陀螺經緯儀定向中施加子午線收斂角的問題探討

王慶林，王雅萍

(1.河南理工大學礦山空間信息技術國家測繪地理信息局重點實驗室，河南焦作454100;2.河南理工大學測繪與國土信息工程學院，河南焦作454100;3.中國礦業大學(北京)地球科學與測繪工程學院，北京100083)

一、引 言

在進行井巷工程和地鐵隧道工程貫通測量時，測角誤差引起支導線終點位置的橫向誤差是主要的誤差來源，且測角誤差的影響隨著導線長度的增大而增加，若不加以控制，甚至可能超過生產限差的要求。為防止測角誤差的累積影響，通常采取加測陀螺定向邊的方法控制測角誤差對導線終點位置誤差的影響。在進行陀螺定向時，需要計算安置儀器點處的子午線收斂角，本文探討了子午線收斂角計算對陀螺經緯儀定向精度的影響，并結合具體工程實例，給出子午線收斂角的正確計算方法。

二、子午線收斂角及其計算

子午線收斂角是指通過該點的子午線投影與過該點的縱坐標線之間的夾角，規定西偏為正，東偏為負。

由文獻［1］可知，用大地坐標(B，l)計算子午線收斂角的公式為

由平面坐標(x，y)計算子午線收斂角的公式為

式中，Nf為垂足點處卯酉圈曲率半徑;其他有下標f者可由垂足點緯度Bf計算。

上述兩個計算式計算結果以角度秒為單位，子午線收斂角計算精度為0.001″。

三、陀螺經緯儀定向計算

陀螺經緯儀定向的程序是：先在已知邊上測定儀器常數Δ;再到待定向邊上測定待定邊的陀螺方位角;最后再次測定儀器常數。儀器常數Δ、坐標方位角α、大地方位角A和子午線收斂角γ等之間的關系如圖1和圖2所示。

圖1 陀螺儀器常數測定示意圖

圖2 定向邊坐標方位角測定示意圖

由文獻［2］和圖1、圖2可知，儀器常數計算公式為

式中，A0為已知邊的地理方位角，且A0=α0+γ0;α0為已知邊的坐標方位角;γ0為測站點處子午線收斂角;αT0為已知邊的陀螺方位角。

定向邊的坐標方位角計算公式為

式中，A為待定邊的地理方位角;γ為待定邊的測站點上子午線收斂角;α'T為待定邊的陀螺方位角。

將式(3)代入式(4)，經整理后得

式中，Δγ=γ0－γ，為已知點和待測點處子午線收斂角的差值。

由式(5)可知，當Δγ≈0時可不考慮γ的計算。

四、不同區域Δγ的計算及分析

當測定儀器常數儀器安置點與待定向邊儀器安置點相距較近時，兩處子午線收斂角相差較小，可不考慮子午線收斂角的影響。那么，在用陀螺經緯儀定向時，兩個儀器安置點之間相距多遠時可不考慮子午線收斂角的影響，即Δγ=γ0－γ的值不至于影響定向結果的精度。下面以3°帶的中緯度地區子午線收斂角計算為例討論其對陀螺經緯儀定向結果的影響。計算區域選擇：縱坐標x為3320～6650 km，橫坐標y為0～115 km，沿縱坐標x按間隔1000 m、500 m、200 m、100 m，橫坐標 y間隔 200 m、100 m取一點。部分計算結果整理見表1～表6。

表1 沿坐標軸Δx=1000 m、Δy=0 m，Δγ的最大變化值(″)

表2 沿坐標軸Δx=500 m、Δy=0 m，Δγ的最大變化值(″)

表3 沿坐標軸Δx=200 m、Δy=0 m，Δγ的最大變化值(″)

表4 沿坐標軸Δx=100 m、Δy=0 m，Δγ的最大變化值(″)

表5 沿坐標軸Δx=0 m、Δy=200 m，Δγ的最大變化值(″)

表6 沿坐標軸Δx=0 m、Δy=100 m，Δγ的最大變化值(″)

其中，表1～表4是當y坐標為定值，沿x坐標變化分別取1000 m、500 m、200 m、100 m 時兩個安置儀器點之間子午線收斂角差值Δγ的最大變化值;表5和表6是當x坐標為定值，沿y坐標變化取200 m、100 m時兩個安置儀器點之間子午線收斂角差值Δγ的最大變化值。

由上述計算結果可以看出，沿x軸或y軸方向相鄰兩點處子午線收斂角的計算差值存在如下規律：

1)當兩安置儀器點的Δy=0時，子午線收斂角的差值Δγ隨緯度的增大而增大，隨安置點的y坐標(與中央子午線的經差)增大而增大，特別是兩安置點的Δx值越大子午線收斂角的差值Δγ就越顯著(由表1～表4可看出)。

2)當兩安置儀器點的Δx=0時，子午線收斂角的差值Δγ隨緯度的增大而增大，特別是兩安置點的Δy值越大子午線收斂角的差值Δγ就越顯著(由表5、表6可看出)。

3)當兩安置儀器點的 y≤5 km、Δy=0、Δx≤500 m時，子午線收斂角的差值Δγ≤1″;當兩安置儀器點的Δx≥1000 m時，子午線收斂角的差值Δγ隨著安置儀器點的x和y坐標值的增大而增大，甚至可達到20″。

4)當兩安置儀器點的Δx=0、Δy≥100 m時，子午線收斂角的差值Δγ≥1″;且Δγ隨安置儀器點的x、y和Δy的增大而增大，甚至可達到20″以上。

五、Δγ對陀螺經緯儀定向的影響分析

目前所使用的陀螺經緯儀精度有25″、20″和15″，自動陀螺經緯儀的精度可達到10″以下，甚至可達3″。由上述對子午線收斂角的計算可知：

1)若不考慮兩個安置儀器點所計算的子午線收斂角的差值Δγ，Δγ對陀螺定向的影響將成為系統誤差，這種誤差不可能從多次定向結果的精度評定中所發現。

2)當子午線收斂角的差值Δγ≤1″時，對于實際定向精度大于10″的儀器，這種計算方法造成的系統誤差對定向總精度的影響不大于10%。只有在兩安置儀器點的y≤5 km、Δy=0、Δx≤500 m時，可不考慮Δγ對定向結果的影響。

3)若Δγ≥1″，對于實際定向精度高于10″的儀器，這種計算方法造成的系統誤差對于定向總精度將達10% 以上。特別是用于高精度的自動陀螺經緯儀定向時，這種誤差甚至可超過儀器本身的定向精度，在陀螺經緯儀定向中這是絕對不允許的。

通過上述Δγ對陀螺經緯儀定向精度的影響分析，在使用陀螺經緯儀定向時，應分別計算施加兩安置儀器點處的子午線收斂角γ。具體施加子午線收斂角的方法如下：

1)根據測定儀器常數安置儀器點的坐標計算子午線收斂角γ0。

2)根據待定邊安置儀器點的坐標計算子午線收斂角γ。

3)根據式(5)計算定向邊的坐標方位角α。如某煤礦用陀螺經緯儀定向獲得的數據如下：已知邊的坐標方位角 α0=277°23'04.3″;陀螺方位角 αT0=278°14'38.6″;安置儀器點的坐標為x=3 827 432.106 m，y=139 648.171 m;待定向邊陀螺方位角 α'T=82°40'28.6″;安置儀器點的坐標約為x=3 827 630 m，y=139 800 m。

由式(1)分別計算兩個安置儀器點處的子午線收斂角分別為

由式(5)計算得定向邊的坐標方位角為

六、結束語

本文分析了施加子午線收斂角對陀螺經緯儀定向精度的影響，并用實例給出了正確施加子午線收斂角的方法，消除了過去對施加子午線收斂角的模糊認識。同時，闡明了由兩個安置儀器點處的子午線收斂角的差值Δγ可造成定向結果中含有較大系統誤差，這一點對于用高精度的自動陀螺儀定向尤為重要。

［1］張華海，王寶山，趙長勝，等.應用大地測量學［M］.徐州：中國礦業大學出版社，2007.

［2］張國良，朱家鈺，顧和和.礦山測量學［M］.徐州：中國礦業大學出版社，2008.

［3］王慶林，陀螺經緯儀定向系統誤差研究［J］.測繪科學，2010，35(5)：56-57.

［4］薛志宏，李廣云，王留朋，等.陀螺定向中子午線收斂角的計算方法與精度分析［J］.測繪通報，2009(12)：43-45.

［5］鄔熙娟，王維，高俊強.子午線收斂角和垂線偏差對陀螺方位角的影響［J］.南京工業大學學報：自然科學版，2007，29(3)：94-98.