Maxwell-Bloch 方程的Hopf分叉研究*

汪靈杰, 趙曉華

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

Maxwell-Bloch 方程的Hopf分叉研究*

汪靈杰, 趙曉華

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

主要考慮了基于Maxwell-Bloch方程激光模型的動力學行為，分析了Maxwell-Bloch方程的平衡點穩定性和Hopf分叉行為，給出了相應的數值模擬及分叉圖.

Maxwell-Bloch方程;中心流形;Hopf分叉;數值模擬

0 引 言

所謂Maxwell-Bloch方程(M-B系統),是指下面的常微分方程組:

式(1)中:E為緩變包絡場強;P是指原子的極化強度;Δ是指粒子數反轉;k為場強;γ⊥為原子極化;γ‖為粒子的損失率;g為耦合常數;Δ0為無耦合情況下的粒子數反轉;k,γ⊥,γ‖,g,Δ0,均取正值.對于本文討論的腔模頻率與原子頻率處于共振情況,E和P均是實變量,這樣M-B方程組就變成一個3維自洽微分方程組.關于Maxwell-Bloch方程的推導及背景,可參考俄羅斯學者Ya I Khanin的專著《Fundamentals of Laser Dynamics》(2006).

注意到,當參數滿足關系k=σ,γ⊥=g2/k=1,g2Δ0/k=r,γ‖=b,而記x=E,y=gP/k,z=Δ0-Δ時,方程(1)就是著名的Lorenz方程.因此,Maxwell-Bloch方程(1)以Lorenz方程為其特例.

近幾年來，在激光動力學領域里，人們對M-B激光方程從不同層面作了些理論分析和實驗研究[1-4],展現了其豐富的非線性動力學行為,如分叉、混沌等.Bloch方程是一個與Schr?dinger方程類似的方程,用來描述共振耦合激光場原子的演變過程,而Maxwell方程則描述了光場在介質中的傳播特性.2個方程耦合在一起,造就了更加復雜的動力學行為.

1 平衡點分叉及穩定性分析

由于系統(1)包含有5個非零參量,為便于研究,將通過尺度變換以減少參量個數.為此,引入變換

則系統(1)轉化為本文要討論的三參數系統形式

1.1平衡點A的穩定性分析

系統(3)在平衡點A處對應線性系統的Jacobi矩陣為

其對應的特征方程為f(λ)=(λ+1)[(λ+η1)(λ+η2)-η3],相應的特征根為

從式(4)可得以下定理:

定理11)若η1η2-η3>0,則特征根全為負實數，平衡點A為穩定結點類型;

2)若η1η2-η3<0,則特征根為一正兩負實數，平衡點A為鞍型不穩定;

3)若η1η2-η3=0,則特征根為λ1=0,λ2=-(η1+η2)<0,λ3=-1<0,平衡點A是不穩定的.

證明 前2個結論顯然,以下證明結論3).由特征值可知,此時平衡點屬于退化臨界情形,滿足中心流形定理的條件,故用中心流形理論[5]進行處理.

先把平衡點A平移到原點,令x=X,y=Y,z=Z+η3,則系統(3)變為

再對系統(5)作如下變換:

則系統(5)變為

即

.

此時,可設式(6)的局部中心流形為

式(7)中,h1,h2滿足

h1(0)=h2(0)=h′1(0)=h′2(0)=0.

將式(7)代入式(6),得到關于h1(Y1),h2(Y1)的微分方程組

將h1(Y1),h2(Y1)展開成級數形式,即

將式(9)代入式(8),比較兩端同次冪的系數可得

從而中心流形有近似表示

將中心流形式(10)代入式(6),可得中心流形上的方程為

則由式(11)及η1(η1+η2)>0可知,中心流形上的平衡點Y1=0是不穩定的.故可知在參數滿足η3=η1η2的條件下,整個系統平衡點A是不穩定的.定理1證畢.

1.2平衡點B和C的穩定性分析

系統(3)在平衡點B和C處對應線性系統的Jacobi矩陣為

對應的特征多項式均為

分析特征方程(12)的根可得如下定理：

定理2對于任意的η1>0,η2>0,η3>η1η2,

證明 利用Hurwitz定理,寫出H矩陣為

從而,式(12)的特征值的實部全為負數的充要條件是矩陣H的所有順序主子式全為正數,即

由于η1>0,η2>0,η3>η1η2,所以只要證明D2>0即可.再對D2>0進行簡單分析即可得定理2的結論.

2 平衡點B和C附近的Hopf分叉分析

將η3=η*3代入平衡點B和C處的特征方程(12),得

因此,特征根為一對純虛根和一個負實根,即

由于特征方程(12)的系數連續依賴于參數η3,特征值也連續依賴于η3,因此,對滿足條件η1>1+η2的任意取定的(η1,η2),只要η3充分接近η*3,特征方程(12)的特征值必為

且

將式(15)中的特征值形式代入特征方程(12),整理得

注意α是η3的函數,在式(17)中固定η1,η2,兩端關于η3在η3=η*3處求導數(注意α(η*3)=0),得

至此,已證明了系統(3)在平衡點B和平衡點C處的特征值滿足式(16)和式(18),即滿足Hopf分叉定理[6-7]的條件.從而得出下面的定理：

接下來利用文獻[7]中的方法進一步分析Hopf分叉周期解的分叉方向和穩定性.為此,以下約定正參數η1和η2是滿足條件η1>η2+1的固定常數,將η3視為分叉參數.

J(B)x+S(x).

使得系統(19)在這個變換下變為

式(21)中

由于特征值滿足式(16),因此不難求得,在η3=η*3處,

其逆矩陣為

.

其中:d為矩陣P(η*3)的行列式;ω0由式(14)定義.若記式(21)中的非線性項為

P-1(η3)S(P(η3)u)F(u,η3)=(F1,F2,F3)T,(24)

則代入Hopf分叉臨界參數值η3=η*3,可得F(u,η*3)的分量為:

利用F(u,η*3)的分量表示可很方便地計算出下面的偏導數：

Fkij(0,η*3),Fkijl(0,η*3).

(25)

μ2(η1,η2)的表達式很長,無法直接分析,但利用Maple數學軟件就能很容易通過數值模擬得出斷言：對滿足條件η1>η2+1的η1和η2的任何正值,函數μ2(η1,η2) 恒小于零.

對平衡點C也可作類似的分析,并且可得與平衡點B完全相同的結論.于是,結合式(18),并根據文獻[7-8],立即可得下面的定理：

為了說明上述Hopf分叉周期解的分叉方向和穩定性,給出如下一個實例:取η1=4,η2=1,η3作為自由參數,此時,η*3=64,平衡點B(3.872 983 346,15.491 933 38,4),且

因此,當η3接近并小于η*3=64時,在平衡點B附近存在一個不穩定的周期解,這是因為

μ2α′(η*3)=-0.124 006 408 7<0.

3 數值模擬

下面展現一些數值模擬結果,驗證Hopf分叉周期解的存在性.在此，以η3作為分叉參數，且所有的分叉圖都是用Matcont軟件[9]畫出來的.

圖1、圖2分別是以x,y作為狀態變量，η3作為分叉參數的M-B方程平衡曲線及其分叉圖.

圖1 變量x關于η3的分叉圖

圖2 變量y關于η3的分叉圖

從圖3可以看到:當分叉參數η3=64時,存在2個對稱的Hopf分叉點H，并且其第一Lyapunov系數為0.000 394 074 4,說明是亞臨界Hopf分叉;當分叉參數η3=4時，存在1個BP點,即平衡點A.圖4是以正的Hopf分叉點H作延拓計算而得到的極限環分叉圖，因為Hopf分叉點的存在，意味著極限環的存在，故在對其進行延拓計算時只需尋找余維數1上的極限環分叉.圖4仍以η3作為自由參數，得到的是以狀態變量x為極限環的振幅隨參數η3的分叉圖.隨著參數η3的變化，很快就得到環極限點(LPC),但當參數η3繼續變小時，極限環的振幅進一步增大.圖5為平衡點分叉與Hopf分叉合成圖.從圖5可以看出:當η3<η1η2時,該系統只有1個不穩定的平衡點;當η3>η1η2時,該系統有3個平衡點;當η3=η*3時,存在2個Hopf分叉點,此時,系統在Hopf分叉點附近產生2個亞臨界的Hopf分叉周期解.

圖3 圖1和圖2的數據截圖

圖4 Hopf分叉點H的延拓分叉圖

圖5 平衡點分叉與Hopf分叉合成圖

以上數值模擬結果驗證了本文理論分析的可靠性,同時M-B方程還具有其他方面更復雜的動力學行為，如廣義Hamilton擾動系統的周期軌道、同宿軌道分支與混沌[10]等運動.對此,筆者將作進一步的研究.

[1]Arecchi F T,Lippi G L,Puccioni G P,et al.Deterministic chaos in lasers with injected signal[J].Opt Commun,1984,51(5):308-314.

[2]Arecchi F T.Chaos and generalized multistability in quantum optics[J].Phys Scr,1985,T9:85-92

[3]Arecchi F T,Boccaletti S,Ramazza P.Pattern formation and competition in nonlinear optics[J].Physics Reports,1999,318(1/2):1-83.

[4]Hacinliyan A S,Kusbeyzi I,Aybar O O.Approximate solutions of Maxwell Bloch equations and possible Lotka Volterra type behavior[J].Nonlinear Dynamics,2010,62(1/2):17-26.

[5]Wiggins S.Introduction to applied nolinear dynamical systems and chaos[M].2nd ed.New York:Springer,2003:245-265.

[6]Hassard B,Kazarinoff N,Wan Y.Theory and application of Hopf bifurcation[M].Cambridge:Cambridge University Press,1981.

[7]Hsü I D,Kazarinoff N D.An applicable Hopf bifurcation formula and instability of small periodic solutions of the Field-Noyes model[J].J Math Anal Appl,1976,55:61-89.

[8]Hsü I D,Kazarinoff N D.Existence and stability of periodic solutions of a third-order nonlinear autonomous system simulating immune response in animals[J].Proc Roy Soc Edinburgh Sect:A Mathematics,1977,77(1/2):163-175.

[9]Dhooge A,Govaerts W,Kuznetsov Y A,et al.MATCONT and CL_MATCONT: Continuation toolboxes in matlab[M].The Netherlands:Utrecht Universities Press,2006.

[10]李繼彬,趙曉華,劉正榮.廣義哈密頓系統理論及其應用[M].北京:科學出版社,2007:123-152.

(責任編輯 陶立方)

StudyonHopfbifurcationforMaxwell-Blochequation

WANG Lingjie, ZHAO Xiaohua

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

The dynamic behavior of the laser model: the Maxwell-Bloch equations was studied. Stability of equilibrium, Hopf bifurcation behavior in this system were investigated in detail and the associated numerical simulation and bifurcation diagrams were also presented.

Maxwell-Bloch equation; center manifold; Hopf bifurcation; numerical simulation

O175.14

A

1001-5051(2013)01-0037-08

2012-10-23

國家自然科學基金資助項目(10872183;11172269)

汪靈杰(1984-),男,浙江臨海人,碩士研究生.研究方向：微分方程與動力系統.

趙曉華. E-mail: xhzhao@zjnu.cn