一道競賽附加題的別證與推廣

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(衢州市第一中學 浙江衢州 324000)> (衢州市第二中學 浙江衢州 324000)

一道競賽附加題的別證與推廣

●李盛●楊樟松

(衢州市第一中學 浙江衢州 324000)> (衢州市第二中學 浙江衢州 324000)

2013年浙江省高中數(shù)學競賽的附加題是一道不等式證明題：

題目設a,b,c∈R+,ab+bc+ca≥3,證明：

(1)

參考答案是利用冪平均值不等式進行證明的.注意到當a=b=c=1時，已知條件中的不等式等號成立，這啟發(fā)了筆者利用算術—幾何平均值不等式進行證明.筆者給出2種簡單的證明方法，并將結論推廣到一般情形.

1 賽題別證

證法1式(1)等價于

(a3+b3+c3)(a2+b2+c2)≥9.

由于a2+b2+c2≥ab+bc+ca≥3,只要證明a3+b3+c3≥3.利用算術—幾何平均值不等式

a3+a3+1≥3a2,b3+b3+1≥3b2,c3+c3+1≥3c2,

3個不等式相加，得

2(a3+b3+c3)+3≥3(a2+b2+c2)≥9,

即a3+b3+c3≥3，結論顯然成立.

證法2同證法1，只要證明a3+b3+c3≥3.利用算術—幾何平均值不等式

a3+b3+1≥3ab,b3+c3+1≥3bc,c3+a3+1≥3ca,

3個不等式相加，得

2(a3+b3+c3)+3≥3(ab+bc+ca)≥9,

即a3+b3+c3≥3，結論成立.

2 賽題推廣

不等式(1)可以推廣到更一般的情形：

推廣設a,b,c∈R+,ab+bc+ca≥3,n≥1,m≥1,則

(2)

證明因為(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)≥9,所以a+b+c≥3.同時，n≥1,m≥1,利用冪平均值不等式，得

故an+bn+cn≥1.同理am+bm+cm≥1，從而

(an+bn+cn)(am+bm+cn)≥3×3=9，

(3)

式(3)與式(2)等價.

3 問題引伸

命題1設a,b,c∈R+,ab+bc+ca≥3,n≥1,則an+bn+cn≥1.

此結論在上面的推廣證明中已證.

命題2設ai>0(i=1,2,…,n)，1k,且

a1a2…ak+a2…akak+1+…+ana1…ak-1≥n,

證明由算術—幾何平均值不等式，得

……

將這n個不等式相加，得

即命題2成立.

對于an+bn+cn和am+bm+cm的大小關系，有以下結論:

命題3設a,b,c∈R+,ab+bc+ca≥3,n-1≥m≥1,則

證明利用切比雪夫不等式，得

(5)

由于n-m≥1,根據(jù)命題1，知an-m+bn-m+cn-m≥3.至此，式(5)等價于式(4).

如果將條件n-1≥m≥1改為n≥m≥1，能得到什么結論？

命題4設a,b,c∈R+，aabbcc>1,n≥m≥1,則

證明當a=b=c=1時，不等式(6)顯然成立；當a,b,c不全為1時，不等式(6)成立等價于函數(shù)f(x)=ax+bx+cx在x∈[1,+∞]上是增函數(shù).因為

f′(x)=axlna+bxlnb+cxlnc,x∈[1,+∞)，

則

f″(x)=ax(lna)2+bx(lnb)2+cx(lnc)2>0,

所以f′(x)是[1,+∞)上的增函數(shù)，故

f′(x)≥f′(1)=alna+blnb+clnc=lnaabbcc>0.

因此，不等式(6)成立.

第九屆全國初等數(shù)學研究及中學數(shù)學教育教學研討會征文通知

第九屆全國初等數(shù)學研究及中學數(shù)學教育教學研討會由全國初等數(shù)學研究會舉辦，合肥師范學院承辦，擬于2014年7月31日～8月3日在安徽省合肥市舉行(具體會議時間以正式會議通知為準)。

1.征集論文(未經(jīng)發(fā)表)內(nèi)容：初等數(shù)學專題研究的新成果或某一專題研究綜述；中學數(shù)學教育教學研究；數(shù)學自主招生、數(shù)學競賽與競賽數(shù)學研究；中、高考試題研究；數(shù)學文化。

2.有關獎項：評選和頒發(fā)第五屆“中國中青年初等數(shù)學研究獎”(名額5人)；評選第三屆中國“初等數(shù)學研究成果獎”；會議將評選第三屆中國“初等數(shù)學研究杰出貢獻獎”(原則上不超過2人)。申報條件和要求詳見全國初等數(shù)學研究會網(wǎng)站，參評者請聯(lián)系楊學枝理事長(手機13609557381)，將以上材料的word電子文稿最遲在2014年3月31日發(fā)送楊學枝理事長(郵箱yangxuezhi1121@126.com)。

3.投稿要求：來稿具體行文格式、要求詳見全國初等數(shù)學研究會網(wǎng)站。發(fā)送論文時，請另附一份作者簡介，作者的詳細通訊地址、郵政編碼、聯(lián)系電話(最好是手機號碼)、電子郵箱等word電子文稿。稿件請用word電子文件發(fā)送E-mail至cgcs1314@yeah.net，同時將論文評審費50元匯至中國建設銀行：江嘉秋 4367 4218 2321 0109 448,匯款時一定要注明作者姓名、工作單位和相關事項。匯款后務請發(fā)短信至江嘉秋(手機 13705936996)，否則不予評審。

4.相關事宜：全國初等數(shù)學研究會網(wǎng)站地址：http://www.cdmath.org;邀請部分優(yōu)秀論文作者參加本屆會議；部分優(yōu)秀論文將安排在全國初等數(shù)學研究會會刊《中國初等數(shù)學研究》雜志上發(fā)表；會議詳情與信息請關注全國初等數(shù)學研究會網(wǎng)站；向大會提交論文的最后期限是2014年3月31日，逾期不予受理。

全國初等數(shù)學研究會

2013年3月1日