基于滑動式Lagrange插值方法的GPS精密星歷內插分析

雷 雨，趙丹寧，高玉平，2

（1.中國科學院國家授時中心，陜西 西安 710600；2.中國科學院時間頻率基準重點實驗室，陜西 西安 710600；3.中國科學院研究生院，北京 100039）

在高精度GPS定位導航與授時中，需要使用IGS（International GNSS Service）及數(shù)據(jù)分析中心提供的精密星歷獲取衛(wèi)星坐標，但其采樣間隔為15min和5min，而GPS接收機的采樣率一般為30s、15s或5s，甚至更密。因此，若想利用某一時刻的衛(wèi)星坐標，必須對精密星歷進行高精度、快速的插值或擬合［1－2］。本文介紹了滑動Lagrange多項式插值方法的基本原理，以精密星歷中固定采樣間隔的衛(wèi)星位置作為插值節(jié)點，對內插結果進行分析與討論。

1 滑動Lagrange多項式插值

1.1 Lagrange多項式插值

經典的Lagrange插值函數(shù)為

其中：f（xk）為插值節(jié)點處的函數(shù)值，lk（x）是n次插值基函數(shù)

其僅與節(jié)點有關，不隨函數(shù)值f（xk）的改變而改變。

插值點位于已知節(jié)點之間的稱為內插。例如對于n階插值，即有n＋1個插值節(jié)點，內插位于這n＋1個節(jié)點之間任意位置的函數(shù)值［3］。在進行多項式內插中，為了達到所需精度，常選擇較高階數(shù)的多項式，但隨著階數(shù)的增加，在插值端點的函數(shù)值易發(fā)生震蕩或跳躍現(xiàn)象，即所謂的龍格現(xiàn)象（Runge's Phenomenon，RP）［4－5］。為了克服這個不足，多項式插值一般采用滑動式算法［6－7］。

1.2 滑動式內插算法

采用滑動式內插算法，就是使欲插值的點始終位于插值范圍的中心，以獲得最高精度的插值效果。例如，每次取8個插值節(jié)點，生成7階多項式，最佳插值時間段處于第4個到第5個節(jié)點之間。第1個到第8個節(jié)點為第1個插值區(qū)間，僅用來插值第4個到第5個節(jié)點之間的時間段。這個插值區(qū)間相當于一個“窗口”，窗口大小一直保持不變，每次將窗口向后移動等間隔的距離，用于插值窗口中間兩點之間的時間段。此外，窗口數(shù)據(jù)點的多少（多項式階次大小）會對插值結果產生影響。需要說明的是，如果取偶數(shù)個節(jié)點，最佳插值時間段有2個。例如取9個插值節(jié)點，生成8階多項式，最佳插值時間段分別處于第4個到第5個節(jié)點之間及第5個到第6個節(jié)點之間。研究表明，選取偶數(shù)個節(jié)點進行插值的效果優(yōu)于奇數(shù)個節(jié)點［4，7－8］。

2 數(shù)值算例與分析

2.1 數(shù)值算例

為了驗證內插結果，采用2011－06－27由IGS數(shù)據(jù)分析中心NGA發(fā)布的GPS衛(wèi)星精密星歷，選取PRN編號為02的GPS衛(wèi)星的坐標值進行內插計算，時間段為00：00：00至08：25：00。精密星歷的采樣間隔為5min，為了驗證內插精度，取15min間隔為一個節(jié)點，利用滑動式Lagrange方法內插出每5min間隔的衛(wèi)星坐標，并與NGA提供的已知精密星歷做比較。由于星歷中邊緣時刻的衛(wèi)星位置需要利用相鄰1d的數(shù)據(jù)才能內插得到，所以略去邊緣時刻。表1給出了滑動Lagrange插值方法不同階次的內插結果。

表1 不同階次滑動式Lagrange內插結果

2.2 分析討論

由表1可以看出，Lagrange多項式的階數(shù)越高，內插精度也越高；當插值階數(shù)在5階以下時，Lagrange插值方法有較大誤差，最大誤差達到1m；當階數(shù)在7階時，已經達到了毫米的精度，當插值階數(shù)超過9時，插值精度趨于平穩(wěn)；另外，由于使用了滑動式內插算法，高階次插值也沒有出現(xiàn)龍格現(xiàn)象。

為了形象直觀地表達插值精度的變化情況，圖1、圖2和圖3分別給出X，Y，Z方向上Lagrange插值方法的最大誤差和RMS變化曲線。

3 對GPS相位平滑偽距授時的影響

為了驗證滑動式Lagrange插值算法的有效性，將7階內插結果應用到基于非差載波相位平滑偽距的精密授時軟件TCT中［9］。

選 擇 了IGS/TAI并 址 站PTBB 2009－06－05（MJD＝54 987）的觀測數(shù)據(jù)，采樣率為30s，該站接收機外接H－maser頻標。從IGS下載了對應時間的采樣率為15min最終精密星歷文件和采樣率為30s的衛(wèi)星鐘差文件。將求解的接收機鐘差序列與IGS對應的鐘差求差，得到的序列偏差如圖4所示，并統(tǒng)計了最大偏差（Max Bias）、平均偏差（Mean Bias）、均方差（RMS）和標準差（STD），見表2。

圖4 求解鐘差與IGS發(fā)布的鐘差之間的較差

表2 接收機鐘差解的精度統(tǒng)計信息 ns

從圖4與表2中可以看出，利用上述精密星歷處理方法的精密授時軟件，進行雙頻載波相位平滑偽距單站授時時，其外符合精度可以保持在0.5ns以內，能滿足高精度授時的需求。

4 結 論

1）對于采樣率為15min的精密星歷，采用滑動Lagrange多項式插值方法，當選取8個插值節(jié)點，即多項式階次為7階時，內插精度可以達到毫米級，完全可以滿足高精度定位、定時等應用的需求；但隨著插值階次的增加，插值效果趨于平穩(wěn)，因此，并不是插值階次越高越好。

2）Lagrange插值方法的數(shù)學模型比較簡單，屬于代數(shù)插值，有利于計算機的編程實現(xiàn)，并且滑動式內值算法充分利用了待插時刻前后的數(shù)據(jù)信息，插值精度較高，即使插值階次很高，也不會出現(xiàn)龍格現(xiàn)象。因此，在對GPS精密星歷進行內插時，可以首選該方法。

3）將滑動式Lagrange插值算法應用到GPS相位平滑偽距授時軟件中，取得了很好的效果，驗證了其有效性。

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