂轉動的阻尼系數;

M1，M2—各機械臂的質量;

ω—基礎做正弦運動時的角頻率;

L1，L2— 各機械臂的長度;

a1，a2—各機械臂質心到各自轉動副的距離;

τ1，τ2—作用于各關節的控制力矩;

g—重力加速度;

t—時間。

運用拉格朗日方程，對此模型進行嚴格推導，由于過程稍顯冗長，在這里就不給出詳細的推導過程，只把最終結果表示如下:

式中每項表述如下:

在此模型中，只考慮J1、J2作為參數攝動量，即:

其中，rJ1，rJ2是最大攝動比列，δJ1，δJ2具有 ，1，是|δJ1|，|δJ2|≤1標準化攝動。

3 控制器設計步驟

在本篇中，將采用如下步驟來實現控制器的設計。首先，引入非線性狀態反饋來減少系統的非線性，經過處理之后，所得到的系統被定義為一個虛擬的線性對象。第二，利用PD控制來達到基于頻率的控制目標以及靈敏度函數的整形。

3.1非線性狀態反饋以及虛擬化線性對象

文獻［3－5］給出了多變量非線性系統線性化的一般方法，為了去除微分方程式（1）中的非線性部分，以及重新組建一個虛擬的線性化對象，將引進下面的狀態反饋策略:

把式（2）代入式（1），然后左乘Mn－1（θ）就可以得到如下具有時變慣量攝動矩陣ΔM（θ）以及輸入擾動d虛擬線性對象:

注意到，經過非線性狀態反饋之后，式（3）依然存在耦合項，也就是說沒有完全線性化，所以在這里做個假設:整個機械臂在做運動過程之中，以機械臂1為主要運動構件，機械臂相對于1來說只做較小的轉動。這樣可以對方程式（3）中cosθ2近似處理為1。

3.2 利用PD控制來整形靈敏度函數［6］

怎樣解決由于基礎振動而加在對象輸入端的擾動是解決基礎攝動問題的關鍵。在本篇中，主要以濾波問題為主，即怎樣使得對于外部擾動的靈明度函數盡可能的低。根據混合靈敏度理論知道:

圖2中，K，θd，e和d分別表示H∞輸出反饋控制器、θ期望值，系統誤差和擾動。

圖2 機械臂臂環反饋結構

則靈敏度函數S和補靈敏度函數T分別為:

S為靈敏度函數;在靈敏度函數左側乘上P就能得到SP，代表了系統抵制擾動的能力，T是補靈敏度函數陣。

根據前面所討論，可以把主要問題歸結為消除外部擾動d的影響。為此，需要使SP在擾動頻率范圍Ω之內盡可能的低。考慮到，前面通過非線性狀態反饋之后處理得到的虛擬線性系統，有一個雙積分環節，這樣就會加大SP在低頻段的增益，也就是會降低系統抵抗擾動的能力。因此，一般地，在設計時應使P具有弱阻尼特性，需要增加一個位置反饋KP和一個速度反饋KD，則修正后的線性部分傳遞函數P為:

由式（4）可推得:

這樣矩陣M－1就可表示成上線性分式（LFT）

為此可以得到帶參數攝動的狀態空間框圖（圖3）。

圖3 帶參數攝動的狀態空間框圖

4 魯棒性能分析

圖4展示了增廣系統的內部互聯結構。其中，虛線框P表示廣義控制對象，WT，WS表示與靈敏度函數相關的加權函數矩陣，ΔP定義了一個假想的不確定函數矩陣來表現系統的魯棒性能。

圖4 系統控制框圖

5 仿真實例

表1給出了基礎振動下兩自由度機械臂的具體參數。

表1 兩自由度機械臂的參數

文獻［7-10］中給出了混合靈敏度下加權函數選擇的詳細方法。此例中，在D－K迭代中設定如下PD增益以及加權函數:

在D－K迭代工具箱中進行如圖5的參數設置。

圖5 參數設置框圖

運行5次迭代可得，觀察其數據可得:

第一次:Gamma value achieved: 0.997 2

第五次:Gamma value achieved: 0.164 1

最終的μ上界值曲線及靈敏度函數曲線如圖6所示。

由圖6、7可以看出，μ的上界值小于1，靈敏度值小于1，說明控制器能夠同時滿足魯棒穩定性和魯棒性能的要求。

6 結語

本文針對不確定剛性兩自由度機械臂系統存在基礎振動的情況下，在僅有精確關節位置以及速度反饋的情況下，給出了包括系統建模、非線性狀態反饋以及H∞標準化等多方面控制器設計的詳細步驟，仿真結果也表明，該控制策略對于控制性能的提高有明顯的作用，是一種有效而可行的控制方案。

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