質(zhì)量度量指標(biāo)驅(qū)動的數(shù)據(jù)聚合與多維數(shù)據(jù)可視化

李楊，郝志峰，謝光強，袁淦釗

(1.廣東工業(yè)大學(xué) 自動化學(xué)院，廣東廣州510006;2.廣東工業(yè)大學(xué)計算機學(xué)院，廣東廣州510006;3.華南理工大學(xué)計算機科學(xué)與工程學(xué)院，廣東廣州510006)

隨著信息化社會的全面到來，面向高維海量數(shù)據(jù)的應(yīng)用變得越來越普遍，因此，如何分析和使用這些數(shù)據(jù)是一個亟待解決的問題，鑒于人類對于海量高維數(shù)據(jù)的認(rèn)知能力有限，在知識發(fā)現(xiàn)、信息決策的過程中，多維數(shù)據(jù)可視化技術(shù)成為一種輔助人們理解與直觀地掌握數(shù)據(jù)特性的有效手段.多維可視化技術(shù)的目的是盡量反映多維信息及其各屬性之間的關(guān)系信息，幫助數(shù)據(jù)工程師準(zhǔn)確快速地發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)集中隱藏的特征信息、關(guān)系信息、模式信息、趨勢信息及聚類信息等.

然而，在對海量數(shù)據(jù)進行可視化時，情況更為復(fù)雜，應(yīng)用傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)可視化技術(shù)及流程時，往往會出現(xiàn)圖像疊加嚴(yán)重、可視化圖像質(zhì)量低、辨識性差等現(xiàn)實問題，數(shù)據(jù)聚合是解決該問題的一種有效方法，也就是在數(shù)據(jù)可視化之前先進行數(shù)據(jù)抽象.現(xiàn)有的數(shù)據(jù)聚合方法往往沒有為數(shù)據(jù)可視化進行專門的優(yōu)化和改進，更為重要的是，缺少針對可視化所作的數(shù)據(jù)聚合質(zhì)量度量，對數(shù)據(jù)聚合的質(zhì)量沒有量化和理論支撐，本文研究的質(zhì)量度量指標(biāo)驅(qū)動的數(shù)據(jù)聚合彌補了上述不足.

為了彌補人類視覺感知能力的不足，幫助人們理解多維數(shù)據(jù)，研究人員提出了相當(dāng)數(shù)量的數(shù)據(jù)可視化方法，這些方法將多維數(shù)據(jù)通過降維轉(zhuǎn)換并映射到三維或者二維可視空間來實現(xiàn)多維信息的可視化.根據(jù)其可視化的原理不同可以劃分為基于幾何的技術(shù)、面向像素的技術(shù)、基于圖標(biāo)的技術(shù)、基于層次的技術(shù)、基于圖形的技術(shù)和基于降維映射的技術(shù)等［1-2］.

在數(shù)據(jù)量較大時，為了提高數(shù)據(jù)可視化的圖像質(zhì)量，降低圖像疊加的問題，通常會對數(shù)據(jù)進行抽象，數(shù)據(jù)抽象的目的是在數(shù)據(jù)精簡的同時，保持原數(shù)據(jù)的各種特性，提高數(shù)據(jù)抽象后可視化的圖像質(zhì)量.抽樣和聚合是2種常用的數(shù)據(jù)抽象方法.Bertini等［3］提出了利用聚類聚合的方法在散點圖中自動降低圖像疊加;Johansson等［4］提出了基于距離變化的數(shù)據(jù)抽樣方法，并在屏幕空間對圖像質(zhì)量進行了度量.

質(zhì)量度量的研究由來已久，隨著數(shù)據(jù)可視化技術(shù)的發(fā)展，數(shù)據(jù)可視化中的質(zhì)量度量越來越引起學(xué)者們的注意，越來越多的成果發(fā)表在數(shù)據(jù)可視化領(lǐng)域的重要期刊和會議上，這些方法也極大地促進了數(shù)據(jù)可視化技術(shù)本身的發(fā)展.根據(jù)數(shù)據(jù)可視化度量指標(biāo)所實施的對象不同，現(xiàn)有的質(zhì)量度量方法可以被分成兩大類:實施于數(shù)據(jù)空間和圖像空間［5］.在數(shù)據(jù)空間方面，Cui等［6］研究了在抽象和聚合2種不同的數(shù)據(jù)抽象方法下計算數(shù)據(jù)抽象質(zhì)量，權(quán)衡如何在數(shù)據(jù)精簡和數(shù)據(jù)損失方面取得平衡;在圖像空間方面，Tatu等［7］使用Hough變換對感興趣的散點圖進行分級，以提高可視化圖像質(zhì)量.但是，圖像空間的質(zhì)量度量存在著受限于某種單個數(shù)據(jù)可視化方法的缺點.

本文提出一種數(shù)據(jù)空間質(zhì)量度量驅(qū)動下的數(shù)據(jù)聚合方法均分K-means++，這一方法面向多維數(shù)據(jù)，廣泛適用于大部分?jǐn)?shù)據(jù)可視化方法，在質(zhì)量度量指標(biāo)的驅(qū)動下進行多維數(shù)據(jù)的可視化.

1 均分K-means++:一種多維數(shù)據(jù)可視化中的數(shù)據(jù)聚合方法

K-means算法具有簡單、聚類速度快的優(yōu)點.在大量的實驗中發(fā)現(xiàn)，在進行海量數(shù)據(jù)的聚合運算中，K-means算法具有以下缺點:

1)在聚合運算，特別是海量數(shù)據(jù)的聚合運算中，K值往往較大，這種情況下，傳統(tǒng)的K-means算法會出現(xiàn)迭代次數(shù)過大的情況，極大地影響了聚合速度.

2)傳統(tǒng)的K-means++算法［8］雖然改進了初始點的選擇，但仍然以最小化近鄰點距離之和為目的，往往會出現(xiàn)各個聚簇的點數(shù)分布極不均勻的情況，某些聚簇只有幾個點，某些聚簇則有成百上千個點.但是，在數(shù)據(jù)聚合中，往往希望聚合前的數(shù)據(jù)能在聚合后的各個中心點上均勻分布，使聚合后的數(shù)據(jù)更好地反映原數(shù)據(jù)的分布.

鑒于現(xiàn)有的K-means及其改進算法在數(shù)據(jù)聚合中存在的缺陷，本文提出了均分K-means++的數(shù)據(jù)聚合方法，仿真實驗證明，該算法大大減少了迭代次數(shù)，在分布上與原數(shù)據(jù)更加吻合，從而更加適用于數(shù)據(jù)可視化中的數(shù)據(jù)聚合運算.

算法1 均分K-means

1)輸入 d 維空間［0，1］d的 n 個點 p1，p2，…，pn，隨機選擇 k 個初始點 C={c1，c2，…，ck}.

3)對于1≤j≤k，計算集合 Sj內(nèi)點之和 sum=∑i∈Sjpi和數(shù)目 num=|Sj|，cj=sum/num 為集合 Sj新的中心點.

4)重復(fù)2)～3)，直至C不再變化或迭代次數(shù)達(dá)到上限.

算法2 均分K-means++

令D(x)表示一個數(shù)據(jù)點到離它最近的已經(jīng)選出的中心點的距離.則均分K-means++算法定義如下:

1)輸入 d 維空間［0，1］d的 n 個點 p1，p2，…，pn.

①均勻隨機地在X中選出第1個中心點.

③重復(fù)②，直至選出k個中心點.

2)繼續(xù)算法1的2)～4)步.

2 質(zhì)量度量指標(biāo)驅(qū)動的數(shù)據(jù)可視化

數(shù)據(jù)可視化中的質(zhì)量度量通?；谝韵履康?尋找感興趣的預(yù)測結(jié)果、降低圖像疊加、發(fā)現(xiàn)有意義的模式等.近年來，雖然數(shù)據(jù)可視化中的質(zhì)量度量研究發(fā)展很快，但很少有人將這些成果總結(jié)，并指出它們之間的聯(lián)系，本文建立一個多維數(shù)據(jù)可視化質(zhì)量評價模型，用來量化數(shù)據(jù)可視化中的聚合數(shù)據(jù)質(zhì)量，從而驅(qū)動數(shù)據(jù)可視化圖像質(zhì)量的改善.

2.1 質(zhì)量度量模型

可視化質(zhì)量評價模型如圖1所示.圖中描述了質(zhì)量評價模型下的數(shù)據(jù)可視化過程，包括3個階段:

1)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換(源數(shù)據(jù)→轉(zhuǎn)換后數(shù)據(jù)).數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換的主要目的是改變數(shù)據(jù)形式為更利于可視化的格式，例如對于一些高維數(shù)據(jù)，需要進行特征選擇、投影等降維操作，對于海量數(shù)據(jù)，常見的操作是聚合和采樣.

2)數(shù)據(jù)映射(轉(zhuǎn)換后數(shù)據(jù)→可視化結(jié)構(gòu)).數(shù)據(jù)映射是整個模型的核心部分，這一步將數(shù)據(jù)的每一維表現(xiàn)為可視化結(jié)構(gòu)中的可視特征.同樣的數(shù)據(jù)可能映射為多種不同的可視化結(jié)構(gòu)，質(zhì)量評價指標(biāo)需要對這些過程進行評價.例如，不同的維序?qū)?yīng)不同的可視化結(jié)構(gòu)，相應(yīng)的質(zhì)量度量評價也是不同的.

3)視圖轉(zhuǎn)換(可視化結(jié)構(gòu)→視圖).視圖轉(zhuǎn)換將可視化結(jié)構(gòu)翻譯為特定的圖像形式(如像素)，這樣做的目的是為了突出圖像空間的作用，因為某些質(zhì)量評價指標(biāo)直接以可視化結(jié)構(gòu)所對應(yīng)的像素為計算對象，不過，相對于數(shù)據(jù)空間質(zhì)量評價而言，直接對圖像空間進行的質(zhì)量評價相對較少.

圖1 總體框架Fig.1 Overall framework

質(zhì)量評價模型可以幫助數(shù)據(jù)分析者選擇一個可靠的過程組合.通常在一種情況下會有一個或者多個解決方案供數(shù)據(jù)分析者選擇，整個選擇過程都是由質(zhì)量評價指標(biāo)驅(qū)動的，因為質(zhì)量評價指標(biāo)可以量化每個階段的數(shù)據(jù)或視圖質(zhì)量(向上箭頭)，計算結(jié)果最終影響整個處理過程(向下箭頭).

2.2 質(zhì)量度量對象

根據(jù)數(shù)據(jù)可視化度量指標(biāo)所實施的對象不同，現(xiàn)有的質(zhì)量度量方法可以被分成兩大類:實施于數(shù)據(jù)空間或圖像空間.

1)數(shù)據(jù)空間.

在數(shù)據(jù)空間計算的度量指標(biāo)只使用可視化前后的數(shù)據(jù)進行計算，不涉及到任何視圖信息.

2)圖像空間.

面向圖像空間的度量指標(biāo)計算則繞過數(shù)據(jù)，直接對輸出的圖像信息進行計算，這類方法通常需要輔助復(fù)雜的圖像處理方法.

2.3 質(zhì)量度量指標(biāo)

1)聚類質(zhì)量.

聚類質(zhì)量指標(biāo)用于度量可視化后的數(shù)據(jù)，保持分組信息的程度，對于明顯分組的數(shù)據(jù)是否比較容易識別［9］.

2)相關(guān)性指標(biāo).

相關(guān)性指標(biāo)用于度量可視化后的數(shù)據(jù)保持原數(shù)據(jù)二維或多維之間相關(guān)性的程度.二維數(shù)據(jù)之間的Pearson相關(guān)性和多維數(shù)據(jù)之間的全局相關(guān)性都在該指標(biāo)考慮的范圍之內(nèi)［10］.

3)離群點指標(biāo).

離群點指標(biāo)用于度量可視化后的數(shù)據(jù)保持那些與大部分其他數(shù)據(jù)明顯不同的數(shù)據(jù)(即離群點)的能力［11］.

4)復(fù)雜模式指標(biāo).

Wilkinson等［12］提出一種度量發(fā)現(xiàn)復(fù)雜模式能力的指標(biāo)，這些復(fù)雜模式不能在之前提出的分類中被發(fā)現(xiàn)，如“某種針織質(zhì)地”、“某種身材指標(biāo)”等.

5)圖像質(zhì)量指標(biāo).

圖像質(zhì)量指標(biāo)不關(guān)心各種模式被保持的程度，而是度量可視化后的圖像質(zhì)量，例如圖形是否大量重疊等.

6)特征保持指標(biāo).

特征保持指標(biāo)度量可視化后的數(shù)據(jù)保持原數(shù)據(jù)特征的程度.這些特征包括原數(shù)據(jù)的分類信息［7，13］、可視化中的抽象數(shù)據(jù)相對于原數(shù)據(jù)而言的信息損失［3-4］等用戶感興趣的特征信息.

2.4 數(shù)據(jù)空間質(zhì)量度量指標(biāo)

圖像空間中的質(zhì)量度量對具體的數(shù)據(jù)可視化方法敏感，因此，本文選擇的抽象數(shù)據(jù)級別(data abstraction level，DAL)、直方圖差值度量(histogram difference measure，HDM)、最近鄰距離度量(nearest neighbor measure，NNM)3個指標(biāo)是數(shù)據(jù)空間中的質(zhì)量度量指標(biāo)，能夠較好地驗證算法2在聚類質(zhì)量、圖像質(zhì)量和特征保持指標(biāo)上的表現(xiàn).

1)DAL.

DAL是數(shù)據(jù)抽象級別的縮寫，用來表示數(shù)據(jù)抽象的程度，計算公式如式(1):

式中:Na表示抽象后的數(shù)據(jù)集大小，No表示原數(shù)據(jù)集的大小.

2)HDM.

HDM定義為抽象前后2個直方圖的標(biāo)準(zhǔn)差，取值范圍是［0，1］，0表示2個直方圖所對應(yīng)的每一對桶都有其中一個是空的，1則表示2個直方圖所對應(yīng)的每一對桶都完全一致，用式(2)來表示2個直方圖第i個桶的差值:

式中:Poi是抽象前數(shù)據(jù)落入第i個桶的比例，Psi是抽象后數(shù)據(jù)落入第i個桶的比例，Pbi是2個桶的差值.

式中:Ph是2個直方圖的差值，N是直方圖中桶的數(shù)量.

如式(3)定義，HDM 是直方圖標(biāo)準(zhǔn)差，Ph，max是 Ph最大值.

對于n維數(shù)據(jù)集的HDM定義為n個一維HDM平均值.默認(rèn)的桶寬使用式(4)計算:

式中:S為某一維數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，Num為數(shù)據(jù)集的大小.

3)NNM.

NNM定義為每條記錄與其抽象后代表它的記錄之間的標(biāo)準(zhǔn)化距離平均值，計算公式如下:

①n維空間內(nèi)2條記錄U、V之間的歐氏距離為

②對抽象前數(shù)據(jù)集中的第i條記錄，計算它與抽象后數(shù)據(jù)集中每一條記錄之間的距離，選擇其中距離最小的值作為Di.

式中:Xi是抽象前數(shù)據(jù)集中的第i條記錄，Yj是抽象后數(shù)據(jù)集中的第j條記錄，A表示抽象后數(shù)據(jù)集的大小，Di代表第i條記錄的距離.

③)標(biāo)準(zhǔn)化所有最小距離的平均值為NNM表示抽象前數(shù)據(jù)集的大小.

3 仿真實驗

在幾大類數(shù)據(jù)可視化方法中，基于幾何的技術(shù)、面向像素的技術(shù)、基于層次的技術(shù)和基于圖形的技術(shù)均適用于本文提出的方法.基于幾何技術(shù)的基本思想是以點、線等幾何畫法將多維數(shù)據(jù)展現(xiàn)在二維、三維空間，適合于維數(shù)高但數(shù)據(jù)量相對不多的數(shù)據(jù)集，其代表方法為平行坐標(biāo)法［14］，其他方法還包括放射坐標(biāo)系［15］、散點圖矩陣［16］、Andrews 曲線法［17］等.面向像素的技術(shù)利用像素的顏色代表數(shù)據(jù)的值，空間被分割成多個子窗口，每個子窗口對應(yīng)多維數(shù)據(jù)中的一維，比較有代表性的方法包括VisDB［18］、圓形分段法［19］等.基于層次的技術(shù)可以對數(shù)據(jù)進行層次劃分，將數(shù)據(jù)以層次結(jié)構(gòu)的方式組織并以圖形表示出來，在不同層次上表示不同維度的元素值，適用于每一維數(shù)據(jù)之間具有層次關(guān)系的多維數(shù)據(jù).包括維堆［20］、嵌套坐標(biāo)系［21］等方法.基于圖形的技術(shù)利用圖形的大小、顏色等屬性表示數(shù)據(jù)，代表方法包括多線圖、Survey Plot［22］，這 2 種方法都是在平行坐標(biāo)法的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的.

上述的數(shù)據(jù)可視化方法的共同點是其可視化圖像質(zhì)量容易受到數(shù)據(jù)集大小的影響，因此，在應(yīng)用本文提出的數(shù)據(jù)聚合方法時，既能夠提高可視化圖像質(zhì)量，又能保持原數(shù)據(jù)的大部分特性.限于篇幅，本文只展示了2種最具代表性的數(shù)據(jù)可視化方法:平行坐標(biāo)法和散點圖法.

文中涉及的算法實現(xiàn)編程環(huán)境為MATLAB 7.1，數(shù)據(jù)可視化工具為XmdvTool［23］，實驗環(huán)境為Windows XP 3.6GHz，2.00GB，實驗中的所有數(shù)據(jù)都被規(guī)范化至［0，1］6，3個質(zhì)量評價指標(biāo)DAL、HDM、NNM的取值范圍均為［0，1］.數(shù)據(jù)基本信息如表1所示.3.1 質(zhì)量度量驅(qū)動的平行坐標(biāo)圖聚合前后對比

表1 實驗數(shù)據(jù)信息Table 1 Experimental data

數(shù)據(jù)集DS1采用算法2分別以數(shù)據(jù)抽象級別DAL=0.07，0.04，0.02 時進行數(shù)據(jù)聚合.圖2 包含了數(shù)據(jù)聚合前后的平行坐標(biāo)圖，可以發(fā)現(xiàn)，在DAL=1，即數(shù)據(jù)聚合前，數(shù)據(jù)疊加嚴(yán)重，難以辨識其中任何的數(shù)據(jù)，而聚合后的數(shù)據(jù)不僅保持了較高的質(zhì)量度量指標(biāo)(如圖3所示)，圖像質(zhì)量也有了明顯的提高.

圖2 不同DAL下DS1的平行坐標(biāo)圖Fig.2 Parallel coordinates of DS1at different DALS

圖3 不同DAL下DS1的質(zhì)量度量指標(biāo)Fig.3 Quality metrics of DS1at different DAL

3.2 質(zhì)量度量驅(qū)動的散點圖聚合前后對比

圖4是數(shù)據(jù)集DS2用算法2進行數(shù)據(jù)聚合前(DAL=1)及聚合后(DAL 為0.02，0.04，0.07)的散點圖矩陣.不難發(fā)現(xiàn)，在DAL=1時，各個數(shù)據(jù)點疊加嚴(yán)重，很難辨識其中的任何有用信息，也難以發(fā)現(xiàn)兩維屬性之間的關(guān)系，而聚合后的數(shù)據(jù)即使在DAL=0.02時，也能很容易地發(fā)現(xiàn)其中存在的屬性關(guān)聯(lián)信息.圖5展示了聚合后的DS2同樣保持了較高的質(zhì)量度量指標(biāo).當(dāng)數(shù)據(jù)維度較小時，聚合后的數(shù)據(jù)在散點圖上的表現(xiàn)更好.

圖4 不同DAL下DS2的散點圖Fig.4 Scatter plots of DS2at different DAL

圖5 不同DAL下DS2的質(zhì)量度量指標(biāo)Fig.5 Quality metrics of DS2at different DAL

4 結(jié)束語

質(zhì)量度量指標(biāo)驅(qū)動下的數(shù)據(jù)聚合加入了質(zhì)量量化指標(biāo)，聚合數(shù)據(jù)的質(zhì)量可以被精確量化，可以幫助數(shù)據(jù)工程師在數(shù)據(jù)可視化的過程中根據(jù)實際需求調(diào)整度量指標(biāo)參數(shù)，以獲取聚合數(shù)據(jù)質(zhì)量與可視化圖像質(zhì)量之間的平衡.本文提出了一種均分K-means++數(shù)據(jù)聚合算法，仿真實驗表明，與傳統(tǒng)的聚類算法相比，均分K-means++更適用于以提高數(shù)據(jù)可視化圖像質(zhì)量為目的的數(shù)據(jù)聚合.目前，均分K-means++數(shù)據(jù)聚合算法存在的問題是當(dāng)K增大到一定程度時，初始點的計算效率較低，下一步將研究如何在海量數(shù)據(jù)集上提高算法效率.

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