歷屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽專科組試題的最優(yōu)分類*

王積建 ，陳笑緣，茹永梅

（1．浙江工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江 溫州 325027；2．浙江商業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江 杭州 310053）

截止2011年，全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽已成功舉辦了 20年．由于賽題質(zhì)量是競(jìng)賽成功舉辦的關(guān)鍵因素之一，所以通過對(duì)賽題質(zhì)量進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)和分析，篩選出優(yōu)質(zhì)賽題，提煉出影響賽題質(zhì)量的指標(biāo)體系，對(duì)于指導(dǎo)今后的命題工作具有十分重要的意義．

針對(duì)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽試題質(zhì)量的綜合評(píng)價(jià)問題，在過去20年間從來沒有研究過． 本課題組受全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)委托，對(duì)專科組的24個(gè)賽題進(jìn)行了質(zhì)量評(píng)價(jià)．首先建立了綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)體系，然后通過向有關(guān)專家和競(jìng)賽指導(dǎo)老師、參賽學(xué)生發(fā)放問卷，獲得評(píng)價(jià)指標(biāo)的相對(duì)重要性數(shù)據(jù)和賽題質(zhì)量分?jǐn)?shù)．最后通過建立綜合評(píng)價(jià)模型，得到了24個(gè)賽題的綜合評(píng)價(jià)值及其排序． 但由于這些排序結(jié)果并不能直接顯示哪些賽題屬于“優(yōu)”，哪些賽題屬于“良”，也就無法將這些賽題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)貧w類，因而無法概括提取優(yōu)質(zhì)賽題的特征． 鑒于此，本文在綜合評(píng)價(jià)的基礎(chǔ)上，使用費(fèi)歇爾（Fisher）最優(yōu)分割法對(duì)這些賽題進(jìn)行最優(yōu)分類，為總結(jié)提煉優(yōu)質(zhì)賽題的特征做準(zhǔn)備．

1 費(fèi)歇爾最優(yōu)分割法簡(jiǎn)介[1-4]

設(shè)有序樣品依次為 X1,X2,...,Xn（Xi為m維向量）．

用D(i,j)表示這一類的直徑，常用的直徑有：

當(dāng)1m=時(shí)，也可以定義直徑為：

其中X%G是該類數(shù)據(jù)的均值、中位數(shù)或眾數(shù)．

2）定義分類的損失函數(shù)．用 b(n,k)表示將n個(gè)有序樣品分為k類的某一種分法．常記分法b(n,k)為：

定義上述分類法的損失函數(shù)為

4）最優(yōu)解的求法．首先找分點(diǎn)jk，使得（6）式達(dá)到極小，即

然后找分點(diǎn)jk-1，使它滿足

5）分類數(shù)k的確定方法

2 應(yīng)用實(shí)例

2.1 分類對(duì)象

以歷屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽（CUMCM）專科組試題為分類對(duì)象．選取了從1999年專科組獨(dú)立于本科組競(jìng)賽以來，截止2010年的12年的C、D題，一共24個(gè)賽題，以X1～X24表示．

計(jì)算出24個(gè)賽題的綜合評(píng)價(jià)值，并按照綜合評(píng)價(jià)值從大到小排序，結(jié)果如表1的第3、4列所示．綜合評(píng)價(jià)值越大，表示賽題質(zhì)量越好．

為了使用最優(yōu)分割法對(duì)這些賽題進(jìn)行有序分類，將所有賽題按照綜合評(píng)價(jià)值從大到小的順序重新排列，形成有序樣品 B1～B24，見表2．排序靠前的賽題質(zhì)量較好.

2.2 分類過程和結(jié)果

1）計(jì)算直徑．由于樣品指標(biāo)的維數(shù)m=1，所以使用（3）式計(jì)算直徑，其中GX%是該類樣品評(píng)價(jià)值的均值，按照（1）式直徑的計(jì)算結(jié)果見表3（使用MATLAB軟件編程計(jì)算）．

4）確定最優(yōu)分類.將24個(gè)賽題分為7類，結(jié)果見表6．

考慮到本文的研究目的是將這些 24個(gè)賽題的質(zhì)量分出等級(jí)，以便于能對(duì)今后的命題具有指導(dǎo)意義. 若劃分過細(xì)，則不利于提煉類特征. 因此，將其劃分為5個(gè)等級(jí)，即優(yōu)、較優(yōu)、中、較差、差這5個(gè)等級(jí)；或者劃分為3個(gè)等級(jí)，即優(yōu)、中、差這3個(gè)等級(jí)．

以上3種分類結(jié)果匯總見表2，將其分類結(jié)果標(biāo)示在原賽題上，結(jié)果見表1的第6、7、8列．

表1 所有24個(gè)賽題的綜合評(píng)價(jià)結(jié)果及排序

表2 有序樣品及其綜合評(píng)價(jià)值

表3 直徑D(i , j)的計(jì)算結(jié)果（乘以10000）

表4 最小分類損失函數(shù)L[b*(l , k)]的計(jì)算結(jié)果(乘以10000)

表5 與最小分類損失函數(shù)L[b*(l , k)]相對(duì)應(yīng)的分點(diǎn)

圖1 損失函數(shù)L[b*(n , k)] (乘以10000)隨k變化的趨勢(shì)

表6 將24個(gè)賽題分為7類的分類結(jié)果

2.3 分類結(jié)果檢驗(yàn)

以劃分7類為例．令yi=xBi-xBi+1,i=1 ,2,...,23，其中xBi表示有序樣品Bi的綜合評(píng)價(jià)值，yi表示有序樣品 Bi與的綜合評(píng)價(jià)值的一階差分值．將yii=1,2,...,23）用圖形表示出來，如圖2所示（橫坐標(biāo)表示B1～B23，縱坐標(biāo)表示一階差分值 yi）．

從圖2可以看出，B1與 B2差距很大，B5與 B6差距很大，B6與B7差距很大，B7與B8差距很大，B10與B11差距很大，B12與B13差距很大，B17與B18差距很大，B19與B20差距很大，B21與B22差距很大，故他們每之間應(yīng)當(dāng)成為分界點(diǎn)，這樣一來就要分為9類．由于分類數(shù)的限制，必須減少2類．

將 B1～B24的綜合評(píng)價(jià)值用圖形表示出來，如圖3所示（橫坐標(biāo)表示 B1～B24，縱坐標(biāo)表示綜合評(píng)價(jià)值）．

從圖3可以看出，在B6與B7，B10與B11，B19與B20這三者的落差中，B5與B8之間的落差最大，這里必須截?cái)啵駝t類內(nèi)離差平方和必然增大，故將B6B7,B合并為一類可以達(dá)到截?cái)嗟哪康模鳥10與B11、B19與B20可以融入所在類別之中，恰好分為7類．

圖2 B1～B23的一階差分值

圖3 B1～B24的綜合評(píng)價(jià)值的變化趨勢(shì)

綜上所述，最優(yōu)分割法得到的分類結(jié)果是符合實(shí)際的.

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