流域匯流單位線推求方法分析

王麗麗，高志軍，田長(zhǎng)濤

(1. 孫吳縣水文局，黑龍江 孫吳164200;2. 呼瑪縣水文站，黑龍江 呼瑪165100;3. 伊春水文局，黑龍江 伊春153000)

1 流域降雨徑流預(yù)報(bào)方法簡(jiǎn)介

在水文預(yù)報(bào)工作中，降雨徑流預(yù)報(bào)方法應(yīng)用范圍較廣。應(yīng)用降雨量預(yù)報(bào)徑流需要解決兩個(gè)方面的問(wèn)題:①某次降雨所產(chǎn)生的徑流多少。②這些徑流是怎樣匯集到預(yù)報(bào)斷面的。前者稱為產(chǎn)流量預(yù)報(bào)，后者稱為匯流過(guò)程預(yù)報(bào)。從降雨開始到形成流域出口斷面流量的整個(gè)過(guò)程，稱為徑流的形成過(guò)程。這一過(guò)程在理論上可分為流域產(chǎn)流和匯流兩個(gè)階段:在產(chǎn)流階段的預(yù)報(bào)任務(wù)就是求出降雨在扣除蒸發(fā)、下滲、截留等損失后所產(chǎn)生地表徑流的凈雨量( 用一次洪水過(guò)程的徑流深表示) ，一般由流域降雨～徑流相關(guān)圖查得。流域在產(chǎn)流過(guò)程中主要受流域內(nèi)各種因素對(duì)降雨的調(diào)蓄作用影響，流域的調(diào)蓄作用為洪水預(yù)報(bào)提供了一定的洪峰預(yù)見(jiàn)期; 降落在流域上的雨水，從流域各處向流域出口斷面匯集的過(guò)程稱為流域匯流，流域匯流包括坡地匯流和河網(wǎng)匯流兩個(gè)階段。實(shí)際工作中一般采用凈雨量和流域出口斷面流量資料，將坡地和河網(wǎng)匯流視為一個(gè)總體分析出流域匯流單位線，以用于洪水預(yù)報(bào)。

2 流域匯流經(jīng)驗(yàn)單位過(guò)程線簡(jiǎn)介

單位過(guò)程線法由L. k. 謝爾曼于1932年提出，至今仍是匯流計(jì)算中應(yīng)用最為普遍的方法。因它是由流域匯流系統(tǒng)實(shí)測(cè)的雨洪資料反推而得，所以又稱為是由黑箱分析法求得的經(jīng)驗(yàn)單位線。

2.1 單位線的定義

在一個(gè)特定的流域上，在單位時(shí)段內(nèi)均勻分布的單位凈雨量所形成的流域出口站的地面徑流過(guò)程線稱為單位線。單位線有3個(gè)基本要素:①單位線洪峰流量( qm) 。②洪峰滯時(shí)( Tp，從凈雨中心到單位線洪峰的時(shí)距) 。③單位線總歷時(shí)( TD) 。在我國(guó)單位凈雨深一般取10 mm，單位時(shí)段可根據(jù)流域的大小、匯流歷時(shí)長(zhǎng)短和實(shí)際需要而定，一般可取1、3、6、12、24 h等，大致是流域出口過(guò)程漲洪歷時(shí)的1/3 ～1/4。

2.2 單位線基本假定

由于實(shí)際降雨不可能恰巧是一個(gè)單位和上述限定的某段，因此在分析單位線時(shí)，要事先作以下基本假定。

1) 在單位時(shí)段內(nèi)凈雨深不同，所形成的地面徑流過(guò)程的總歷時(shí)相同。

2) 如果單位時(shí)段內(nèi)凈雨深不是一個(gè)單位，而是n個(gè)單位，那么它形成的流域出口流量過(guò)程線的流量則為單位線的n 倍。實(shí)際進(jìn)行洪水預(yù)報(bào)時(shí)就是選用適當(dāng)類型的事先推算出的流域經(jīng)驗(yàn)單位線，將實(shí)際凈雨量按與單位凈雨的倍比逐時(shí)段相乘而得到預(yù)報(bào)徑流過(guò)程。

3) 如果凈雨歷時(shí)不是一個(gè)時(shí)段，而是m個(gè)時(shí)段，那么各時(shí)段凈雨量所形成的流量過(guò)程之間互不干擾，出口斷面的流量等于各時(shí)段凈雨量所形成的流量之和。

以上3個(gè)假定，就是將流域視為線性系統(tǒng)，符合倍比迭加原理。這里著重介紹在匯流分析方面如何選用最佳方法來(lái)推求單位線。單位線三要素示意圖見(jiàn)圖1。

圖1 單位線三要素示意圖

3 流域匯流單位線推求方法

推求單位線的基本方法是基于上述定義和假定條件。在流域的實(shí)測(cè)水文資料中選擇若干次在洪水量級(jí)和降雨時(shí)空分布方面有代表性的雨洪過(guò)程。各次降雨的歷時(shí)應(yīng)較短，洪水過(guò)程的峰形要完整，最好是單峰形或易于分割成單峰形的復(fù)式峰洪水過(guò)程。按事先確定的單位線時(shí)段長(zhǎng)度Δt 將一次降雨的流域平均降雨過(guò)程劃分為若干時(shí)段，利用本流域已有的產(chǎn)流計(jì)算方案來(lái)求得各時(shí)段的徑流量( 凈雨量) 。產(chǎn)流方案求出的各時(shí)段凈雨量總和應(yīng)與實(shí)際選定的洪水過(guò)程線徑流深一致。由于資料精度、產(chǎn)流方案、洪水過(guò)程分割等原因引起兩者有一定差異時(shí)，應(yīng)分析原因并做平差修訂，一定要使兩者相等才能用于推求單位線。

應(yīng)用已知凈雨量及其對(duì)應(yīng)的徑流過(guò)程推求單位線的方法很多，在系統(tǒng)分析中稱為系統(tǒng)識(shí)別。在實(shí)際工作中應(yīng)用較多的有直接代數(shù)解法、試錯(cuò)法、最小二乘法等，各方法基本原理如下:

已知一次降雨產(chǎn)生的各時(shí)段徑流深為r1，r2，r3，……，rm，相應(yīng)的流域出口各時(shí)刻流量為Q1，Q2，Q3……，QL。若取單位徑流深為10 mm，單位線各時(shí)刻縱坐標(biāo)為q1，q2，q3……，qT。由單位線的基本假定知:直接代數(shù)法就是由上述各式解出qi，即:

1) 直接代數(shù)解算法計(jì)算方便，其明顯缺點(diǎn)是誤差傳遞性強(qiáng)，任何時(shí)段的Qi或ri有誤差時(shí)都會(huì)依次傳遞下去而使單位線出現(xiàn)鋸齒狀甚至負(fù)值。再就是在降雨時(shí)段較多時(shí)( 3 段以上) ，用該方法計(jì)算步驟會(huì)較多，誤差傳遞現(xiàn)象更加明顯。降雨時(shí)段越多，降雨與徑流之間的假定倍比關(guān)系也越加松散，很難得出合理的單位線成果。在實(shí)際工作中，能夠滿足用直接代數(shù)法解算單位線的雨洪資料也比較少，因此該方法實(shí)際利用率較低。

2) 試錯(cuò)法是先假定一條單位線，根據(jù)該假定單位線與已知時(shí)段凈雨量直接計(jì)算流域出流過(guò)程，再與實(shí)測(cè)出流過(guò)程進(jìn)行比較，若兩者基本相符，則所假定的單位線即為所求。否則，修正原假定再試算，直至計(jì)算值與實(shí)測(cè)過(guò)程相符為止。試錯(cuò)法相當(dāng)于代數(shù)解算法的逆運(yùn)算，計(jì)算步驟簡(jiǎn)便適合多時(shí)段雨洪資料，但計(jì)算量較大，試算時(shí)間較長(zhǎng)且試算時(shí)對(duì)誤差的控制帶有主觀性，所得的單位線往往不是最優(yōu)解。

3) 利用最小二乘法推求單位線的基本原理是首先令實(shí)測(cè)流量為Qo，由單位線推算的流量為Qc，則誤差e=Qo－Qc。若取∑e2= min，可將式1 變成方程個(gè)數(shù)與待求變量相等的正規(guī)方程組riqi=Qi，然后解得在最小二乘意義下q 的最優(yōu)估計(jì)值。該方法求解單位線時(shí)應(yīng)用了一次雨洪的全部流量資料，原理上比較完善，但解正規(guī)方程組的要求條件較高，不易掌握，而且由于缺少約束條件得到的單位線有時(shí)仍會(huì)出現(xiàn)鋸齒狀震蕩。

4 利用Excel 線性規(guī)劃功能推求單位線

本文選擇利用Excel 軟件中的線性規(guī)劃功能來(lái)推求單位線。線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)中應(yīng)用廣泛、方法較成熟的一個(gè)重要分支，它是輔助人們進(jìn)行科學(xué)管理的一種數(shù)學(xué)方法。線性規(guī)劃解決的是線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題。滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。線性規(guī)劃問(wèn)題可以表示為:min( z) = cTx ;s. t. Ax = b;x ≥0，上式中，向量x 為可變向量，z 為目標(biāo)函數(shù)，s. t. Ax = b 為線性約束條件( s. t. 意思為“受約束于”) ，A 為系數(shù)矩陣。利用Excel 的線性規(guī)劃功能求解單位線的優(yōu)點(diǎn)首先在于對(duì)使用人員要求起點(diǎn)較低，便于掌握，操作界面簡(jiǎn)單明了;再就是該法具備試錯(cuò)法和最小二乘法的優(yōu)點(diǎn)，而且可以靈活設(shè)置多項(xiàng)約束條件，可以有效減少和消除解算單位線時(shí)易出現(xiàn)的鋸齒現(xiàn)象。

4.1 實(shí)例應(yīng)用

選擇某水文站的一次洪水過(guò)程，斷面面積F =552 km2，計(jì)算時(shí)段△t=3 h，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1，并見(jiàn)圖6 所示，分析計(jì)算過(guò)程如下:

4.1.1 數(shù)學(xué)模型選用

1) min( z) = ∑( Qc－ Qi)2，式中Qc為實(shí)測(cè)地表徑流過(guò)程;Qi為計(jì)算地表徑流過(guò)程，目標(biāo)規(guī)劃結(jié)果為二者誤差平方和為最小。

2) s. t. ( Rq) =10;s. t. ( qi) ＞0，式中Rq為單位線徑流過(guò)程的徑流深; 約束條件為解算單位線徑流深為10 mm;( qi) 為單位線各時(shí)段徑流值，約束條件為解算單位線各時(shí)段值為非負(fù)值。

4.1.2 解算方法

1) 首先在解算表中輸入實(shí)測(cè)地表徑流過(guò)程和凈雨深，再求解單位線一列輸入假定的單位線徑流過(guò)程( 給任意值即可) 。選擇“工具”→“加載宏”命令，在彈出的“加載宏”對(duì)話框中見(jiàn)圖2 確定選中了“規(guī)劃求解”復(fù)選項(xiàng)。

圖2 “加載宏”對(duì)話框圖

2) 見(jiàn)圖3 所示設(shè)置數(shù)據(jù)模型計(jì)算步驟，在j29 單元格中輸入公式=sum( j2; j28) ，此單元格將會(huì)作為目標(biāo)單元格，分析目的是通過(guò)改變可變單元格的值使其數(shù)值達(dá)到最小值。

圖3 表格設(shè)置與目標(biāo)單元格確定

3) 選擇“工具”→“規(guī)劃求解”命令，彈出見(jiàn)圖4所示的“規(guī)劃求解參數(shù)”對(duì)話框。

圖4 “規(guī)劃求解”參數(shù)設(shè)置對(duì)話框

在“設(shè)置目標(biāo)單元格”中選擇目標(biāo)函數(shù)所在的J29 單元格，在可變單元格中選擇可變向量所在的單元格區(qū)域C3;C26，可變向量的最終優(yōu)選結(jié)果就是所求的單位線過(guò)程。圖中“約束”選項(xiàng)用于輸入約束條件。本例選擇約束條件“$B$36 =10”，目的是使解算的最優(yōu)單位線徑流深為10 mm( 計(jì)算公式見(jiàn)表1 備注欄) ;約束條件“$C$3: $C $27 ＞=0”是避免分析出的單位線出現(xiàn)負(fù)值。

4) 單擊“求解”按鈕，Excel 在經(jīng)過(guò)計(jì)算之后將得出結(jié)果，彈出見(jiàn)圖5 所示的“規(guī)劃求解結(jié)果”對(duì)話框。最終分析結(jié)果見(jiàn)表1。

圖5 “規(guī)劃求解”結(jié)果對(duì)話框

通過(guò)表1 和圖6 可見(jiàn)，利用解算單位線推求出的地表徑流過(guò)程與實(shí)測(cè)地表徑流過(guò)程基本一致，單位線徑流深控制為10 mm。洪峰流量計(jì)算誤差為2.7%，滿足水文預(yù)報(bào)規(guī)范要求的計(jì)算誤差須小于實(shí)測(cè)洪峰流量值20%的精度標(biāo)準(zhǔn)。

圖6 線性規(guī)劃法求得單位線、實(shí)側(cè)和計(jì)算徑流過(guò)程圖

表1 利用Excel 規(guī)劃求解功能分析解算單位線實(shí)例計(jì)算表

5 結(jié) 語(yǔ)

1) 利用線性規(guī)劃方法推求單位線基于線性數(shù)學(xué)模型和誤差控制以及相應(yīng)約束條件為基礎(chǔ)。該方法使用要求較低，在推求單位線時(shí)，Excel 軟件能夠自動(dòng)對(duì)單位線各時(shí)段流量進(jìn)行優(yōu)選確定，避免了其它方法分析單位線費(fèi)時(shí)費(fèi)力的弊端。線性規(guī)劃法分析單位線時(shí)對(duì)約束條件的設(shè)置可以在最大程度上減少單位線某一時(shí)段出現(xiàn)負(fù)值和線形呈現(xiàn)鋸齒現(xiàn)象。

2) 對(duì)單位線成果的檢驗(yàn)要以實(shí)用性為原則，不應(yīng)僅以滿足單位線徑流深接近10 mm為標(biāo)準(zhǔn)。由于實(shí)際洪水預(yù)報(bào)主要以預(yù)報(bào)洪峰流量為主，因此利用單位線計(jì)算出的峰值必須與實(shí)測(cè)洪水峰值一致或接近，否則應(yīng)對(duì)單位線峰值進(jìn)行必要的修正。

3) 由于任何實(shí)測(cè)雨洪資料都可能存在不同程度的觀測(cè)誤差和特殊成因，因此有些入選的雨洪資料在采用本文所述方法時(shí)系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)無(wú)法提供最優(yōu)解的情況，此時(shí)應(yīng)對(duì)雨洪關(guān)系和數(shù)值進(jìn)行重新審核、取舍和確認(rèn)，在以提高洪峰流量擬合精度為主要目標(biāo)的前提下對(duì)單位線其余部分進(jìn)行必要的修正處理。

［1］鄧先俊. 陸地水文學(xué)［M］. 北京:水利電力出版社，1984.

［2］李慧瓏. 水文預(yù)報(bào)［M］. 北京:水利電力出版社，1979.

［3］宋少忠.Excel 公式、函數(shù)和圖表應(yīng)用與實(shí)例分析［M］.北京:中國(guó)水利水電出版社，2008.