一個新的復合極值分布

劉維釗 (武漢大學經濟與管理學院，湖北 武漢 430072)

一個新的復合極值分布

劉維釗 (武漢大學經濟與管理學院，湖北 武漢 430072)

提出了一個新的具有單調降危險率的厚尾分布，該分布通過“混合”Pareto分布和Poisson分布而成，是一種復合極值分布。導出了新分布的概率統計特性，研究了各種可應用于風險分析和可靠性工程的特征量(包括矩、熵、危險率函數、平均剩余壽命等)，獲得了未知參數極大似然估計的存在唯一性。數值模擬表明該極大似然估計具有良好的有限樣本性質。

Pareto分布；Poisson分布；極值分布；極大似然估計

極值分布在水文、氣象、地震、風險管理以及可靠性等領域的應用越來越廣泛和深入。在考慮諸如洪水、波高、地震的年最大值分布中，每年這些特殊事件的發生次數不是一個常數，而是一個隨機變量，文獻[1]提出了復合極值分布的模型。設Y1,…,Yn,…是來自分布為G(x)的總體Y的一個簡單隨機樣本，N為與Y獨立的隨機變量，其分布列為pn=P(N=n),n=1,2,…。 令:

M=max{Y1,…,YN}X=min{Y1,…,YN}

劉晶[2]在N服從Poisson分布和Yn服從Gumbel分布的假定下，討論了FM(x)中未知參數的估計問題；葉孜文[3]研究了當N服從Poisson分布且Yn服從廣義Pareto分布時FM(x)統計推斷和實證分析；張香云、程維虎[4]在N服從二項分布且Yn服從廣義Pareto分布的條件下，研究了FM(x)的估計和檢驗問題。Kus[5]在N服從Poisson分布和Yn服從指數分布的條件下獲得了FX(x)的一系列概率性質和統計規律；Hemmati, Khorram和 Rezakhah[6]在N服從Poisson分布和Yn服從Weibull分布的條件下研究了FX(x)的概率性質和統計推斷。在實際應用中，上述特殊事件的發生大多是不常見的稀有事件，故文獻往往假定N服從Poisson分布或截斷型Poisson分布。

Pareto分布由于其厚尾和單調降危險率的特征，廣泛應用于社會科學、經濟、精算、工程等領域。Pareto分布的各種變形和推廣日益引起重視[3-4，7]。受文獻[5-6]的啟發，筆者主要研究了當N服從在零點截斷的Poisson分布且Yn服從Pareto分布時復合極值分布FX(x)的概率性質和統計規律，稱這個新的分布為Pareto-Poisson分布，它可視為Pareto分布的一種擾動和推廣，能比Pareto分布適應更大范圍、更復雜情形的統計建模的需要。

1 Pareto-Poisson分布的定義

P(X≤x|N=n) =P(min{Y1,…,YN}≤x|N=n)

(1)

X的分布函數為：

F(x，α,λ)=(eλ-1)-1(eλ-eλx-α)x≥1

(2)

稱式(1)或式(2)確定的分布參數是(α，λ)的Pareto-Poisson分布。

圖1 Pareto-Poisson 分布密度函數(λ=0.5; α=0.5,1,2,5) 圖2 Pareto-Poisson 分布密度函數(α=1; λ=0,1,3,8)

2 Pareto-Poisson分布的性質

假設X服從以(α,λ)為參數的Pareto-Poisson分布，整數k≥1。由式(1)可知，k階矩E(Xk，α,λ)存在的充分必要條件是α>k。當α>k時:

(3)

令λ→0即知Pareto-Poisson分布的矩收斂于Pareto分布的矩。

定理1設X服從以(α,λ)為參數的Pareto-Poisson分布, 其分布密度為f(x，α,λ)。則X具有有限申農熵：

(4)

證明由式(1)可知:

(5)

定理2對任何α>0，λ>0，h(x，α,λ)是x的嚴格單調降函數，且遠期危險率為:

定理3設X服從Pareto-Poisson分布，參數α>1,λ>0。則X的平均剩余壽命為：

(6)

(7)

證明由定義，有：

由此即得式(6)。從式(6)可知：

任給0up)=p，則易見:

(8)

3 Pareto-Poisson分布的極大似然估計

設X1,…,Xn是來自以(α,λ)為參數的Pareto-Poissson分布的簡單隨機樣本，由式(1)知對數似然函數和似然方程分別為：

(9)

(10)

故式(10)中的第2個方程無解，λ的極大似然估計不存在。下面筆者在假定λ給定或已知的條件下求α的極大似然估計。

當α>1給定或已知時，可利用式(3)和矩法得到λ的矩估計的數值解。

表1 α的極大似然估計的均值、標準誤和迭代次數(α0為初值)

[1]馬逢時,劉德輔. 復合極值分布理論及其應用[J]. 應用數學學報, 1979, 2(4)：366-375.

[2] 劉晶,吳新榮,李素紅. Poisson-Gumbel復合極值分布的參數估計[J]. 統計與決策, 2007(9): 17-19.

[3] 葉孜文. 基于Poisson-GP復合極值分布的股指期貨保證金設置研究[J]. 曲阜師范大學學報, 2011, 37(4): 49-52.

[4] 張香云,程維虎. 二項-廣義Pareto復合極值分布模型的統計推斷[J]. 應用數學學報, 2012, 35(3): 560-572.

[5] Kus C. A new lifetime distribution[J]. Computational Statistics and Data Analysis, 2007, 51: 4497-4509.

[6] Hemmati F, Khorram E，Rezakhah S. A new three-parameter ageing distribution[J]. Journal of Statistical Planning and Inference, 2011, 141: 2266-2275 .

[7] 劉媚. 混合雙參數Pareto分布的假設檢驗[J]. 統計與決策, 2011(2): 34-35.

[8] 茆詩松,王靜龍,濮曉龍. 高等數理統計[M]. 北京：高等教育出版社， 1998.

2012-11-16

國家自然科學基金項目(10771163)。

劉維釗(1991-)，男，現主要從事數理金融方面的學習。

O212

A

1673-1409(2013)04-0010-04

[編輯] 洪云飛