減速裝置的動力學建模及應用研究

王蘭，楊承濤

（1.西安工程大學機電學院，陜西西安710048;2.西安航空職業技術學院，陜西西安 710089）

0 引言

減速裝置是精密機械和工業機器人的重要部件之一，其動力學特性對產品的工作性能有一定的影響。為了保證減速裝置具有良好的動態特性對其進行動力學分析，研究在實際工作狀態下的受力變化、運動情況及動態特性，找出影響動態特性的薄弱環節，從而為優化減速裝置的結構設計、提高減速裝置的動態特性提供了理論依據［1-3］。

1 系統扭轉動力學模型的建立

分析圖1所示傳動系統的動態特性，根據其結構建立動力學模型。由于各種零件動力學作用的不同，將組成系統的各元件分為兩類，即慣性元件和彈性元件。

圖1 減速裝置機構簡圖

首先將軸上的齒輪和其他質量較大而直徑比較小的零件視為只有慣性而無彈性的慣性元件。計算兩剛性圓盤之間所有軸段的扭轉剛度和轉動慣量，再將各軸段圖1減速裝置機構簡圖的轉動慣量迭加到軸的兩慣性元件上，把各軸段的扭轉剛度轉換成一個彈性軸段的扭轉剛度，其值應與兩慣性元件之間實際軸段的扭轉剛度相等。最后把各軸上的兩剛性圓盤和彈性軸段，轉換到同一軸線上，構成單一軸線的當量圓盤系統的扭轉動力學模型。

1.1 慣性元件的等效轉動慣量

由于齒輪表面經過滲碳淬火，彈性變形很小（嚙合處的彈性元件可以忽略），所以相互嚙合的齒輪可合并成一個慣量元件，轉換后按動能相等原則得到該等效元件的當量轉動慣量。根據總動能不變、總質心位置不變的條件，將軸的轉動慣量進行等效分配。

設等效分配到慣性元件1上的轉動慣量為J01，分配到慣性元件2上的轉動慣量為J02，經推導得出軸的轉動慣量疊加到兩慣性元件后的慣性元件1，2的轉動慣量分別為

同樣的處理得到所有軸的轉動慣量，從而求得系統振動中各單元的轉動慣量。

1.2 彈性元件扭轉剛度的確定

a）軸的扭轉剛度

根據材料力學理論軸的扭轉剛度公式求出各軸段的扭轉剛度k1，k2，…，kn，再根據剛度串聯公式將各軸段的剛度串聯起來，從而求得整根軸的扭轉剛度k［5］。

b）軸的等效扭轉剛度

彈性元件按轉換前后勢能相等的原則利用通用轉換公式進行轉換。假設該軸的彎曲應變能為U1，扭轉應變能為U2，等效扭轉應變能為Ue，即可得到曲柄軸段的等效扭轉剛度為:

式中:k—只考慮扭轉變形時軸段的扭轉剛度 （N·mm/rad）;

R—曲柄軸中心至輸入軸中心的距離，即扭轉半徑（mm）。

c）軸類零件扭轉阻尼的確定

軸類零件的扭轉阻尼主要是材料阻尼，根據H.H.Lin和C.Lee等的分析，利用相關公式計算出扭轉阻尼。將各軸的剛度和阻尼轉換到輸入軸上后，根據減速裝置各元件的實際尺寸計算出各彈性元件的等效剛度和等效扭轉阻尼。

2 系統扭轉振動數學模型的建立

2.1 扭轉系統中慣性元件的數學模型

圖2 慣性元件的力學模型簡圖

根據力的平衡關系得τj和，設激振力矩 fj=Fj·eiω為一個簡諧函數，ω為激振頻率，Fj為激振幅值，根據振動理論，其他參數也可以看成是與fj同頻率的復數表達式，φj為扭角幅值，Tj為扭矩幅值，推導可得:

2.2 系統扭轉振動數學模型的建立

圖1中所示的諧波傳動系統是由十四個二端元件組成，七個慣性元件和七個彈性元件，利用傳遞矩陣的原理，建立系統的扭振數學模型。

系統傳遞矩陣可簡寫成:

式（4）為一個累積矩陣的數學模型。用它可以對扭振系統進行計算、分析和評價，也可以進行系統的修改和優化設計。

3 減速裝置扭振動力學分析及應用研究

3.1 減速裝置的扭振動力學分析

利用前面建立起來的減速裝置系統的動力學模型對其進行扭振分析［6，8］。

本文采用數值法編制MATLAB程序對其進行迭代求解，流程圖如圖3所示。另外，利用該程序還繪制出了減速裝置系統的振型曲線，如圖4所示。由振型曲線圖可以看出5－6之間振幅劇增，即此環節為最薄弱環節，其主要影響因素是矩陣H3，所以提高此軸段剛度k3即可，使其動態特性得到顯著改善。

圖3 固有頻率求解流程圖

3.2 減速裝置扭振動力學分析的應用研究

在試驗中將軸頸適當增大2 mm后得到新的振型如圖5所示，5－6之間與圖4的5－6這間振幅明顯平緩。從而可使減速裝置的使用性能得到顯著改善。

1）通過適當增大軸的直徑或減小其長度可以提高其扭轉剛度;

2）減小了動載荷和噪聲;

3）優化減速裝置的工作性能;

4）延長了減速裝置的使用壽命。

圖4 減速器振型曲線

圖5 調整后的振型曲線

4 結語

減速裝置是精密機械和工業機器人機械臂關節的重要部件，而關節是工業機器人機械臂的核心構件，機械臂在探測器執行任務中起著決定性的作用，機械臂的各個關節的減速裝置必須具有較輕的質量，以減輕關節驅動電動機的負載，具有較大的傳動比以提高機器人機械臂和機械手的控制品質［4，7］。因此，小體積、大傳動比、高轉矩、高效率減速器的研制開發已成為減速裝置產品研究的新課題。本文利用所建立的動力學模型，通過MATLAB編程分析減速器的自由振動，得到了該系統的固有頻率和各階振型等動態特性參數。通過分析試驗改進后的減速裝置具有良好的動態特性，非常適合用于機器人機械臂的傳動及其他精密機械的傳動裝置，具有一定的推廣應用價值。

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