柱矢量光束的角動量

劉寶盈

（商洛學(xué)院 物理與電子信息工程系，陜西商洛 726000）

眾所周知，光束具有能量、線動量和角動量。1936年Beth通過實驗觀察到了光場中光子的角動量，即自旋角動量[1]。1992年，Allen等研究了近軸條件下線偏振的拉蓋爾——高斯光束（LG）的軌道角量[2]，發(fā)現(xiàn)LG光束的角動量可以分成兩部分：一部分取決于光的偏振態(tài)，即僅與光子的自旋量子數(shù)相關(guān)的角動量，稱為光束的自旋角動量；另一部分取決于光傳播時的螺旋形波前相位，即僅與角向量子數(shù)相關(guān)的角動量，稱為光束的軌道角動量。隨后他們研究了非近軸拉蓋爾——高斯軸對稱矢量光束[5-8]，發(fā)現(xiàn)自旋角動量只與偏振有關(guān)而軌道角動量只與螺旋相位波前有關(guān)這一描述近軸光束角動量的理論對非近軸光束已不適合[3-6]。O'Neil等研究發(fā)現(xiàn)，非近軸光束在與囚禁在光軸附近的雙折射微粒相互作用時，其自旋角動量和軌道角動量作用截然不同，自旋角動量的傳遞使微粒繞自軸旋轉(zhuǎn)，而軌道角動量的傳遞則使微粒繞光軸旋轉(zhuǎn)[7]。實驗還發(fā)現(xiàn)，在非均勻各向同性介質(zhì)中自旋角動量可以轉(zhuǎn)換為軌道角動量[8]，通過一個高數(shù)值孔徑，近軸光束的自旋角動量也能轉(zhuǎn)換為非近軸光束的軌道角動量[9]。李春芳利用他建立的光束表示理論[10]研究了具有整體偏振特性的一類非近軸光束的自旋和軌道角動量，分析了兩者之間的區(qū)別和聯(lián)系[11]。這些理論研究和實驗結(jié)果都說明光束的自旋和軌道角動量既有區(qū)別又密切相關(guān)。

本文按照光束自旋角動量和軌道角動量的一般定義，分析了具有軸對稱偏振特性和強度分布的柱矢量光束的角動量，發(fā)現(xiàn)柱矢量光束的自旋角動量是光的內(nèi)在性質(zhì)，只與偏振有關(guān)，而軌道角動量不僅與角向量子數(shù)（即光束傳播時的螺旋波前相位）有關(guān)而且與偏振有關(guān)，即使在近軸近似條件下光束的角動量也不能自然地分為只與偏振有關(guān)的自旋角動量和只與角向量子數(shù)相關(guān)的軌道角動量兩部分。

1 自由空間光束的角動量

根據(jù)經(jīng)典電磁理論，在自由空間中傳播的光束其能量、線動量和角動量的表達式為[11-12]：

為了方便分析將公式(1)(2)(3)變換到動量空間。為此，設(shè)在自由空間的任一光束的電場強度矢量為[11]

式中k為波矢量，k=kxex+kyey+kzez，波矢量的大小k與角頻率ω之間的關(guān)系為k2=ε0μ0ω2。E(k)為動量空間的電場強度矢量，該光束的能量為

利用矢量代數(shù)公式 a(a×b)=(a×c)b-(a×b)c 可知動量P包含兩項，對應(yīng)的角動量也分成兩項，其中一項與參照點的選擇有關(guān)，將之稱為軌道角動量，用L表示；而另一項與參照點的選擇無關(guān)，將之稱為自旋角動量，用S表示，則

因此光束的角動量為

2 柱矢量光束的角動量

對于自由空間中任一束沿正z軸方向傳播的單色光束，其電場強度矢量滿足矢量核姆霍茲方程Δ2E(r)+k2E(r)=0，同時遵守橫場條件Δ·E(r)=0，在笛卡爾坐標(biāo)系中，電場強度矢量可用(9)式表示為[10]

(9)式中忽略了隨時間變化的位相因子exp(-iωt)，E(kx，ky)是光束電場矢量在波矢空間（或動量空間）的振幅矢量，即角譜。將(9)式代入(5)(6)和(7)式，考慮到，得光束的能量、動量、角動量的一般表達式為

按照橫場條件，E(kx，ky)只能有兩個相互正交的偏振態(tài)，用s和p表示這兩個獨立且相互正交的偏振態(tài)，可以將角譜 E(kx，ky)表示為 E(kx，ky)=Es+Ep=Ess+Epp，其中Es和Ep分別表示s偏振態(tài)和p偏振態(tài)的復(fù)振幅，相應(yīng)地s和p是它們各自的單位矢量。令

s=sxex+syey+szez，

p=pxex+pyey+pzez，且 sj和 Pj(j=x，y，z)都是實數(shù)，因此，可將 E(kx，ky)表示為[10]

顯然，橫場條件并不能唯一確定矢量光束的偏振狀態(tài)，存在著一個自由度，該自由度決定光束的矢量性質(zhì)。不妨設(shè)sz=0，則

代入(13)式可得柱矢量光束的電場強度矢量為

不難發(fā)現(xiàn)(15)式中所表示的光束的偏振情況具有軸對稱性，以光軸（z軸）為對稱軸，故稱之為柱矢量光束[12]。由(10)式可得光束的能量為

由(12)式可得自旋角動量的z分量為

同理可得

由(11)式得軌道角動量的z分量為

同理可得到

顯然，由(17)(18)(19)式可知自旋角動量只有軸向分量，且軸向分量只與光束的偏振態(tài)(σ)和光束的結(jié)構(gòu)（kz)有關(guān)；而由(20)(21)和(22)式可知軌道角動量也只有軸向分量，該分量與角向量子數(shù)(l)和偏振態(tài)(σ)都有關(guān)，同時與光束結(jié)構(gòu)(kz)有關(guān)。在近軸近似情況下，kz≈k，此時，說明自旋角動量與能量的比值等于光束沿z軸方向的偏振度與角頻率的比值，即光束中每個光子沿傳播方向的自旋角動量取決于光束的偏振態(tài)，也就是光束的自旋量子數(shù)，σ=0，±1分別表示光束的線偏振態(tài)、左圓偏振態(tài)和右圓偏振態(tài)。而說明光束中每個光子沿傳播方向的軌道角動量為(l-σ)h，與角向量子數(shù)和自旋量子數(shù)相關(guān)。因此，對于柱矢量光束，通常情況下無法將光束的角動量按傳統(tǒng)的定義分為互不相干的自旋和軌道角動量兩部分，即使在近軸近似情況下也是一樣。

[1]Beth R A.Mechanical detection and measurement of the angular momentum of light[J].Phys Rev,1936,50:115.

[2]Allen L,Beijersbergen M W,Spreeuw R J C,et al.Orbital angular momentum of light and the transformention of Laguerre-Gaussian laser modes[J].Phys Rev A,1992,45:8185.

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[12]劉寶盈.柱矢量光束的自旋角動量[J].商洛學(xué)院學(xué)報,2010,24(4):11.