一種穩健估計的無人機機載相機標定法

何海清，黃聲享

(武漢大學測繪學院，湖北 武漢430079)

一、引 言

隨著測繪科技、高分辨率傳感器、無人機駕駛飛行平臺等技術的迅猛發展，應用于航測的無人機技術日臻成熟，無人機航測可做到快速響應，并能夠直觀地、實時動態地快速獲取反映地表狀況的多源、多尺度、高分辨率、低成本遙感影像數據，為資源快速調查、災害防治等應用提供應急保障。

無人機航測現階段搭載的傳感器一般為高分辨率數碼相機，而其標定是進行攝影測量的重要組成部分，用于精確建立空間物體三維位置與圖像對應點之間的幾何模型。由于無人機航測存在飛行平臺姿態不穩定、起飛降落可能抖動劇烈等問題，同時為了滿足不同攝影環境還需要變焦或更換鏡頭，因此無人機所搭載的高分辨率數碼相機應頻繁地標定內部參數。目前，國內外學者在攝影機標定領域作了廣泛而深入的研究，具有代表性的標定方法有Abdal Aziz和Karara于20世紀70年代初提出的線性變換相機標定方法［1］;Tsai于20世紀80年代中期提出的基于RAC的相機標定方法［2］;張正友提出的利用旋轉矩陣的正交性與非線性最優化攝像機平面標定法［3］;譚曉軍等提出的通過雙目匹配點標定立體攝像機［4］;詹總謙等提出的基于LCD平面格網和有限元內插模型的相機標定法［5］;高智等提出的通過編碼檢校場實現雙目視覺系統的自動標定法［6］等相機標定方法。目前，相機標定原理較為成熟，然而，由于標定內參數計算過程中采用等權的最小二乘法估計，因此其抵抗粗差的能力差［7］，若標定所使用特征點中存在精度較低或誤差過大的坐標值，勢必會影響標定結果的精度。

本文顧及相機自動標定提取特征點可能存在的定位粗差，提出利用穩健估計平差法參與相機標定的方法，以消除粗差對內參數計算產生的影響。該方法根據相機針孔成像原理，利用線性和非線性的Tsai兩步標定法，以及從Robust原理導出的選擇權迭代法，逐步消弱角點檢測帶來的粗差對內參數估計的影響，以獲得精度更高的標定結果。

二、相機成像模型

相機成像實質上是三維空間實體映射到二維空間的過程，本研究相機成像模型選用針孔模型來求解相機內參數。針孔相機模型是通過透視變換原理，經坐標系兩次轉換，即由三維實體世界坐標系轉換攝影坐標系再轉到圖像坐標系，從而實現將三維空間中的點投影到圖像坐標系中的點，其空間關系如圖1所示。

世界坐標系與攝影坐標系的空間轉換關系為

根據共線方程，攝影坐標系與圖像坐標系的關系為

式中，(xc，yc，zc)為攝影坐標系坐標;(xw，yw，zw)為世界坐標系坐標;(xu，yu)為理想圖像坐標系坐標;R為旋轉矩陣;T為平移矩陣;f為焦距。

式(1)、式(2)表示的是無鏡頭畸變的理想相機成像模型，若考慮鏡頭畸變，則需要對其進行修正。相機畸變主要包括徑向畸變和切向畸變，如圖2(a)所示，其產生的畸變效果如圖2(b)所示。相機畸變與圖像坐標數學模型為

圖2 相機鏡頭畸變與理想圖像成像關系

三、穩健抗差估計的相機標定法

由于無人機航測飛行高度一般為300～1000 m，需將相機根據超焦點距離給定焦距f，以使物鏡向無窮遠目標對光時，其構像都很清晰。超焦點距離H和焦距 f的關系［8］為

式中，k為光圈號數;ε為模糊圓大小。無人機在航測前需將焦距固定，攝影景深公式［8］為

由式(6)可知，當物距a和焦距f固定時，光圈號數越大，景深也越大。在相機室內標定時，固定鏡頭以確保焦距不變，通過增大光圈號數和增加曝光時間以獲得LCD液晶顯示屏棋盤標定模板清晰影像。然而，由于存在不同拍攝角度環境光不同、曝光時間長手抖動造成影像模糊等問題，會使得獲取的標定模板影像質量降低，不可避免地產生誤差。同時，Harris算法提取的角點可能存在偏差，也會對標定結果產生影響。

本文研究無人機機載相機標定基于LCD定標模板，因此可從不同角度拍攝若干張模板圖像，并利用Harris算法檢測出圖像中角點。假定其世界坐標系中Zw=0，并假設相機在無畸變情況下，利用徑向一致約束來求解旋轉矩陣、平移矩陣、比例因子等相機外參數，然后把這些參數作為初值代入有畸變的相機成像模型公式，引入穩健抗差估計算法，從驗后方差中迭代選權求解其他參數，逐步消弱Harris算法角點檢測帶來的粗差對內參數估計的影響。

1)不考慮相機畸變時，對于圖像中角點，利用線性式(1)、式(2)，根據最小二乘法優化求解旋轉矩陣R、平移矩陣T。公式如下

2)考慮相機畸變時，將1)中得到的旋轉矩陣R、平移矩陣T作為初值，聯立式(1)、式(3)、式(4)，求解公式變為非線性公式，將其一次泰勒展開并線性化得

式中，fx=f/d x;fy=f/d y。可將式(9)整理為

式中，權P初始值為單位權，把解算得到的 X=X0+x作為初值X0進行迭代運算，直至x收斂。從Robust原理出發的選擇權迭代法在迭代開始時不要輕易舍棄殘差大的觀測值，而在迭代結束時嚴格剔除粗差甚至是較小的粗差，以實現估值的穩健化。其權函數為［9］

通過驗后得到的新權，返回式(12)中進行迭代運算，從而消弱粗差的影響，以得到更為精確的內參數。

四、試驗結果及分析

本文方法采用9×9棋盤格LCD(純平液晶顯示器)平面模板進行試驗研究，如圖3所示。通過VC++編程實現本文方法，并以無人機機載相機Cannon EOS5D MarkⅡ進行標定試驗，其圖像分辨率為5616像素×3744像素。像片拍攝方式如圖4所示，中心為LCD平面模板，黑點為拍攝點，分別從順時針和逆時針兩個方向拍攝，棋盤盡量占滿像幅，以獲得不同角度標定模板的圖像共78張像片。本次試驗流程如圖5所示，首先提取試驗像片角點，通過等權最小二乘法優化估計，得到相機內參數初值，并根據Robust原理的選擇權迭代法，逐步剔除角點粗差，得到精確的相機標定參數。

圖3 LCD平面標定模板

圖4 標定模板拍攝方式

圖5 實驗流程圖

通過等權最小二乘法的相機標定參數優化估計，得到標定參數初值，進行反投影得到的角點坐標殘差如圖6所示，顯然存在粗差，如不剔除，勢必對標定參數精度產生影響。

圖6 等權最小二乘法參數標定估計

該CCD相機在標準檢校場得出其主要參數，焦距 f為35.4944 mm，像元大小為6.4 um，像主點x0、y0分別為0.2 202 mm、0.028 7 mm。本文方法和等權最小二乘法參與解算內參數見表1，焦距為37.541 mm，像主點 x0、y0分別為0.456 5 mm、0.156 2 mm，與標準檢校場標定結果相差較大，相機CCD各參數中誤差較大;經本文方法利用穩健估計剔除粗差得到的標定結果見表1，像素非常接近正方形，縱橫比通過fx/fy計算為1.000 3，焦距為35.521 9 mm，像主點 x0、y0分別為0.212 5 mm、0.031 46 mm，角點畸變偏移如圖7所示。與標準檢校場得出的結果相比，焦距相差0.027 5 mm，像主點 x0、y0相差分別為0.007 7 mm、0.002 76 mm，該相機CCD標定參數焦距中誤差低于0.2像素，像主點低于0.1像素，可滿足無人機航測精度的要求。

圖7 角點畸變偏移量平面圖

表1 試驗圖像標定結果 像素

為了檢驗標定結果的實際精度，根據本文方法得到的相機內方位元素、畸變參數及圖像旋轉平移等外方位元素，對試驗中每張像片進行了反投影，并將反投影求得的各個角點圖像坐標與自動檢測得到的角點圖像坐標比較分析，求得二者的中誤差為0.093 像素。

五、結束語

為了滿足無人機機載相機變焦或更換鏡頭，以及不同環境航測需要，實用、有效、快捷地標定相機內方位元素和畸變參數具有重要意義。本文利用LCD液晶平面模板自動提取角點，利用穩健估計平差法參與相機標定，從Robust原理迭代選擇權，逐步消弱角點定位粗差對內參數估計的影響。通過對無人機機載相機Cannon EOS5D MarkⅡ一組圖像進行試驗，并與等權最小二乘法參數估計和標準檢校場結果進行對比。結果表明，該方法比等權最小二乘法參與相機標定精度更高，可得到更為穩健的標定結果，能在一定程度上滿足無人機機載相機標定參數需要。

［1］HEIKKILA J，SILVEN O.A Four-step Camera Calibration Procedure with Implicit Image Correction［C］∥IEEE Comput Soc Press.San Juan：［s.n.］，1997：1106-1112.

［2］TSAI R Y.A Versatile Camera Calibration Technique for High Accuracy 3D Machine Vision Metrology Using Offthe-Shelf TV Cameras and Lenses［J］.IEEE J Robotics and Automation，1987，3(4)：323-344.

［3］ZHANG Z.A Flexible New Technique for Camera Calibration［J］.IEEE Trans Pattern Analysis and Machine Intelligence，2002，22(11)：1330-1334.

［4］譚曉軍，余志，李軍.一種改進的立體攝像機標定方法［J］.測繪學報，2006，35(2)：138-142.

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［6］高智，仲思東，劉勇.通過編碼檢校場實現雙目視覺系統的自動標定［J］.武漢大學學報：信息科學版，2007，32(10)：936-939.

［7］黃維彬.近代平差理論及其應用［M］.北京：解放軍出版社，1990.

［8］喬瑞亭，孫和利，李欣.攝影與空中攝影學［M］.武漢：武漢大學出版社，2008.

［9］李德仁，袁修孝.誤差處理與可靠性理論［M］.武漢：武漢大學出版社，2002.