含位置參數(shù)伽瑪分布的特征函數(shù)和參數(shù)估計

嚴 琴,李開燦 (湖北師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院, 湖北 黃石 435002)

含位置參數(shù)伽瑪分布的特征函數(shù)和參數(shù)估計

嚴 琴,李開燦 (湖北師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院, 湖北 黃石 435002)

研究了含位置參數(shù)的伽瑪分布的特征函數(shù)和參數(shù)估計，其中參數(shù)估計包括3個參數(shù)的矩估計以及當形狀參數(shù)和位置參數(shù)為已知時求得尺度參數(shù)的極大似然估計具有無偏性和有效性，同時還研究了兩伽瑪分布之間的Pearson-χ2距離和Kullback-Leibler距離。

伽瑪分布；Kullback-Leibler距離；Pearson-χ2距離；參數(shù)估計

1 含位置參數(shù)的伽瑪分布及其性質

(ert)(n-m)=rn-mert[(1-βt)-α](m)=βmα(α+1)…(α+m-1)(1-βt)-α-m

故：

推論1該伽瑪分布的期望和方差分別為EX=αβ+r,DX=αβ2。

證明對定理1中的結論，令n=1,n=2可得E(X)=αβ+r,DX=E(X2)-E2(X)=αβ2。

定理2若隨機變量ξ～G(α1，β，r),η～G(α2,β,r)均為伽瑪分布，則隨機變量ζ=ξ+η同樣服從伽瑪分布，且ζ～G(α1+α2,β,2r)。

證明設ξ,η和ζ的概率密度函數(shù)分別為pξ(x)，pη(y),pζ(z),當z≤2r時，pζ(z)=0，當z>2r時：

故ζ～G(α1+α2,β,2r)。

注：可加性是對于形狀參數(shù)的可加，對于位置參數(shù)只是近似的可加，而對于它是否也具有可加性有待于進一步的驗證。

2 特征函數(shù)和參數(shù)估計

定理3若ξ～G(α，β，r)，則ξ的特征函數(shù)為φ(t)=eitr(1-itβ)-α。

推論2若隨機變量ξ～G(α1,β,r1),η～G(α2,β,r2)均為伽瑪分布，則隨機變量ζ=ξ+η同樣服從伽瑪分布，且ζ～G(α1+α2,β,r1+r2)。

證明通過定理3可以得到ξ和η的特征函數(shù)分別為：

φξ(t)=eitr1(1-itβ)-α1φη(t)=eitr2(1-itβ)-α2

故ζ的特征函數(shù)為φζ(t)=φξ(t)·φη(t)=eit(r1+r2)(1-itβ)-α1+α2。由于隨機變量的分布函數(shù)由其特征函數(shù)唯一確定，故可以得到結論。

注：通過研究該伽瑪分布的特征函數(shù)，可以得到該伽瑪分布在尺度參數(shù)不變的條件下，對于形狀參數(shù)和位置參數(shù)都具有可加性。

定理4設ξ1,ξ2,…,ξn是總體G(α,β,r)的樣本，則參數(shù)α,β,r的矩估計為：

由定理4發(fā)現(xiàn)，含3個參數(shù)的伽瑪分布的矩估計比較復雜，對于其矩估計的性質有待于進一步研究。尺度參數(shù)在伽瑪分布中具有特殊重要的意義，因此重點分析尺度參數(shù)的極大似然估計。

證明設子樣ξ1,ξ2,…,ξn的聯(lián)合概率函數(shù)在ξi取已知觀測值xi,i=1,…,n時f(x1;β)f(x2;β)…f(xn;β)是β的函數(shù)，用L(β)=L(β;x1,x2,…,xn)表示子樣的似然函數(shù)：

3 伽瑪分布的Pearson-χ2距離和Kullback-Leibler距離

通常為了比較2個密度函數(shù)的差異性，利用Pearson-χ2距離和Kullback-Leibler距離等距離概念來刻畫，而文獻[1]研究了Pearson-χ2距離的一些性質，文獻[2]研究了幾個重要分布的Pearson-χ2距離，文獻[3]則研究了一些分布的Kullback-Leibler距離。在此筆者研究伽瑪分布的這2個距離。

定理6設f(x)是伽瑪分布G(α1,β1,r)的密度函數(shù)，g(x)是伽瑪分布G(α2,β2，r)的密度函數(shù)，且0<α1<2α2，2β1≠β2，則：

證明由距離公式的定義得：

其中:

定義3設隨機變量ξ,η分別具有密度函數(shù)f(x)，g(x)并設g(x)>0，則f(x),g(x)之間的Kullback-Leibler距離定義為:

定理7設f(x)是伽瑪分布G(α1,β1,0)的密度函數(shù)，g(x)是伽瑪分布G(α2,β2,0)的密度函數(shù)，且α1,α2>1，則f(x)到g(x)的Kullback-Leibler距離為：

證明由Kullback-Leibler距離定義得：

所以:

當α1,α2>1時，由引理1,可得:

[1]李開燦. Pearson-χ2距離的若干性質[J].數(shù)學的實踐與認識,2003,33(1):49-53.

[2] 陳光曙,朱成蓮.幾個重要分布的Pearson-χ2最大距離及其漸進性[J].江西師范大學學報(自然科學版),2005,29(5):417-419.

[3] 陳曉東.幾種常見分布的Kullback-Leibler距離[J].淮陰師范學院學報(自然科學版),2009, 8(4):279-283.

[4]Robert G O, Shau S K. Updating Schemes.Correlation St ructure, Blocking and Parameterization for the Gibbs Sampler [J]. J R Statist Soc B, 1997, 59:2912317.

[5]Liu S J,Wong W H, Kong A. Correlation St ructure and Convergence Rate of the Gibbs Sampler with Var i2 ous Scans [J]. J R Statist Soc B, 1995, 57:1572169.

[6] 魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京：高等教育出版社,2008.

2012-11-26

湖北教育廳科技重點項目(D20112503)。

嚴琴(1989-)，女，碩士，現(xiàn)主要從事統(tǒng)計學方面的教學與研究工作。

O212

A

1673-1409(2013)04-0007-03

[編輯] 洪云飛