汽車懸架系統混沌運動的自適應反演滑模控制

高 遠 范健文 譚光興 羅文廣

1.武漢理工大學，武漢，430070 2.廣西工學院，柳州，545006

3.廣西汽車零部件與整車技術重點實驗室，柳州，545006

0 引言

電流變阻尼、磁流變阻尼和干摩擦阻尼等都具有明顯的滯后非線性性質，且路面對汽車激勵具有隨機特性，因此，采用這些阻尼的汽車懸架是隨機激勵的滯后非線性系統［1］。汽車懸架系統具有強時變性、強非線性、強非平穩性的動力學特性，且其非線性因素作用在一定的載荷、激勵和頻域內尤為突出［2-3］。近年來，人們研究發現，滯后非線性汽車懸架在路面正弦激勵、多頻擬周期激勵或隨機激勵情況下均可表現出復雜的非線性動力學行為，例如分岔和混沌等［4-5］。實證研究也表明，汽車在顛簸的路面行駛時，汽車懸架系統的混沌運動有可能發生［6］。

迄今，人們對非線性懸架提出了諸如模糊邏輯控制、神經網絡控制、魯棒控制和基于微分幾何的解耦控制等方法［7-10］，然而這些研究并沒有涉及懸架系統中混沌振動的控制問題。近幾年來，有學者針對懸架系統中混沌振動這一復雜的非線性現象，從混沌控制的策略出發，提出了跟蹤控制、速度反饋控制以及脈沖反饋控制等理論方法［11-13］。這些混沌控制方法以確定性數學模型作為研究對象，沒有考慮實際懸架系統強非線性導致的系統建模及其參數辨識困難，以及模型參數時變性和隨機路面干擾等因素。

本文以雙頻激勵的、具有混沌振動特性的1／4車輛懸架系統模型作為研究對象。考慮系統參數時變、模型的非線性項不確定以及隨機路面激勵等干擾因素，并假設這些不確定性因素所帶來的影響有界。研究采用主動控制策略，結合反演設計理論，同時引入自適應算法對干擾因素進行估計，提出控制不確定性汽車懸架系統混沌運動的自適應反演滑模控制器，并采用Lyapunov函數理論證明其控制的穩定性。仿真結果驗證了控制方法的有效性和魯棒性。

1 懸架系統的運動方程及其混沌特性

圖1是單自由度1／4汽車懸架在無控制時的模型圖。通過該圖可得到系統的微分運動方程［4］如下：

式中，m為1／4車體質量；k1為車身剛度；Fzhi為滯后非線性阻尼；x為車體垂直位移；x0為路面位移激勵。

圖1 1／4汽車懸架簡化模型

假設路面為雙頻正弦激勵，有

其中，頻率Ω1和Ω2不可有理通約，a為激勵分量的幅度。滯后非線性阻尼為

式中，k2為非線性剛度系數；c1、c2分別為線性阻尼系數和非線性阻尼系數。

令y＝x-x0，則式（1）可整理為

令y1＝y，y2＝，可將式（2）寫成一階狀態方程形式：

表1 1／4汽車懸架系統模型參數

圖2 混沌吸引子圖

2 自適應反演滑模控制器設計

為研究抑制懸架系統振動中的混沌運動，采用主動控制策略，并在模型中引入控制作用信號函數u（t），則懸架系統方程（式（3））可變為

實際懸架系統的強非線性會導致系統模型及其參數辨識困難，使得模型的非線性項具有不確定性，線性項系統參數與理想參數之間存在偏差，路面對車輛的激勵頻率和幅度也往往是隨機的。因此將式（4）修正為

式中，Δω2、ΔB2分 別 為 對 應 參 數 ω2、B2的 時 變 部 分；f（y1，y2，t）為系統模型中未知非線性項部分；d（t）為隨機路面激勵。

將系統內部的不確定性用i（t）表示，即

可將式（5）進一步整理為

其中，N（t）為各不確定性因素之和，其表達式為

本文假定N（t）有界，且滿足｜N（t）｜≤N0。

假設汽車懸架系統方程（式（4））跟蹤控制的目標信號為yd，定義跟蹤誤差為

則誤差的變化速度為

引入虛擬控制項：

其中，常數r∈R＋。引入變量z：

則根據式（7）有

定義滑模切換函數S：

其中，常數λ∈R＋。

未知的N（t）會對控制效果產生不良影響，因此引入自適應算法求出 N（t）的估計值 ＾N（t）。＾N（t）的自適應律取為

式中，ε為比例參數。

定義估計誤差：

定理1 在不確定性因素N（t）有界情況下，當控制器為

證明 定義系統的Lyapunov函數：

那么結合式（7）～ 式（17），有

則Q是正定矩陣。又由于

那么

所以系統（式（7））在控制器（式（17））作用下漸進穩定。

3 計算結果與比較

為驗證控制方法的有效性，本文采用控制器（式（17））對式（4）進行控制仿真。選擇懸架系統的跟蹤參考信號為yd＝0，并假定不確定性影響的初始估計值＾N（0）＝0，選取相關參數r＝20，λ＝30，γ＝5，β＝0.1，ε＝1500。為降低控制器（式（17））中切換控制所導致的抖振效應，提高控制性能，本文采用雙曲函數tanh（·）代替控制器中的開關函數sgn（·）［15］。仿真中的系統參數、路面的雙頻激勵設置以及初始條件同上述。為驗證控制方法的魯棒性，仿真中引入慢變信號i（t）＝10sint來刻畫系統參數時變性和模型非線性項的不確定性，并考慮汽車以不同車速在不同等級公路路面行駛時的控制情況。

3.1 i（t）＝10sint，d（t）＝0情形

該情形僅考慮系統內部參數的時變性和非線性項的不確定性，汽車只受使其產生混沌振動的確定性雙頻路面激勵作用，所以N（t）＝10sint。在正弦干擾情況下，系統的Lmax＝0.025，因此懸架系統仍處于混沌運動狀態。圖3、圖4分別為yd＝0時，受控懸架系統垂直振動的位移、速度時域演化圖。由圖3和圖4可見，有控制時振動位移幾乎為零，速度在零附近小范圍穩定振動變化。同時，受控懸架系統Lmax＝-0.002，這表明懸架系統即使在正弦規律時變干擾影響情況下，混沌振動仍能得到有效控制，可獲得預期的穩定狀態。

圖5是有無控制時，懸架系統垂直振動加速度時域變化圖。比較圖5a～圖5c可知，無控制時，系統處于混沌振動狀態，垂向加速度變化極不規則，變化幅度較大，反映出汽車行駛平順性不佳；有控制時，加速度趨于單周期性穩定變化，且變化幅度大大減小，車輛行駛的舒適性得到明顯改善。相比ε＝0時的無干擾估計的控制情形，具有自適應干擾估計的反演滑模控制效果更好（圖5c）。

圖3 振動位移演化圖

圖4 振動速度演化圖

圖5 振動加速度演化圖

圖6為N（t）＝10sint時的估計曲線圖。由圖6可以看出，通過自適應律（式（17））所獲得的估計值＾N（t），其大小變化與 N（t）基本符合。通過對總的影響因素進行較為精確的估計，可使得控制器（式（17））能充分抵消時變干擾對系統的影響，從而提高控制的自適應性和魯棒性。

3.2 i（t）＝10sint，d（t）≠0情形

圖6 干擾的估計曲線

該情形綜合考慮了懸架系統參數時變性、模型非線性項的不確定性以及隨機路面干擾等因素。鑒于轎車振動系統的固有頻率分布在0.7～15Hz，人體對4～8Hz頻率范圍的振動較為敏感，因此選取地面作用于輪胎的激勵時間頻率范圍為0.1～30Hz，在此激勵頻率范圍內研究轎車的振動控制可以滿足要求［16］。假設汽車分別以車速v＝30km／h、v＝50km／h和v＝70km／h行駛在B等級和C等級公路路面上，可按照給定路面不平度功率譜變換為路面不平度的方法，通過仿真計算獲得不同車速和不同等級道路情況下的路面不平度數據（路面位移激勵x0）。

表2給出了汽車在6種不同行駛工況下，懸架系統的最大Lyapunov指數。由表2比較可見，被動懸架系統的Lmax均在0.02附近，因此在上述的系統參數、路面激勵和干擾作用情況下，懸架系統仍處于混沌振動狀態。對于受控主動懸架，Lmax的數值衰減到零附近，表明懸架系統無規則的混沌運動得到明顯抑制，無序振動將向有序的周期狀態轉變。

表2 懸架系統的最大Lyapunov指數Lmax

在B等級公路路面、汽車以50km／h勻速行駛的狀況下，汽車懸架系統有無控制時，振動位移y1、速度y2和加速度y3的時域響應演化曲線如圖7～圖9所示。由圖7和圖8可見，即使在系統參數時變、模型的非線性項不確定以及隨機路面干擾等不確定性因素影響情況下，實施自適應反演滑模控制后，懸架系統不穩定的混沌振動能得到有效抑制，位移和速度均在零附近周期性穩定振動，且數值也大大降低。由圖9a、圖9b比較可見，有控制后的懸架垂直加速度減小了50%左右。

圖7 位移演化圖

圖8 振動速度演化圖

圖9 振動加速度演化圖

圖10a、圖10b分別是汽車在B、C等級路面以70km／h速度行駛時，懸架垂直振動加速度在對數坐標下的功率譜圖。由圖10可以看出，無控制時，因為汽車始終受到雙頻路面激勵和內部正弦干擾作用，所以加速度功率譜在頻率f1＝1.257Hz、f2＝3.734Hz和f3＝0.1592Hz附近有明顯波峰，對應頻率處的加速度功率譜值最大，且在10～30Hz的激勵頻率范圍內，C級路面加速度功率譜值大于B級路面加速度功率譜值。有控制后，在0.1～25Hz頻率內的加速度功率譜密度明顯減小，譜線峰值也大幅降低，且受控后的功率譜線變得相對光滑。這表明具有干擾估計的自適應反演滑模控制不僅能有效抑制雙頻激勵產生混沌振動，抵消系統內部時變干擾和隨機路面對車輛的作用影響，而且能很好地降低人體敏感頻率區域的振動加速度，從而較好地提高汽車的行駛平順性和舒適性。

圖10 加速度功率譜

表3給出了懸架系統垂直振動加速度的均方根值。由表3比較可知，對于無控制的被動懸架，隨著路面不平度的增大、行駛速度的加快，懸架振動加速度的均方根值將變大，且數值也較大，這意味著汽車行駛的舒適性和穩定性較差；施加基于自適應反演滑模的主動控制策略后，加速度均方根值明顯減小，其中速度越小、路況越好，控制效果越佳，且相比無干擾估計的控制情形，均方根數值下降得更多。如B級路面情況下，30km／h和50km／h的車速下，加速度均方值減小了一半多，而70km／s的高速行駛狀態，加速度均方值也減小了1／3左右。

表3 垂直振動加速度y3的均方根值

4 結論

（1）汽車懸架系統在參數時變、外界路面干擾激勵以及系統強非線性作用不確定等因素并存的復雜情況下，針對懸架系統的混沌運動控制問題，研究了基于反演設計理論的自適應滑模控制方法，并采用Lyapunov函數理論證明了控制器的漸進穩定性。仿真結果驗證了所設計控制器的有效性。

（2）控制器（式（17））不依賴汽車懸架系統模型中的非線性項，且控制器中的自適應干擾估計作用能有效抵消干擾因素所帶來的影響。為降低控制器所存在的抖振效應，通常選取控制參數β不宜過大。

（3）相比已有的汽車懸架系統混沌運動控制方法，該方法以yd＝0作為預設參考目標，并實現了懸架無規則振動狀態在目標位置附近的穩定控制，且具有良好的控制魯棒性。

（4）汽車在不同等級隨機路面激勵和不同車速狀態的工況下，該方法仍能對懸架系統垂向振動的無規則混沌運動狀態有著很好的鎮定抑制作用，且使得人體敏感振動頻率范圍的垂直振動加速度明顯減小，利于車輛獲得良好的行駛平順性。

［1］方明霞，談軍，馮奇.懸架遲滯非線性特性對汽車平順性的影響［J］.振動與沖擊，2008，27（11）：67-70.Fang Minxia，Tan Jun，Feng Qi.Influence of Hysteretic Nonlinear Property of Suspension on Automobile Ride Comfort［J］.Journal of Vibration and Shock，2008，27（11）：67-70.

［2］Victor Y B Y，David J C.Modeling High Frequency Force Behaviour of Hydraulic Automotive Dampers［J］.Vehicle System Dynamics，2006，44（1）：1-31.

［3］Verros G，Natsiavas S.RideDynamics of Nonlinear Vehicle Model Using Component Mode Synthesis［J］.Journal of Vibration and Acoustics，2002，124（3）：427-434.

［4］盛云，吳光強.汽車非線性懸架的混沌研究［J］.汽車工程，2008，30（1）：57-60.Sheng Yun，Wu Guangqiang.A Chaos Research on Vehicle Nonlinear Suspension System［J］.Automotive Engineering，2008，30（1）：57-60.

［5］Gregorz L，Marek B，Michael I F，et al.Chaotic Vibration of a Quarter-car Model Excited by the Road Surface Profile［J］.Commun.Nonlinear Sci.Numer Simul.，2008，13：1373-1383.

［6］任成龍，張雨.汽車懸架振動的混沌特性［J］.濟南大學學報，2010，24（2）：198-202.Ren Chenglong，Zhang Yu.Chaos Characteristics of Automobile Suspension Vibration［J］.Journal of University of Jinan，2010，24（2）：198-202.

［7］Sakman L E，Guclu R，Yaguz N.Fuzzy Logic Control of Vehicle Suspensions with Dry Friction Nonlinearity［J］.Sadhana，2005，30（5）：649-659.

［8］Guclu R，Gulez K.Neural Network Control of Seat Vibrations of a Non-linear Full Vehicle Model Using PMSM［J］.Math.Comput.Model.，2008，47：1356-1371.

［9］Akcay H，Tükay S.Influence of Tire Damping on Mixed H2／H∞Synthesis of Half-car Active Suspensions［J］.J.Sound Vib.，2009，322：15-28.

［10］陳建國，程軍圣，聶永紅，等.基于微分幾何的汽車半主動懸架解耦控制算法［J］.中國機械工程，2012，23（20）：2509-2514.Chen Jianguo，Cheng Junsheng，Nie Yonghong，et al.Simulation on Vehicle Semi-active Suspension Decoupling［J］.Chinese Mechanical Engineering，2012，23（20）：2509-2514.

［11］高大威，崔玲，王昊.追蹤控制雙頻激勵下汽車懸架系統的混沌運動［J］.振動與沖擊，2010，29（5）：58-61.Gao Dawei，Cui Ling，Wang Hao.Tracking Control for Chaos Motion of an Automobile Suspension System with Dual-frequency Excitations［J］.Journal of Vibration and Shock，2010，29（5）：58-61.

［12］汪超，胡立光.汽車懸架混沌系統的速度反饋控制研究［J］.機械設計與研究，2006，22（5）：118-121.Wang Chao，Hu Liguang.The Research of Speed Feedback Control in Automobile Suspension Chaotic System［J］.Machine Design and Research，2006，22（5）：118-121.

［13］Litak G，Borowiec M，Ali M，et al.Pulsive Feedback Control of a Quarter Car Model Forced by a Road Profile［J］.Chaos Solitons ＆ Fractals，2007，33：1672-1676.

［14］Alan W，Jack B S，Harry L S，et al.Determining Lyapunov Exponents from a Time Series［J］.Physica D，1985，16（3）：285-317.

［15］Ha Q P，Nguyen Q H，Rye D C，et al.Fuzzy Sliding Mode Controllers with Applications［J］.IEEE Trans.Ind.Electron，2001，48（1）：38-46.

［16］劉獻棟，鄧志黨，高峰.公路路面不平度的數值模擬方法研究［J］.北京航空航天大學學報，2003，29（9）：843-846.Liu Xiandong，Deng Zhidang，Gao Feng.Research on the Method of Simulating Road Roughness Numerically［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautic，2003，29（9）：843-846.