基于FARIMA-GARCH模型的網絡業務預測算法

楊雙懋，郭偉，唐偉

(1. 電子信息控制重點實驗室，四川 成都 610036；2. 電子科技大學 通信抗干擾技術國家級重點實驗室, 四川 成都 611731）

1 引言

網絡業務的流量特性是進行網絡協議設計、性能評估、資源管理和設備研究所必須考慮的重要因素，目前已經有大量文獻對此做出了研究。早期對網絡業務的流量特性的研究以泊松模型為主。然而，通過對真實網絡流量的深入分析發現數據交換網絡的流量特征不能通過泊松模型描述[1]。特別是文獻[2～4]通過對局域網和廣域網的流量特性進行了實際測量與分析，發現了網絡流量具有自相似(self-similarity)和長相關性(long-range dependence)。因此，傳統的描述短相關性(short-range dependence)的泊松過程、Markov過程、AR(autoregressive)、MA(moving average)、ARMA(autoregressive moving average)和ARIMA(autoregressive integrated moving average)過程等已不適合于描述 LRD業務流。同時，長相關模型又缺乏刻畫業務短相關性的能力，因此必須采用能同時描述LRD和SRD的數學模型。當前網絡流量的建模和預測主要集中于采用時間序列模型的算法[5]、小波模型[6～8]以及神經網絡模型[9～16]等。

經典的 ARMA模型的預測算法[17]具有較低復雜度，但是不適合于描述 LRD業務流；基于分數自回歸求和滑動平均(FARIMA, fractional autoregressive integrated moving average)模型的預測算法[18]相對于文獻[17]提高了預測精度，但是對于網絡業務的劇烈波動性也不太適應。文獻[6～8]把小波分析和時間序列模型結合起來，通過時間序列模型預測小波的細節分量或者預測重構后單支分量，再進行總體流量重構，但沒有給出如何進行長期預測和區間預測的方法。

基于神經網絡的預測模型可以對非線性的序列進行預測，能較好地描述網絡流量的不穩定性，但訓練復雜度和計算復雜度都較高。BP(back propagation)神經網絡采用全局逼近，其訓練時間偏長，因此其應用受到限制；而徑向基(RBF, radial basis function)神經網絡采用局部逼近訓練算法，能夠以任意精度逼近任意連續函數。文獻[15]把RBF神經網絡應用到網絡業務預測算法中，文獻[16]用RBF神經網絡對流量的小波細節分量進行預測，再將流量進行重構，但是沒有考慮業務的長相關性，同時也沒有給出如何確定神經網絡的嵌入維數和延遲時間。這2個參數將在很大程度上決定預測算法的精度[19]，然而目前還沒有普適的方法進行確定[19,20]。

經典的基于 FARIMA 模型的預測算法[18]分為序列零均值化、分數差分階數估計、序列建模和預測3個關鍵步驟。其序列零均值化采用了整體去均值法，但是該法無法降低序列的波動性；而采用傳統的估計算法[5]得到的分數差分階數依然不夠精確。同時，FARIMA模型本身不能對序列的波動性進行有效跟蹤。作者在前期研究中提出了一種基于 FARIMA改進的預測算法[21]，而本文將作進一步擴充，提出一種基于廣義自回歸條件異方差(FARIMA-GARCH,generalized autoregressive conditional heteroscedasticity)模型的網絡業務預測算法。

本文所提算法流程如圖1所示。首先，提出一種分段雙向CUSUM檢測算法將序列零均值化，以此減小序列的波動性；然后針對分數差分階數的精確估計提出了一種限定搜索法；接著對序列進行FARIMA-GARCH建模；最后進行流量預測和區間估計。

2 基于FARIMA-GARCH模型的預測算法

2.1 FARIMA-GARCH模型

時間序列中的 FARIMA(p,d,q)-GARCH(r,s)模型[22]是將FARIMA與GARCH相結合，能同時描述網絡業務的長相關性、短相關性和波動性的離散時間序列模型。令tX表示業務的時間序列，則該模型可以表示為

圖1 網絡業務建模預測流程

其中，B是時延算子，即 B Xt= Xt-1。分數差分階數 d ∈(-0 .5,0.5)， ?d為分數差分算子。Φ(B)、Θ(B)、Ω(B)和A(B)為復變量多項式[18,22]。非負整數p和q是FARIMA模型的自回歸階數和滑動平均階數，{at}表示業務序列Xt的殘差序列，表示條件方差，非負整數r和s表示GARCH模型的階數，{vt}為零均值且方差為1的高斯白噪聲。

當 d = 0 時， Xt退化成ARMA(p, q)，只呈現出短相關性。所以，本文將在精確估計出分數差分階數d后，通過分數差分來消弱序列中的長相關性，以利用經典的時間序列理論進行參數估計。

2.2 分段雙向CUSUM均值檢測算法

式(2)中要求輸入的序列必須是零均值平穩序列，實際的用戶業務序列往往不滿足零均值的要求。傳統的去均值的方法是整體去均值法[18]，但是該法不能減小序列的方差；而分段去均值法能夠得到更小的方差。因此，本文采用分段去均值法對序列進行零均值化，且有定理1成立。

定理 1 分段去均值法獲得的方差不大于整體去均值法。

證明 設序列 { yt} ：y1, y2, … ,yv, yv+1,yv+2,… ,yL是具有均值變化點的時間序列，其均值為μ3，其中，時間點v為變點；設序列 y1, y2,… ,yv滿足均值為μ1，方差為，長度為v；后半部分序列yv+1,yv+2,… ,yL滿足均值為μ2，方差為，長度為L - v ，且有 μ1≠μ2。按照分段去均值法去均值后，得到時間序列{γt}；按照整體去均值法，得到{πt}，表示為

又由條件 μ1≠ μ2，可得D(πt)＞D(γt)。

由于網絡業務呈現出波動率聚類特性，即在較大幅度波動后面伴隨著較大幅度的波動，在較小波動幅度后面緊接著較小幅度的波動。為了更好地檢測序列均值的變化和在建模時平滑業務序列的波動性，本文提出一種分段雙向 CUSUM(cumulative sum)均值檢測算法。圖2是均值檢測算法的窗口移動示意，檢測窗口中包含L個業務序列樣本值。圖2(a)是窗口未檢測出序列均值的變化的示意，此時窗口右移一個樣本點，然后繼續檢測新窗口中的樣本。圖2(b)在窗口中檢測到時間點為 tC的均值變化點，此時窗口右移 C -1個樣本點再繼續檢測。

圖2 均值檢測數據窗口示意

給定檢測門限eh、序列的期望修正值δ、窗口起始值和長度L。記當前窗口起始時刻為1t，向上變化決策函數為，向下變化決策函數為

其中，Y+運算含義是：當 0Y＞ 時，Y Y+= ；當 Y≤0時， 0Y+= 。Y-運算含義是：當Y≤0時，Y Y-= ，當 0Y＞ 時， 0Y-= 。于是，分段雙向 CUSUM均值檢測算法步驟可由圖3的偽代碼表示。

圖3 分段雙向CUSUM算法偽代碼

由于CUSUM檢測算法假設序列的均值為負，而本算法的目標檢測序列在實際物理系統中都是非負序列，因此需要修正值δ來改造時間序列，取為E(Xt)。而檢測門限值eh采用3倍標準差法，即eh = 3 × s td( Xt)。期望修正值δ、檢測門限值eh和窗口長度L可以根據當前業務特征、精度和靈敏度要求在實際運用中靈活調整。

2.3 限定搜索法

為了獲得流量的分數差分階數 d，可以通過估計序列的Hurst指數，再由關系式 0.5H d= + 得到。經典的 Hurst指數估計方法[5,23～27]的時間復雜度不盡相同，但對實際的復雜網絡流量，這些方法的準確度都不高。由于Hurst指數描述了序列整體平均的自相似特性，而這種整體的特性不一定適用于具有時變性的復雜網絡流量，因此對真實流量序列進行估計時上述方法都存在誤差，采用不同方法對同一序列獲得的Hurst指數也有所不同[28]。因此，本文將計算復雜度比較低的 A-V小波法[26]和搜索法相結合，提出一種限定搜索法對d進行精確估計。

如圖4所示，限定搜索法先使用A-V小波法估計出分數差分階數d的粗估計?d，然后在?d的鄰域內按照一定的規律遍歷，用?d對序列進行分數差分濾波，計算濾波后序列的自相關函數的平方和[29]。將平方和達到最小的?d作為分數差分參數d。

圖4 限定搜索法

對流量序列 Xt進行分數差分濾波后獲得長度為N的序列 Wt，即設 W 的K點協方差t函數估計量，歸一化自相關函數估計量k)和自相關函數序列的平方和M用如下公式計算

給定d的鄰域大小ed、M的精度ef，搜索步長step取為 /2ed 。用A-V小波分析法估計當前序列的粗估計值，則當前搜索點dc取為ed-。于是，限定搜索法的步驟可圖5的偽代碼所表示。

圖5 限定搜索法法偽代碼

其中，M(dc)表示對序列tX進行分數差分濾波后，再用式(4)～式(6)獲得濾波后序列的平方和M。

對于精度K，可以根據序列的自相關函數估計量是否顯著趨于0決定。精度需求ed和ef可以根據數據量和最終精度要求在實際運用中靈活調整。

2.4 模型參數估計和檢驗

如圖1所示，在前面的2個步驟之后，需要進行模型的參數估計和檢驗，主要包括模型定階、估計參數和擬合檢驗3個步驟。本文采用了時間序列中的經典方法[30,31]進行處理。

2.5 業務序列預測算法

基于上述分析，提出如下算法實現圖1的流程。

1) 對給定業務流依2.2節中分段雙向CUSUM均值檢測算法進行去均值，得到零均值序列tX。

2) 采用 2.3節中限定搜索法得到序列tX的分數差分階數d。

3) 對tX進行分數差分濾波，得到ARMA序列tW。

4) 利用AIC(akaike information criterion)準則[32,33]對序列tW定階。

5) 得到序列 Wt的參數組，利用式(1)迭代獲得殘差序列｛at｝ 。

6) 檢測｛at｝ 是否為白噪聲，如果是，則建模算法停止，轉入步驟9)；否則，則進入一下步驟。

7) 利用AIC準則對｛at｝ 進行GARCH(r,s)定階。

8) 估計得到 GARCH(r,s)模型的參數組，利用式(3)迭代計算出異方差序列{}。

9) 進行業務序列的預報。

為了減小預測誤差，需要對預測值進行均值補償。設從時間點t后的 Wt的1步預測值( 1)為

表1 不同方法對自相似序列Hurst指數估計結果

利用2.2節中的方法，對時刻 t - L + 1→ t的長度為L的序列進行均值檢測，如果沒有檢測到變點，則按照式(7)獲得序列 Xt的單步預測值(1)，若檢測到變點為 tC，則按照式(8)獲得序列 Xt的單步預測值(1)

3 預測算法的性能分析

3.1 算法的復雜度分析

假定業務序列 Xt的長度為N，預測過程的時間復雜度分析如下。在限定搜索法中需要 O ( N)次運算獲得d的粗估計值，而精估計至少需要O ( -log(e f) K N)次運算，相比較于K， - l og(e f)很小，因此認為限定搜索法的運算次數為 O ( K N )。

其他步驟的運算時間和傳統的 FARIMA算法相當，需要 O ( N2)次運算來進行模型定階和參數估計。由于K相較于N通常較小，因此整個預測算法并沒有顯著地增加運算的耗時。

3.2 實驗分析

為了在統一的評價體系下評估限定搜索法，采用Hosking[34,35]法生成若干不同Hurst指數的數據序列，用來檢測算法的性能。選擇方差法、R/S分析法、A-V小波法以及自適應法[27]進行比較。數據序列都采用4 096點，運行20次取平均值。

表1給出了對自相似業務序列進行Hurst指數估計的結果，同時還給出了相應算法在仿真平臺上的耗時。當 Hurst指數較小時，5種方法估計結果的精度相差不大；當Hurst指數較大時，方差法和R/S分析法的精度較差，誤差達到了10%，對后續建模算法的準確度影響較大。R/S分析法耗時最高，是A-V小波法耗時的數百倍，這與R/S分析法具有所有算法中最高的時間復雜度 O ( N2)相應。

雖然小波法和自適應法耗時最短，估計誤差在3%～5%左右，但經常出現無法有效而準確地確定最優尺度區間的現象。在面臨不同實際業務流時，2種算法都沒有給出最優尺度區間的選擇方法。

限定搜索法建立在小波法和檢測序列自相關函數平方和的基礎上，估計誤差大致為 1‰，時間復雜度為 ( )O KN。該算法在增加少量計算開銷的代價下，提供了更優的性能，能夠提高后續建模精度。

采用均方根誤差(RMSE, root mean-square err or)和相對均方根誤差(RRMSE, relative root meansquare error)來衡量預測的效果，定義如下。

使用GARCH模型對｛at｝ 建模的目的是提高區間預報的準確性，因此需要定義一個統計量來描述區間預報的準確度。可以依序列觀測值是否落入當前觀測值預測區間獲得一個 1-0值的命中序列｛ht｝ 。設檢測的總次數是T，記某個序列觀測值Xt( k)的95%的置信區間是 Δt( k )，有

其中，置信區間針對不同模型具有不同的表達式。定義區間預測準確度(IFA, interval forecasting accuracy)為

仿真實驗中采用來自ACM SIGCOMM’04會議的真實網絡流[35]。用 sig04_ver01(如表 2所示)代表從SIGCOMM’04數據流中隨機選出的10 000個連續的分組到達時間戳。類似地，sig04_ver02和sig04_ver03分別代表了另外2組分組到達時間戳。

表2 仿真業務參數

為了考察大時間尺度和小時間尺度下預測算法的性能，將這3組數據按照10ms(小時間尺度)和100ms(大時間尺度)的尺度進行聚合，聚合后的序列樣本值代表當前時間尺度內到達的分組個數，得到表2中的6條業務序列。然后將業務序列分為前后2部分，前部占總長的80%，用于模型辨識和參數估計，最后用建立好的模型對未來值進行預測，將預測值和后部的真實值進行比較和分析。

在RBF預測算法的仿真中，由于無法確定時間序列的最佳嵌入維數和延遲時間[19,20]，因此延遲時間取 1。嵌入維數采用多次訓練的方法來確定，將預測效果最好的神經網絡作為RBF算法預測網絡，同時限制最大神經元個數是1 500。

表3～表5分別對比了在小時間尺度下幾種算法的預測性能。其中，RMSE越小說明預測值偏離真實值的幅度越小，預測精度越高。從結果看出，本文算法的RMSE在單步預測的條件下小于FARIMA預測算法，和RBF算法基本相當，在預測步數明顯增加的情況下，本文算法明顯占優。

RRMSE是歸一化的RMSE指標，衡量了預測值與真實值之間歸一化的偏離程度。從結果看出，本文算法的RRMSE在單步預測條件下是最優的。在預測步數增加時，本文算法和RBF算法的小幅增加，而FARIMA算法的RRMSE快速增加到不合理的狀態，例如表5中FARIMA算法的RRMSE快速增加到 7，此時預測值的誤差已經大致相當于真實值的7倍左右，預測性能已經很不可靠。

表3 小時間尺度下預測業務流sig04_ver01的性能評價

表4 小時間尺度下預測業務流sig04_ver02的性能評價

表5 小時間尺度下預測業務流sig04_ver03的性能評價

IFA指標衡量了預測算法的區間估計性能，由于RBF算法沒有實現區間估計的方式，因此只對比了 FARIMA算法。在仿真中采用置信度為95%的置信區間，因此平均來看，IFA不應小于95%。但從結果來看，當預測步數大于 1步的時候，FARIMA算法的IFA下降到50%～60%左右，這說明一半以上的真實值落在了預測區間的外面，預測性能較差。而由于GARCH模型能比較精確和快速地跟蹤方差變化，根據歷史值來調整預測區間的大小，使得真實值落入預測區間的概率大大提高，IFA都在75%以上。在表4中，IFA基本穩定在95%左右。

表6～表8分別對比了在大時間尺度下幾種預測算法的性能。由于大時間尺度下時間序列的突發性要相對小一些，3種算法的性能都相對小時間尺度下有所提高，說明預測大時間尺度網絡流量要比預測小時間尺度的網絡流量更加可靠和可實現。例如大時間尺度下的IFA，對比表3和表6，表4和表7、表5和表 8，同樣條件下IFA的性能優于小時間尺度，這說明大時間尺度下的業務流由于方差更大，方差波動程度也更劇烈，GARCH模型能有效捕捉到這種波動性，因此根據GARCH估計出的區間能夠以更高的概率覆蓋真實值，達到較好的預測性能。

表6 大時間尺度下預測業務流sig04_ver01的性能評價

表7 大時間尺度下預測業務流sig04_ver02的性能評價

表8 大時間尺度下預測業務流sig04_ver03的性能評價

同時從仿真結果中看出，隨著預測步數的增加，RMSE和RRMSE都出現增加。本文算法增加的趨勢要平滑一些，而FARIMA算法增加幅度在有些業務流上則快速和明顯。而隨著步數的增加，IFA在有些業務流上也出現比較明顯的大幅下滑，說明該流量序列是一個隨機性和突發性都特別強的時間序列，不太可能進行長期地精確預報，因此在做出短期預報后，需要及時根據后續真實值修正模型，再繼續預報。仿真結果表明，單步預測的性能是比較可靠和精確的。

圖6是業務流sig04_ver02在小時間尺度下的一段預測結果，采用單步預測。小時間尺度上網絡流量具有很強的突發性，單峰式的流量暴增點隨處可見。FARIMA模型采用同方差假定，不能有效跟蹤這種突發性的流量增加點。因此在這些流量突發處，FARIMA模型預測值與真實值差距較大。而RBF算法同樣不能有效預測這些突發點，更多是跟蹤序列均值的變化。本文算法能先平滑序列波動，再使用GARCH跟蹤序列的波動性，使得這些突發點處的預測值比較接近真實值，預測效果較好。

圖6 小時間尺度流量預測仿真結果

圖7是業務流sig04_ver01在大時間尺度下的一段預測結果。由于時間尺度的加大，在一定程度上平滑了序列的突發性，因此流量暴增點的個數明顯減少，但是依然存在個別單峰式突發點。從仿真結果看出，在流量比較平穩的階段，3種算法預測結果都能有效地逼近真實值。不過與圖6類似，在單峰式突發點，FARIMA模型發現了流量突發，而不能較準確地捕捉到突發點的流量，RBF算法只能預測到序列均值附近，而基于FARIMA-GARCH的預測算法明顯更能有效預測突發點的流量。

圖7 大時間尺度流量預測仿真結果

4 結束語

本文首先對流量預測中的2個關鍵步驟進行改進，即提出了分段雙向CUSUM檢測算法和限定搜索法，然后在此基礎上提出一種基于 FARIMAGARCH模型的網絡業務預測算法。

仿真實驗驗證了限定搜索法的性能，在 Hurst指數較大情況下，其精度高于方差法和R/S分析法。雖然比A-V小波法增加了少量的計算量，但是估計誤差也相應減小，并且該算法的時間復雜度依然維持在 ( )O KN ，該復雜度與A-V小波法基本相當。

接著采用真實網絡的業務流量對基于 FARIMAGARCH預測算法進行了仿真驗證。本文算法的RMSE和RRMSE與RBF算法基本相當，而優于傳統的FARIMA預測算法。同時對突發點的跟蹤和預測能力明顯優于對比算法，其區間估計的性能也較傳統的FARIMA預測算法要好。本文算法在保持與FARIMA預測算法基本等價的運算時間復雜度下，提供了更好的均值和區間估計性能，可以方便地應用于網絡流量預測、接入控制、帶寬預留和分配以及負載均衡等場合。

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