三重復合修正的Ishikawa迭代序列強收斂性*

羅紅平, 王元恒

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

三重復合修正的Ishikawa迭代序列強收斂性*

羅紅平, 王元恒

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

在具有一致Gateaux可微范數的實Banach空間中引進了一個新的關于非擴張映像三重復合修正的 Ishikawa迭代序列,并證明了該序列在一定條件下的強收斂性.所得結果改進和推廣了相應結果.

一致Gateaux可微范數;非擴張映像;三重復合修正的Ishikawa迭代;強收斂性

0 引 言

非擴張映像不動點理論和算法是非線性泛函分析理論及應用中的一個重要課題,歷來受到學者們的廣泛關注,并得到了許多結果[1-6].2005年,Kim等[1]提出了如下修正的Mann迭代逼近非擴張映像不動點問題:

2007年,姚永紅等[7]又提出了如下一個新的Mann-Halpern混合迭代算法:

并證明了在具有一致可微的實Banach空間中,序列{xn}在一定條件下強收斂到非擴張映像的某一不動點.2009年,宣渭峰等[8]提出了一個雙復合修正的Ishikawa迭代算法

并證明了在一定條件下,序列{xn}強收斂到T的不動點.2011年,傅湧[9]在Hilbert空間中給出了非擴張映射Noor混合迭代序列,并且給出了該迭代序列強收斂于不動點的充分必要條件和弱收斂于不動點的充分條件.

本文則在文獻[7-9]的基礎上,在一致Gateaux范數可微的實Banach空間中,引入如下三重復合修正的Ishikawa迭代算法:

式(4)中,{αn},{βn},{γn},{α′n},{β′n},{γ′n},{α"n},{β"n},{γ"n}是[0,1]中的數列.并證明了當這些序列滿足適當條件時的強收斂性,其結果推廣了文獻[7-9]的相關結果.

1 預備知識

設X是一實Banach空間,C是X中的一閉凸子集.若對任給的x,y∈C,有‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖,則稱映像T:C→C為非擴張的.用F(T)表示T的不動點集.

設X*是Banach空間X的對偶空間，J:X→2X*是由下式定義的正規對偶映像：

J(x)={f∈X*:〈x,f〉=‖x‖2,‖x‖=‖f‖},x∈X.

ρx(t)=sup{(‖x+y‖+‖x-y‖)/2 - 1:‖x‖=1,‖y‖=t}.

引理1[10]設E是實Banach空間,J:E→2E*是正規對偶映像，則對?xy∈E及對?j(x+y)∈J(x+y),有

‖x+y‖2≤‖x‖2+2〈y,j(x+y)〉.

引理2[11]設{xn},{yn}是Banach空間中的有界序列,xn+1=(1-βn)yn+βnxn,?n≥0, 其中系數{βn}是[0,1]中的序列.若{xn},{yn}及{βn}滿足:

引理3[12]設{αn}是一非負實數列，使得αn+1≤(1-γn)αn+δn,n≥0,其中{γn}是(0,1)中的一數列,{δn}是R中的一數列,滿足

2 主要結果

定理1設C是具有一致Gateaux可微范數的實Banach空間X中的非空閉凸子集,T:C→C是具有非空不動點集F(T)的非擴張映像.設u,x0均為C中任給的點,當t→0時,vt強收斂到T中的不動點,其中vt是滿足vt=tu+(1-t)Tvt的唯一確定元.并設{αn},{βn},{γn},{α′n},{β′n},{γ′n},{α"n},{β"n},{γ"n}是[0,1]中的實數列,且滿足以下條件：

證明 第1步證明{xn}有界.取p∈F(T),則

‖zn-p‖=‖α"nu+β"nxn+γ"nTxn-p‖≤α"n‖u-p‖+β"n‖xn-p‖+γ"n‖Txn-p‖≤

α"n‖u-p‖+(β"n+γ"n)‖xn-p‖;

(5)

‖yn-p‖=‖α′nu+β′nxn+γ′nTzn-p‖≤

α′n‖u-p‖+β′n‖xn-p‖+γ′n‖Tzn-p‖≤

α′n‖u-p‖+β′n‖xn-p‖+γ′n‖zn-p‖≤

α′n‖u-p‖+β′n‖xn-p‖+γ′nα"n‖u-p‖+(γ′nβ"n+γ′nγ"n)‖xn-p‖=

(α′n+γ′nα"n)‖u-p‖+(β′n+γ′nβ"n+γ′nγ"n)‖xn-p‖;

(6)

‖xn+1-p‖=‖αnu+βnxn+γnyn-p‖≤

αn‖u-p‖+βn‖xn-p‖+γn‖yn-p‖≤

αn‖u-p‖+βn‖xn-p‖+(γnα′n+γnγ′nα"n)‖u-p‖+(γnβ′n+γnγ′nβ"n+γnγ′nγ"n)‖xn-p‖=

(αn+γnα′n+γnγ′nα"n)‖u-p‖+(βn+γnβ′n+γnγ′nβ"n+γnγ′nγ"n)‖xn-p‖≤

(αn+γnα′n+γnγ′nα"n+βn+γnβ′n+γnγ′nβ"n+γnγ′nγ"n)max{‖u-p‖,‖xn-p‖}=

max{‖u-p‖,‖xn-p‖}.

(7)

由式(7)及歸納法可得‖xn-p‖≤max{‖x0-p‖,‖u-p‖},故{xn}是有界的，同時{yn},{zn},{Txn}也是有界的.

‖zn+1-zn‖=‖α"n+1u+β"n+1xn+1+γ"nTxn+1-α"nu-β"nxn-γ"nTxn‖≤

|α"n+1-α"n|‖u‖+|β"n+1-β"n|‖xn+1‖+β"n‖xn+1-xn‖+|γ"n+1-γ"n|‖Txn+1‖+γ"n‖Txn+1-Txn‖≤

|α"n+1-α"n|‖u‖+|β"n+1-β"n|‖xn+1‖+|γ"n+1-γ"n|‖Txn+1‖+‖xn+1-xn‖=

an+‖xn+1-xn‖.

其中,an=|α"n+1-α"n|‖u‖+|β"n+1-β"n|‖xn+1‖+|γ"n+1-γ"n|‖Txn+1‖.由條件4)得

|γ"n+1-γ"n|=|(1-β"n+1-α"n+1)-(1-β"n-α"n)|≤|β"n+1-β"n|+|α"n+1-α"n|,

設λn=βn+γnα′n,定義序列{ln}滿足xn+1=λnxn+(1-λn)ln，有

因此,

‖xn-Txn‖≤‖xn+1-xn‖+‖xn+1-Txn‖≤

‖xn+1-xn‖+αn‖u-Txn‖+βn‖xn-Txn‖+γn‖yn-Txn‖≤

‖xn+1-xn‖+αn‖u-Txn‖+βn‖xn-Txn‖+γnα′n‖u-Txn‖+

γnβ′n‖xn-Txn‖+γnγ′n‖Tzn-Txn‖≤

‖xn+1-xn‖+(αn+γnα′n)‖u-Txn‖+(βn+γnβ′n)‖xn-Txn‖+γn‖zn-xn‖≤

‖xn+1-xn‖+(αn+γnα′n)‖u-Txn‖+(βn+γnβ′n+γnγ′nγ"n)‖xn-Txn‖+γnγ′nα"n‖u-xn‖,所以

‖xn-Txn‖=0.

vn-xn=tn(u-xn)+(1-tn)(Tvn-xn).

由引理1得

‖vn-xn‖2≤(1-tn)2‖Tvn-xn‖2+2tn〈u-xn,j(vn-xn)〉≤

(1-tn)2(‖Tvn-Txn‖+‖Txn-xn‖)2+2tn〈u-vn,j(vn-xn)〉+2tn‖vn-xn‖2≤

(1-tn)2‖vn-xn‖2+(1-tn)2‖Txn-xn‖(2‖Tvn-Txn‖+‖Txn-xn‖)+2tn‖vn-xn‖2=

(1-tn)2‖vn-xn‖2+2tn‖vn-xn‖2+bn.

故

因為

〈vn-u,j(vn-xn)〉=〈z-u,j(z-xn)〉+〈z-u,j(vn-xn)-j(z-xn)〉+〈vn-z,j(vn-xn)〉,

由于J在X上的任一有界子集上是范數-弱*一致連續的,所以,

從而

‖yn-z‖2≤α′n‖u-z‖+β′n‖xn-z‖+γ′n‖Tzn-z‖≤

α′n‖u-z‖+β′n‖xn-z‖+γ′n‖zn-z‖≤

(α′n+γ′nα"n)‖u-z‖+(βn+γ′nβ"n)‖xn-z‖+γ′nγ"n‖Txn-z‖≤

(α′n+γ′nα"n)‖u-z‖+(βn+γ′nβ"n+γ′nγ"n)‖xn-z‖≤M+‖xn-z‖.

由引理3可得

‖xn+1-z‖2=‖αn(u-z)+βn(xn-z)+γn(yn-z)‖2=

‖βn(xn-z)+γn(yn-z)‖2+2αn〈u-z,j(xn+1-z)〉≤

β2n‖xn-zn‖2+2βnγn‖xn-z‖‖yn-z‖+γ2n‖yn-z‖2+2αn〈u-z,j(xn+1-z)〉≤

β2n‖xn-zn‖2+2βnγn‖xn-z‖(M+‖xn-z‖)+γ2n(M+‖xn-z‖2)+

2αn〈u-z,j(xn+1-z)〉=

(βn+γn)2‖xn-z‖2+2γnM(βn+γn‖xn-z‖)+γ2nM2+2αn〈u-z,j(xn+1-z)〉=

(1-αn)2‖xn-z‖2+δn.

其中,δn=2γnM(βn+γn‖xn-z‖)+γ2nM2+2αn〈u-z,j(xn+1-z)〉.因此

注1本文引進了一個新的關于非擴張映像三重復合修正的Ishikawa迭代序列,并證明了該序列在一定條件下的強收斂性.顯然，當α"n=0,β"n=1,γ"n=0時,即為文獻[8]的結論;進一步,當α′n=0,β′n=1,γ′n=0時,即為文獻[7]的結論.因此,本文所得的結果改進和推廣了文獻[7-9]等一些相關的近代結果.

[1]Kim T H,Xu Hongkun.Strong convergence of modified mann iteration[J].Nonlinear Anal,2005,61(2):51-60.

[2]Su Yongfu,Li Mengqin,Zhang Hong.New monotone hybrid algorithm for hemi-relatively nonexpansive mappings and maximal monotone operators[J].Appl Math Comput,2011,217(12):5458-5465.

[3]Wittmann R.Approximation of fixed point of nonexpansive mappings[J].Arch Math,1992,58(5):486-491.

[4]Lions P L.Approximation de points fixes de contractions[J].CR Acad Sci Ser A-B Paris,1977,284(21):1357-1359.

[5]Xu Hongkun.Iterative algorithms for nonlinear operators[J].J London Math Soc,2002,66(1):240-256.

[6]Ceng L C,Guu S M,Yao J C.A general composite iterative algorithm for nonexpansive mappings in Hilbert spaces[J].Comput Math Appl,2011,61(9):2447-2455.

[7]姚永紅,陳汝棟,周海云.非擴張映像不動點的迭代算法[J].數學學報:中文版,2007,50(1):139-144.

[8]宣渭峰,王元恒.雙復合修正的Ishikawa迭代逼近非擴張映像不動點[J].浙江師范大學學報:自然科學版,2009,32(4):381-386.

[9]傅湧.Hilbert 空間中非擴張映射Noor混合迭代序列的收斂性[J].浙江大學學報:理學版,2011,38(1):22-26.

[10]王元恒,曾六川.Banach空間中廣義投影變形迭代法的收斂性[J].數學年刊:A,2009,30(1):55-62.

[11]王元恒,徐衛.非擴張映像不動點的一種變形迭代算法[J].浙江大學學報:理學版,2009,36(3):259-263.

[12]Xu Hongkun.An iterative approach to quadratic optimization[J].J Optim Theory Appl,2003,116(3):659-678.

(責任編輯 陶立方)

StrongconvergenceofthetriplecompositemodifiedIshikawa′siterationfornonexpansivemappings

LUO Hongping, WANG Yuanheng

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

The strong convergence was established for the triple composite modified Ishikawa type iteration for nonexpansive mappings in Banach space with uniformly Gateaux differentiable norm. The results improved and extended the relevant results in other literatures.

uniformly Gateaux differentiable norm; nonexpansive mapping; triple composite modified Ishikawa′s iteration; strong convergence

O177.91

A

1001-5051(2013)01-0031-06

2012-10-08

國家自然科學基金資助項目(11071169)；浙江省自然科學基金資助項目(Y6100696)

羅紅平(1987-)，女，浙江臺州人，碩士研究生.研究方向：非線性泛函分析.

王元恒. E-mail: yhwang@zjnu.cn