一維非齊次弦振動方程cauchy問題的解法

張丹丹

(湖北文理學院 數計學院，湖北 襄陽 441053）

0 引言

弦振動方程又叫一維波動方程，其分為齊次波動方程與非齊次波動方程兩類[1]。對于非齊次波動方程的cauchy問題，在本文中我們首先由線性疊加原理，將問題轉化為兩個定解問題的求解，其中一個為求解齊次波動方程的cauchy問題，另一個問題的求解我們除了用特征線法和算子法[2]外還可以運用green積分法以及齊次化原理。特征線法是將方程作特征變換，再沿特征線積分。算子法如上轉化為求關于一階線性偏微分方程的特解問題。green積分法是運用green公式對特征線與X軸圍成的三角區域進行積分。green積分法則是對公式的擴展運用。對于非齊次波動方程的cauchy問題，將方程化為對于齊次波動方程的問題是常見的思想，而齊次化原理[3]正好就解決了這個難題。

1 非齊次弦振動方程的cauchy問題

下面是非齊次弦振動方程的cauchy問題的一般形式：

由線性疊加原理，我們知道，問題（1）的求解可以轉化為如下兩個問題的求解，即若函數 u1(x，t)，u2(x，t)分別為定解問題：

則函數u=u1+u2為定解問題（1）的解。

而由D′Alembert公式可求得（3）的解，則求（1）的解即可轉化為求（2）的解，我們一共有4種方法求（2）的解，下面將一一作詳細的介紹：

1.1 齊次化原理：

設 t′=t-s，利用 D′Alembert公式求（1.1）式的解為：

代入（1.2）式得

其中G為ros平面過點（x，t)向下作兩條特征線與Or軸所夾的三角形區域。

定理證畢。

1.2 特征線法：

將（1.9）積分可得

其中積分下限是任意的常數，它相當與積分常數[5]。

任意給定點(x0，t0)，設：

則（1.10）式有特解：

其中G為ros平面過點（x，t)向下作兩條特征線與Or軸所夾的三角形區域。

1.3 算子法

將方程 utt(x，t)-a2uxx(x，t)=f(x，t)寫成如下算子形式：

由此得到如下一階線性偏微分方程：

方程（1.11）可化為

運用齊次化原理得：

1.4 green積分法

設(x0，t0)是區域{(x，t)｜-∞0}內的一點，過(x0，t0)向下作兩條特征線與OX軸分別相交于點(x0-at0，0)與點(x0+at0，0)，且設這兩條特征線與OX軸圍城的三角形區域為G，邊界為l0∪l1∪l2

在G上積分問題中的非齊次方程，我們有：

由此得出非齊次弦振動cauchy問題（1）的解為：

1.5 平行四邊形性質：

設u(x，t)為弦振動方程utt-a2uxx=f(x，t)在平面區域Ω中的一個古典解，而∏為各邊均為弦振動方程utt-a2uxx=f(x，t)特征線的一個平行四邊形（包括平行四邊形內部），其頂點依次為A，B，C，D.則u(A)+u(C)=u(B)+u(D)

解：取A的坐標為(x′，t′)，過點A作弦振動方程的特征線.

由于弦振動方程為utt-a2uxx=f(x，t)，其特征方程為(dx)2-a2(dt)2=0

即其特征方程為x+at=c1，x-at=c2.

在 x+at=c1和 x-at=c2上分別取兩點 BB(x′+ar，t′+r)，DD(x′-at，t′+t)，

則 C 點坐標為(x′+ar-at，t′+r+t)

由D′Alembert公式解U在對頂上的值的和是相等的。

即：u(A)+u(C)=u(B)+u(D)

2 應用舉例

注：弦振動方程具有平行四邊形性質，運用該性質也可求解弦振動方程。

解：由弦振動方程的平行四邊形性質知：

[1]謝鴻政，楊楓林.數學物理方程[M].科學出版社，2003.

[2]張丹丹.一維波動方程問題解[J].科技信息，2012，33:44-37.

[3]汪德新，數學物理方法.2版[M].華中科技大學出版社，2001：150-155.

[4]F.John.Partial Differential Equations.(4th ed.)[M].Springer.

[5]A.Friedman.Partial Differential Equations of Parabolic Type[M].Prentice-Hall.1964.

[6]D.Gilbarg and N.Trudinger.Elliptic Partial Differential Equations of Second Order(2nd ed.)[M].Springer,1983.