新型三平動(dòng)并聯(lián)機(jī)床的運(yùn)動(dòng)分析

李琳，李開(kāi)明

（南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇南京 210094）

0 前言

并聯(lián)機(jī)床是在現(xiàn)代數(shù)控技術(shù)、機(jī)床技術(shù)和機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)上發(fā)展出的一種高精度、高柔性的制造設(shè)備。同串聯(lián)機(jī)床相比，并聯(lián)機(jī)床具有獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)，克服了串聯(lián)機(jī)床存在的缺點(diǎn)［1］。它將空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)的特點(diǎn)應(yīng)用到機(jī)床中，綜合利用計(jì)算機(jī)軟件、電子控制等設(shè)備，取代部分機(jī)械傳動(dòng)，能夠很方便地實(shí)現(xiàn)較復(fù)雜的空間運(yùn)動(dòng)。與傳統(tǒng)機(jī)床相比，并聯(lián)運(yùn)動(dòng)機(jī)床具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、剛度高、動(dòng)態(tài)性能好、反應(yīng)速度快、可重構(gòu)等優(yōu)點(diǎn)［2］。由于并聯(lián)機(jī)床理論上所具有的一系列優(yōu)點(diǎn)，近年來(lái)已成為一個(gè)十分熱門(mén)的研究方向。但是在實(shí)際應(yīng)用中，還有許多技術(shù)問(wèn)題尚待攻克。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的復(fù)雜性首先表現(xiàn)為并聯(lián)多閉環(huán)機(jī)構(gòu)內(nèi)在的運(yùn)動(dòng)學(xué)的復(fù)雜性。奇異位形是機(jī)構(gòu)的一個(gè)非常重要的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)受力、控制等各方面的性能都與此有密切關(guān)系。在并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究中，當(dāng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)處于奇異位形時(shí)，其操作平臺(tái)具有多余自由度，此時(shí)機(jī)構(gòu)就會(huì)失去控制。奇異性是并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)研究的重要內(nèi)容，本文對(duì)并聯(lián)機(jī)床的奇異性和平穩(wěn)性進(jìn)行深入研究，為并聯(lián)機(jī)床結(jié)構(gòu)確定關(guān)鍵技術(shù)參數(shù)提供依據(jù)。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的建立

該并聯(lián)機(jī)床通過(guò)六條支鏈連接上下兩平臺(tái)，六根絲桿兩兩平行，即 A1B1//A2B2，A3B3//A4B4，A5B5//A6B6。下平臺(tái)固定，上平臺(tái)可進(jìn)行平動(dòng)，六根結(jié)構(gòu)、長(zhǎng)度相同可以分別調(diào)節(jié)的支撐桿用球面副連接上下兩平臺(tái)，其中有兩組桿與上平臺(tái)鉸接時(shí)采用了復(fù)合鉸鏈設(shè)計(jì)，通過(guò)特定的鉸鏈布置和支鏈伸縮桿同步驅(qū)動(dòng)限制了末端執(zhí)行器的三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)三維移動(dòng)。

圖1 機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

首先建立坐標(biāo)系［圖1（b）］。固定坐標(biāo)系O－xyz固聯(lián)于下平臺(tái)，坐標(biāo)中心O與下平臺(tái)幾何中心重合，Ox軸與OB1重合，Oy按右手定則確定，Oz軸垂直于固定平臺(tái)向上。動(dòng)坐標(biāo)系 P － x＇y＇z＇與上平臺(tái)固聯(lián)，中心 P 與上平臺(tái)幾何中心重合，x＇軸與Pc1重合，y＇按右手定則確定。

下平臺(tái)各鉸鏈中心點(diǎn)Ai及組桿鉸鏈點(diǎn)Ci（圖2）在固定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為:

圖2 下平臺(tái)

其中 B5B6=B3B4=B1B2=D=r。

設(shè)上平臺(tái)坐標(biāo)系P－x＇y＇z＇原點(diǎn) P 在定坐標(biāo)中坐標(biāo)為（xp，yp，zp），則齊次變換為:

圖3 上平臺(tái)

其中R表示動(dòng)坐標(biāo)系對(duì)定坐標(biāo)系的方向余弦。則動(dòng)平臺(tái)上的鉸鏈點(diǎn)ci在固定坐標(biāo)系中的位矢可表示為:

由于本文的研究對(duì)象為三自由度平動(dòng)機(jī)構(gòu)，

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的復(fù)雜性導(dǎo)致機(jī)構(gòu)的位置正解難度較大，但本機(jī)構(gòu)由于具有特殊性，具有唯一解析正解。其解如下:

2 奇異性

當(dāng)機(jī)構(gòu)處于某些特殊位置時(shí)，其雅克比矩陣將成為奇異陣，其行列式的值為零，機(jī)構(gòu)的速度正反解不存在。把并聯(lián)機(jī)構(gòu)的這些特殊位置稱(chēng)為奇異位形或特殊位形。奇異性是并聯(lián)機(jī)床結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)所需考慮的重要因素。當(dāng)并聯(lián)機(jī)床處于奇異形位時(shí)，機(jī)構(gòu)將獲得多余不可控的自由度或者變得剛化而失去部分自由度。機(jī)構(gòu)自由度的喪失意味著機(jī)構(gòu)某種功能的喪失，而機(jī)構(gòu)獲得額外的自由度則會(huì)導(dǎo)致機(jī)構(gòu)失控，因此在設(shè)計(jì)和應(yīng)用時(shí)應(yīng)該盡量避開(kāi)其奇異位形［3-4］。

即:

3 平穩(wěn)性研究

三階逆雅可比矩陣為:

以基坐標(biāo)系o－xyz為參考系，動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系原點(diǎn)P在基坐標(biāo)系o－xyz中坐標(biāo)為（xp，yp，zp），假設(shè)P點(diǎn)在Z=950 mm截面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為:

其中t的單位為s，xp，yp，zp單位為 mm。其他結(jié)構(gòu)參數(shù)如下:靜平臺(tái)半徑R=1 000 mm，動(dòng)平臺(tái)半徑D=350 mm，驅(qū)動(dòng)桿桿長(zhǎng)lmin=900 mm，lmax=1 900 mm。利用 MATLAB進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，得到桿和動(dòng)平臺(tái)線(xiàn)速度和線(xiàn)加速度曲線(xiàn)。其中圖4為各桿的速度;圖5為各桿加速度;圖6為動(dòng)平臺(tái)速度;圖7為動(dòng)平臺(tái)加速度。

圖4 各桿的伸縮速度

由圖4～圖7可知:桿1最大線(xiàn)速度為31.387 mm/s，最大線(xiàn)加速度為49.303 mm/s2;桿2最大線(xiàn)速度為28.894 mm/s，最大線(xiàn)加速度為45.387 mm/s2;桿3最大線(xiàn)速度為28.895 mm/s，最大線(xiàn)加速度為45.39 mm/s2，曲線(xiàn)沿 x 軸呈正余弦變化。動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)最大線(xiàn)速度為47.122 mm/s，理論值為47.124 mm/s，最大線(xiàn)加速度為74.021 mm/s2，理論值為74.022 mm/s2。該機(jī)床驅(qū)動(dòng)桿的伸縮速度曲線(xiàn)連續(xù)并且非常光滑，說(shuō)明該機(jī)床運(yùn)動(dòng)時(shí)的平穩(wěn)性較好。

4 結(jié)束語(yǔ)

［1］王傳強(qiáng)，趙恒華.3-TPT并聯(lián)機(jī)床奇異性及平穩(wěn)性研究［J］.組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù)，2010，（10）:26-28.

［2］劉素明，趙強(qiáng)，李軍.3-2HSS并聯(lián)機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)分析及運(yùn)動(dòng)仿真［J］.機(jī)床與液壓，2008，（9）:115-117.

［3］陳旭，鄧亮，蔡光起，等.基于3-UPS機(jī)構(gòu)并聯(lián)機(jī)床的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析［J］.機(jī)械與電子，2005，（6）:9-11.

［4］王傳強(qiáng)，趙恒華.并聯(lián)機(jī)床的奇異性研究［J］.石油化工高等學(xué)校學(xué)報(bào)，2010，（6）:84-88.