基于地磁梯度的彈丸運動渦流磁場模型

向 超，卜雄洙，祁克玉

（1.南京理工大學機械工程學院，江蘇 南京 210094；2.機電動態(tài)控制重點實驗室，陜西 西安 710065）

0 引言

利用地磁場來進行導航和姿態(tài)測試的方法已經在航天、航海、機器人等領域有了長足的發(fā)展和運用［1－3］。目前所有利用地磁來進行彈體姿態(tài)測量和制導的方法都面臨著背景磁場的干擾問題，載體上測得的地磁場強度的精度對于導航參數(shù)的計算影響很大，這導致地磁導航測姿技術目前還處于輔助的地位。背景磁場的復雜性使得載體背景磁場補償成為制約彈上地磁場高精度測量的瓶頸。如何建立更高效、更精確的載體背景磁場補償方法是當前急需解決的問題。

就利用地磁參數(shù)來測量彈丸姿態(tài)而言，背景磁場的本質就是除地磁場分量外的所有干擾磁場。傳統(tǒng)的磁補償方法從地磁傳感器的零位誤差、垂直誤差、靈敏度誤差入手，建立磁傳感器的羅差補償模型，先后出現(xiàn)了泊森（Poisson）公式補償法、橢圓擬合補償法、十二位置補償法、最小二乘補償法等［4］。這些方法只研究了靜態(tài)情況下的載體固定磁場和感應磁場的影響，對動態(tài)下的渦流等的影響沒有進行討論，在一定程度上存在局限性，不能滿足旋轉彈丸高速飛行過程中的渦流干擾磁場的補償要求。針對上述問題，本文提出了基于地磁梯度的彈丸運動渦流磁場模型。

1 彈丸渦流模型與地磁梯度

1.1 彈丸渦流磁場的數(shù)學模型

彈體的材料多為鐵磁性物質，當彈體在地磁場空間中做俯仰、偏航和橫滾運動時，彈體外殼形成閉合回路，根據(jù)法拉第電磁感應定律，彈體周圍會產生渦流磁場。彈丸載體在地磁場空間中載體坐標系O－xbybzb的定義如圖1所示。

圖1 載體坐標系定義Fig.1 Definition of carrier coordinate system

上式中E為渦流磁場模型的渦流參數(shù)矩陣。渦流系數(shù)eij（i＝x，y，z；j＝x，y，z）只與彈體的材料特性、尺寸、磁傳感器安裝位置有關，只要這些參數(shù)確定，eij就是常數(shù)。從式（1）可以看出，彈丸的背景渦流磁場的大小跟載體坐標系三軸上地磁場分量的變化率有關。

1.2 地磁場梯度模型

地磁場模型是表示地磁場時空結構的函數(shù)表達式。人們常用球諧分析方法計算地磁場的全球模型，例如Taylor多項式模型、Legendre多項式模型、矩諧模型、冠諧模型和Spline函數(shù)模型［6］。根據(jù)地磁場模型的相關知識，可知地磁場矢量感應強度M在空間中隨緯度方向和高度方向的距離變化而明顯變化，經度方向的距離變化沒有太大的影響，如圖2所示。

圖2 地磁場強度的梯度變化示意圖Fig.2 Schematic diagram of gradient change of geomagnetic field

如圖2所示建立彈體的相對高度－緯度坐標系，設彈丸發(fā)射點為A（M0）點，此處的地磁場強度大小為，在高度－緯度坐標系中為原點 （0，0）。彈丸在飛行過程中t時刻的高度－緯度坐標為 （xh，xL），在上述坐標系中為B（Mt）點，此時的地磁場強度大小為。設地磁場矢量強度的水平梯度為kL，高度梯度為kh，則t時刻彈丸所在空間地磁場強度可表示為：

其中空間磁場比較均勻，則kL、kh為常數(shù)。

1.3 與飛機背景磁場的比較

文獻［7］分析了地磁場梯度對飛機磁場求解精度的影響分析。但彈體渦流磁場與飛機渦流磁場相比存在明顯不同：

1）飛機的磁背景建模是將地磁場和地磁場帶來的一系列干擾磁場都視為背景磁場，它提高的是航空磁探測儀器的精度；彈丸的背景磁場補償是針對除地磁場以外，彈丸動態(tài)飛行過程中的所有干擾磁場，提高的是彈載地磁場的測量精度。

2）彈丸的實際飛行軌跡和特點與飛機的飛行特點有較大差別，尤其在彈丸進行高速旋轉的狀態(tài)下，彈丸背景磁場中的渦流磁場比起飛機來說要復雜得多。

3）與飛機相比，彈丸的制作材料大多是鋼，相對磁導率能達到1 000，而非鋁合金之類相對磁導率較低的材料；同時用于磁性探測的飛機平均速度只有100～200m／s，而彈箭的飛行速度能達到飛機速度的5～6倍，運動過程中產生的渦流磁場是飛機的十倍甚至上百倍，對地磁場的測量精度影響較大。

4）飛機體積比較大，干擾磁場的補償可以通過在適當位置安裝傳感器或補償設備來實現(xiàn)，如遠離飛機發(fā)動機和其他電子設備；彈丸體積有限，且傳感器安裝在指定的空間位置，因此不能采取飛機上的補償方法。

因此需要根據(jù)彈丸渦流磁場特點，基于地磁場梯度模型對彈丸進行了優(yōu)化研究。

2 考慮地磁場梯度的渦流優(yōu)化模型

根據(jù)圖1所示的載體坐標系和姿態(tài)矩陣變換理論［8］，Bbx、Bby、Bbz可用式（3）來表示。

其中

式（4）中ψ、θ、γ為載體的姿態(tài)角，I為地磁傾角。對式（4）等號兩邊同時求導，則地磁場M在載體坐標系三軸xb、yb、zb上的分量變化率、、可表示為：

將式（5）代入渦流干擾背景場的數(shù)學模型式（1），有

式（2）左右兩邊對時間t求導有

式（7）中VL為t時刻彈丸緯度方向速度；Vh為t時刻彈丸高度方向速度。將上式代入式（6），則有

式（8）為考慮了地磁場梯度的影響后渦流磁場模型的完整表達式，其中、kL、kh為彈丸飛行區(qū)域的地磁場要素，可根據(jù)地磁場模型（IGRF等）得到；E為彈體的渦流系數(shù)矩陣，與彈體材料的電磁特性和尺寸結構有關，對于確定的彈丸是常系數(shù)矩陣；xL、xh為彈體飛行距離，與射程有關；VL、Vh、θ、ψ、γ為彈體實際飛行特征參數(shù)。從式（8）可以看出，在地磁要素不變的情況下，地磁梯度對渦流磁場的影響隨著彈體線速度和姿態(tài)變化率的增大而增大；在飛行線速度和姿態(tài)相同的情況下，地磁梯度對渦流磁場的影響隨著射程的增大而增加。

對于常規(guī)武器彈丸背景渦流磁場的研究，由于常規(guī)武器火炮彈丸的射程一般都在幾十公里以內，彈丸飛行過程通常伴隨較高的自轉角速度［9］，如榴彈炮等。根據(jù)地磁場模型IGRF，在這個地域范圍內，地磁場矢量的梯度很小，地磁場矢量強度變化率不超過10－5%。這種情況下認為飛行范圍類地磁場矢量強度不變，即＝kL＝kh＝0，此時有＝E·［f′xf′yf′z］T。此時渦流背景磁場只與每個時刻彈丸的姿態(tài)角和角速度有關。對于戰(zhàn)略戰(zhàn)術導彈等大射程彈丸，其飛行過程跨越的地理區(qū)域比較大，一般可達幾百到幾千公里，此時地磁梯度的變化就比較明顯，不能將 Mt′簡單地忽略為零，必須按照式（8）來計算。由于此類彈丸的飛行特點是姿態(tài)比較穩(wěn)定，不會出現(xiàn)很大的自轉角速度，所以這種情況下的彈丸載體渦流干擾磁場主要是受地磁場梯度的影響。

3 誤差分析與數(shù)值分析

3.1 地磁梯度對渦流磁場補償精度和姿態(tài)角測量精度的影響

利用測量地磁場在彈體坐標系內三軸分量來解算姿態(tài)角時，渦流干擾背景磁場會引起傳感器測量誤差ΔB，進而照成姿態(tài)角的測量誤差。在只考慮渦流磁場干擾的情況下，載體上磁傳感器的檢測到的周圍磁場可表示為：

在利用磁傳感器的輸出進行姿態(tài)角的解算前，必須通過補償，將中渦流干擾磁場去掉。定義渦流磁場的補償效率為：

根據(jù)函數(shù)誤差傳遞理論［9］和地磁測姿原理，當已知轉動歐拉角θ時，其余兩角ψ、γ的測量誤差為

3.2 數(shù)值仿真分析

地球表面任一點的地球磁場參數(shù)都可由地磁場模型IGRF11計算得到［10］，利用IGRF11模型和MATLAB軟件仿真分析地磁梯度對渦流磁場補償精度和姿態(tài)角測量精度的影響。以射程在500km以內，彈道高度在1萬m以下的彈體為例，如圖3所示以南京地區(qū)東經119°、北緯32°為彈丸發(fā)射點O，以初始射角60°發(fā)射，20s到達高空1萬m處的A點，之后經過300s平飛到達目標點D點，途經B、C兩點。

圖3 仿真彈道平面示意圖Fig.3 Plan sketch of the simulation trajectory

在仿真中，彈丸滾轉角速度為10r／s，偏航角30°不變，俯仰角OA段為60°，OE段保持0°不變。根據(jù)IGRF11地磁場模型，得到發(fā)射點O點處地磁矢量強度為49 549nT，計算得到 A、B、C、D四點處的地磁矢量強度水平梯度和垂直梯度如表1所示。

表1 測量點地磁場梯度Tab.1 Magnetic field gradient at measuring point

表2給出了利用MATLAB仿真的考慮地磁場梯度和不考慮地磁場梯度情況下的渦流磁場的補償效率和經過渦流補償后的姿態(tài)角結算誤差。姿態(tài)角解算是利用已知的俯仰角θ和磁傳感器輸出來計算其余兩角ψ、γ。

表2 數(shù)值仿真結果Tab.2 Magnetic field gradient at measuring point

從表2可以看出考慮地磁場梯度以后的渦流補償效率和姿態(tài)角解算精度明顯高于不考慮地磁場梯度時的結果。在同樣的仿真條件下（線速度和姿態(tài)變化率相同），隨著彈丸跨越地域范圍的增加（飛行緯度和高度的增加），地磁場梯度對渦流磁場的影響也會增大，渦流補償效率和姿態(tài)角精度會降低。當彈丸飛行跨度達到幾千公里時，地磁場梯度的影響將會導致地磁定姿方法的可靠性大大降低。在工程運用中，需要根據(jù)實際情況，利用地磁場梯度模型和優(yōu)化的渦流磁場模型提高地磁定姿的可靠性。

4 結論

本文提出了考慮地磁場梯度下的彈體運動渦流磁場模型。該優(yōu)化模型結合彈體渦流磁場與地磁梯度的特點，闡明了運動渦流磁場與彈體飛行參數(shù)、地磁場矢量強度和地磁梯度之間的數(shù)學關系，完整地體現(xiàn)了影響彈體渦流磁場的因素。數(shù)值仿真實驗的結果表明，不考慮地磁場梯度會造成渦流補償效率和姿態(tài)角解算精度的降低，且隨著彈體飛行跨越地理范圍的增大，其誤差也增大。本文提出的模型有效可靠，可用于彈體背景磁場的補償研究。實際工程運用中，需根據(jù)具體情況，利用優(yōu)化的渦流磁場梯度模型來提高地磁定姿的可靠性。

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