基于半正定約束的最差性能最優(yōu)通用信號模型頑健波束成形算法

徐定杰，賀瑞，沈鋒

(哈爾濱工程大學(xué) 自動化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

1 引言

自適應(yīng)波束成形技術(shù)廣泛應(yīng)用于雷達、通信、聲吶、聲學(xué)以及醫(yī)學(xué)成像等眾多領(lǐng)域。在陣列導(dǎo)向矢量和協(xié)方差矩陣準(zhǔn)確已知的情況下，自適應(yīng)波束成形器能輸出最優(yōu)的信號干擾噪聲比(SINR)。但在實際應(yīng)用中，由于陣列校正誤差、未知傳感器互耦、近場波前失真、源擴展、相干和非相干的局部散射以及有限的采樣數(shù)據(jù)等因素的影響，使得實際的陣列導(dǎo)向矢量和協(xié)方差矩陣與其理想值之間存在誤差，嚴(yán)重影響了波束成形器的性能。

目前，研究者已經(jīng)提出了很多頑健的自適應(yīng)波束成形方法來解決上述問題，但這些算法大多是針對簡單的點信號源模[1~10]。而在一些實際應(yīng)用中，如無線通信和聲納，由于相干和非相干散射(空間分布)或波前擾動的作用，天線陣列不能再將這些信號源作為點信號源，應(yīng)當(dāng)建模為具有一定中心角和角度擴展的空間分布式信號源。此時，需要利用高秩信號模型來描述信號散射和波前擾動的影響，而且通常利用信號的協(xié)方差矩陣來描述期望信號的陣列響應(yīng)，而不是期望信號的導(dǎo)向矢量。因此，多數(shù)算法不能直接推廣到高秩信號模型。針對通用信號模型，文獻[11]提出了一種具有閉環(huán)形式解的頑健自適應(yīng)波束成形算法，通過使期望信號和接收信號的協(xié)方差矩陣對所有可能的失配維持無畸變響應(yīng)從而提高頑健性，即所謂的最差性能最優(yōu)。但是求解過程中沒有考慮協(xié)方差矩陣的半正定特性，只是限制了失配約束參數(shù)必須小于協(xié)方差矩陣的最大特征值，而最優(yōu)解的求取必須借助于約束參數(shù)。因此可能導(dǎo)致所求的解過于保守，無法獲得最優(yōu)解。文獻[12]提出了一種基于迭代的頑健自適應(yīng)波束成形算法，該算法附加了協(xié)方差矩陣的半正定約束，因此算法的性能有所提高。但是基于半正定規(guī)劃的問題必須在每次迭代中由內(nèi)點方法求解，大大增加了算法的計算復(fù)雜度，制約了算法的實際應(yīng)用。

本文針對通用信號模型，提出了一種新的頑健自適應(yīng)波束成形算法。該算法基于期望信號和接收信號協(xié)方差矩陣的最差性能最優(yōu)，并且考慮了協(xié)方差矩陣的半正定約束。通過對波束成形器進行建模和變換，得到了一種新的頑健自適應(yīng)波束成形器的表達式，并且通過對波束成形器進行求解，得到了最優(yōu)權(quán)矢量的近似閉式解，相對于文獻[12]中的迭代求解具有較低的計算復(fù)雜度并且更加接近于最優(yōu)值。

2 通用信號模型

考慮一個傳感器陣列是由M個陣元組成的理想均勻線陣，則 1M×維的陣列接受信號為

其中， s( k)、 i( k )和 n ( k)分別表示統(tǒng)計獨立的期望信號、干擾信號和噪聲組成部分。陣列輸出為y( k ) = wHx ( k )，其中， w = ［ w , w , ? ? ?,w］T為加權(quán)

0 1M-1矢量， (? )T和(?)H分別表示矩陣的轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置。陣列加權(quán)矢量w可以通過最大信干噪比準(zhǔn)則獲得

其中，

分別為陣列期望信號的協(xié)方差矩陣和干擾加噪聲協(xié)方差矩陣。在點信號源模型下，期望信號s( k ) = s0( k)as，期望信號協(xié)方差矩陣其中， s0( k)為期望信號波形，為s0( k)的協(xié)方差，as為期望信號的導(dǎo)向矢量。在這種情況下，sR的秩為1，并且式(2)可以簡化為

但在一些實際應(yīng)用中，如無線通信和聲吶中的非相干散射(空間分布)或具有波前擾動的信號源，天線陣列不能將這些信號源作為點源，應(yīng)當(dāng)建模成具有一定中心角和角度擴展的空間分布式信號源。在這種情況下，不能簡單地利用信號的導(dǎo)向矢量建模，sR可以表示為[13]

其中， ρ （ θ）為信號源空間角功率密度函數(shù)。因此，通用信號模型可以為點信號源或空間分布式信號源，稱 Rs為通用信號模型的協(xié)方差矩陣，它的秩為1到M之間的任意整數(shù)。通用信號模型下自適應(yīng)波束成形算法可以表示為[11]

則自適應(yīng)波束成形算法的最優(yōu)權(quán)矢量optw 為

其中， p ｛ ?｝表示求矩陣的主特征矢量，即對應(yīng)于最大特征值的特征矢量。

3 最壞情況下頑健自適應(yīng)波束成形算法

在實際波束成形應(yīng)用中，很難得到協(xié)方差矩陣sR和in+R 的真實值，一般用協(xié)方差矩陣的估計值和誤差來表示真實的協(xié)方差矩陣，假定具有如下關(guān)系

為了改善對于任意失配的頑健性，保證在最差失配條件下的無失真響應(yīng)，基于最差性能最優(yōu)的頑健波束成形算法可以表示為

該波束成形算法可以描述為在最差失配2Δ條件下保持期望信號的無失真陣列響應(yīng)，同時在最差失配1Δ條件下的陣列輸出功率最小，因此該算法是基于最差性能最優(yōu)準(zhǔn)則的。通過文獻[11]中的處理方法，該問題可以簡化為

利用Lagrange乘數(shù)方法進行求解，該波束成形算法的最優(yōu)解為

4 基于半正定約束的頑健自適應(yīng)波束成形算法

由于算法(13)沒有考慮協(xié)方差矩陣的半正定約束，可能導(dǎo)致所求的解過于保守。因此，提出了一種基于半正定約束的頑健自適應(yīng)波束成形算法

則式(16)可以等價的轉(zhuǎn)化為

其中，η為Δ的模約束參數(shù)且0η＞。

5 頑健波束成形算法的求解

為了對式(18)進行求解，首先要求解以下最小化問題

把目標(biāo)函數(shù)展開，式(19)可轉(zhuǎn)化為

對于該最優(yōu)化問題，最優(yōu)解顯然取在約束集合的邊界上，因此不等式約束可以等價轉(zhuǎn)換為等式約束也可以表示為

對于該等式約束最優(yōu)化問題，可以利用Lagrange乘數(shù)方法進行求解，其解可通過最小化如下函數(shù)獲得

其中，λ為Lagrange乘數(shù)。求式(22)關(guān)于Δ的梯度并令其為零，得

可得Δ的最優(yōu)解為

運用矩陣求逆引理，式(24)可重新寫為

其中， tr （?）表示跡運算。由式(25)和式(26)，可以得到最差情況下的值，即

則最優(yōu)化問題(18)可以等價轉(zhuǎn)換為

由于約束的括號中含有未知的參數(shù)w，因此很難利用Lagrange乘數(shù)方法求得最優(yōu)的閉式解。由于=QHQ，則式(29)中的約束可等價地轉(zhuǎn)化為

即

則最優(yōu)化問題(29)可近似為

由式(32)可以看出，新約束條件比原來的約束更為嚴(yán)格?？梢宰C明，最優(yōu)解發(fā)生在不等式約束的邊界上，因此式(33)與式(15)具有相似的形式，與文獻[11]中的求解方法類似，利用Lagrange乘數(shù)方法進行求解，該頑健自適應(yīng)波束成形算法的最優(yōu)解為

6 仿真分析

為了驗證所提出算法的頑健性、求解的正確性，進行了如下的仿真實驗?？紤]陣元數(shù)為20，陣元間隔為半個信號波長的理想均勻線陣。假設(shè)期望信號和干擾信號都為非相干散射源，其角功率密度分別服從高斯分布和均勻分布，中心波達方位角分別為30°和 30-°，方位角角度擴展方差都為4。假定期望信號的角功率密度也服從高斯分布，但中心波達方位角和角度擴展方差分別為32°和6。此外，干擾信號功率和空間白噪聲功率分別為20dB和0dB。所有的實驗結(jié)果均由200次Monte-Carlo實驗平均所得，并將其與對角加載算法LSMI (diagonally loaded sample matrix inversion)、文獻[11]和文獻[12]提出的進行比較。其中，對角加載因子 30r= ，模約束參數(shù)ε和η分別設(shè)為文中使用MATLAB CVX工具箱對文獻[12]中的迭代算法進行求解。

圖1給出了不同輸入SNR對輸出SINR性能的影響。顯然，本文提出的方法和文獻[12]中的算法要優(yōu)于文獻[11]中的算法，這是由于附加了協(xié)方差矩陣的半正定約束，提高了算法的性能。而本文提出的方法又要優(yōu)于文獻[12]中的迭代算法，這是因為本文提出的方法得到了權(quán)矢量的閉式解，該解更加接近權(quán)矢量的最優(yōu)解。隨著 SNR的增加，只有LSMI算法的輸出SINR增加緩慢，并且性能最差。

圖1 輸出SINR相對于輸入SNR的變化

圖 2給出了不同快拍數(shù)對波束成形器輸出SINR的影響。從圖中可以看出，本文提出的方法在快拍數(shù)變化時有著比較穩(wěn)定的輸出SINR，并且優(yōu)于文獻[11]和文獻[12]中算法的性能。同樣，由于附加了協(xié)方差矩陣的半正定約束，文獻[12]中算法輸出的SINR要高于文獻[11]中的算法。LSMI算法輸出的SINR最低，逐漸接近15dB。

圖2 輸出SINR相對于快拍數(shù)的變化

7 結(jié)束語

針對傳統(tǒng)波束成形算法在通用信號模型下的局限性，提出了一種基于半正定約束的通用信號模型頑健波束成形算法。該算法利用協(xié)方差矩陣的半正定約束，提高了算法的頑健性。通過對波束成形器進行變換和求解，得到了最優(yōu)權(quán)矢量的近似閉式解，具有較低的計算復(fù)雜度。計算機仿真結(jié)果也驗證了所提算法的正確性和有效性。

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