數(shù)學(xué)家喜歡的棋盤趣題

林革

高莫瑞（Gomory，R，E）是當(dāng)代應(yīng)用數(shù)學(xué)家，也是美國著名的IBM公司的高級(jí)研究人員，曾擔(dān)任經(jīng)理、部門主任、研究部主任和副總裁之職。20世紀(jì)60年代，他以“割平面法”在運(yùn)籌學(xué)的研究領(lǐng)域享有聲譽(yù)。

從專業(yè)的角度而言，作為數(shù)學(xué)家的高莫瑞喜歡各類智力問題并不令人驚奇，因?yàn)檫@對(duì)于他的研究工作能起到一定的幫助作用。數(shù)學(xué)愛好者感興趣的是，高莫瑞對(duì)各種染色問題情有獨(dú)鐘，對(duì)其中一些問題的研究和解答，充分顯示出其深厚的數(shù)學(xué)功底。比如下面這則廣為人知的“國際象棋問題”。

下圖是一個(gè)8×8的國際象棋棋盤，已經(jīng)將對(duì)角線上的兩個(gè)方格切掉，數(shù)學(xué)家嘗試用31張多米諾骨牌（是兩個(gè)相連正方形的長方形牌）覆蓋剩下棋盤上的62個(gè)方格，請(qǐng)問可以辦到嗎？

看上去這個(gè)問題很簡單，可只要你動(dòng)手操作一番后就會(huì)發(fā)現(xiàn)，無論你如何絞盡腦汁也不能達(dá)成題意的要求。事實(shí)上，這根本就是個(gè)不可能的問題。那是為什么呢？數(shù)學(xué)家揭示了其中的道理：

每一張骨牌也就是□□，放在棋盤上必然覆蓋住兩個(gè)相鄰方格，即蓋住一白一黑，所以31張骨牌蓋住的肯定是31個(gè)黑格和31個(gè)白格。而國際象棋棋盤上相鄰兩格顏色不同（一黑一白），對(duì)角兩格的顏色相同，那么切掉對(duì)角線上的兩個(gè)方格后，剩下的是30個(gè)白格，32個(gè)黑格（或32個(gè)白格，30個(gè)黑格），顯然不能被31張骨牌覆蓋。不難看出，高莫瑞對(duì)于這個(gè)問題的分析直觀形象，連小學(xué)生也能理解接受。

如果你是一個(gè)喜歡刨根問底的人，那么就會(huì)追問：問題不可能的原因，是由于切掉的是棋盤上兩個(gè)顏色相同的小方格，那假如我們從棋盤的任何部位切掉兩個(gè)顏色不同的小方格，那么剩下來的62格是否一定能被31張骨牌完全蓋住呢？對(duì)此，高莫瑞的肯定回答毋庸置疑，因?yàn)閿?shù)學(xué)家對(duì)此已經(jīng)給出一個(gè)精妙妥帖的證明。而這個(gè)令人嘆服的證明就是上面的這張棋盤路線示意圖：

粗黑線條將整個(gè)棋盤轉(zhuǎn)變?yōu)橐粭l首尾相連、黑白格相間的封閉路線。通俗的形容就是，從某個(gè)方格出發(fā)，繞著這個(gè)回路走一圈后又回到起點(diǎn)方格（如上圖中箭頭所示）。從這棋盤上切掉任何兩個(gè)顏色不同的方格，會(huì)讓這個(gè)封閉線路變成兩段線路。這就相當(dāng)于在一個(gè)封閉的回路去掉兩點(diǎn)，回路就成為兩段；當(dāng)然，如果切掉的方格是上下相連的，那就相當(dāng)于去掉一點(diǎn)，回路就成為一段不封閉的線路。對(duì)此，你可以借助一個(gè)圓圈上去掉兩點(diǎn)或一點(diǎn)來直觀理解。

接下來的事情很簡單，就是在這兩段（或一段）線路中，可以清點(diǎn)出黑白相間的兩種小方格的數(shù)量都是偶數(shù)。這就表明，線路一定能被若干張骨牌即□□覆蓋。應(yīng)該注意到，骨牌可以豎放也可以橫放，這樣轉(zhuǎn)彎的地方也不會(huì)產(chǎn)生麻煩。到此，證明結(jié)束。被挖去黑白各一格的國際象棋棋盤，的確可以被31張骨牌完全覆蓋。

這個(gè)生動(dòng)有趣的棋盤問題是由著名的美國科普大師馬丁·加德納提出，數(shù)學(xué)家高莫瑞則給出了上述精彩巧妙的證明，一問一答前后呼應(yīng)，相得益彰堪稱絕配！