“角”的認識：從“定義教學”到“概念教學”

學生未上學時便已認識三角形、五角星等，所以，教師往往認為學生比較熟悉“角”，教學不存在難度。其實，學生常常把物體的尖部分當成“角”，可見，學生并未清楚地認識“角”及“角”的本質屬性。在“角的初步認識”這一教學內容中，其難點在于讓學生脫離實物中的角，在大腦中形成“角”的概念，認識到：“角”的大小與邊的長短無關，“角”的大小由兩條邊張口的大小決定。在參與“變異理論”的研究討論之后，我試圖從建立概念的角度進行反思，重新設計教學內容，實現了從“定義教學”到“概念教學”的過渡。

一、實例入手，適時引入“角”的概念

以往，在幫助學生形成“角”的概念之前，我設計了這樣的導入環節。

教師：今天老師要帶大家認識一個朋友，跟老師去找找吧?。ǔ尸F圖片中的角：鐘面上時針和分針夾成的角；窗戶上的橫木條和豎木條夾成的角；剪刀張開的兩個刀刃夾成的角；三角板的兩條邊組成的角）新朋友就在這些物體表面。這些新朋友離開了具體物體出現在我們面前，你們知道它們叫什么嗎？

學生：角。

教師：對，就是“角”。今天這節數學課我們一起認識“角”……

在這一導入環節，教師希望把數學與生活相聯系，最終脫離實物抽象出“角”的概念。其實，這種方式使學生難以真正“抽象”出“角”的概念。

重新思考后，我調整了導入環節，旨在通過少量實例，突出強調“角”的概念。

教師：說到“角”，同學們肯定不陌生。今天這堂課，老師要帶領大家認識“角”的概念。（教師在黑板上畫出一個標準的“角”）請同學們仔細觀察，用自己的語言描述老師畫“角”的動作。

學生（通過討論和交流）：先畫一個點，再從該點出發畫出一條直直的線；還從這個點出發，再畫出另一條直直的線。

在這一導入環節，教師通過具體、直觀的實例，為學生搭建感性經驗和抽象概念之間的橋梁，最終讓學生建立“角”的概念。數學概念的本質是抽象的，因此，在教學過程中，應在適當階段盡早脫離具體、直觀的實例，以幫助學生更好地建立抽象的數學概念。

二、“正例”與“反例”互補，突破教學重、難點

“變異理論”認為，概念學習在本質上是對概念屬性的辨認，而例子則是概念屬性的具體化和形象化，對概念的學習具有重要的輔助作用。例子包括“正例”和“反例”兩種。由于過去對“角”的教學缺乏足夠重視，僅僅滿足于簡單生活實例的應用，后來，學生在對“角”的理解出現錯誤時，我開始認真反思。最終，我發現根本原因在于：學生沒有在課堂上真正經歷嚴格、嚴謹和嚴密的建立概念的過程。根據“變異理論”，要在學生頭腦中建立清晰、牢固和深刻的概念，就需要有目的、有選擇地使用“正例”“非標準正例”和“2O7rqmi5Mt4vMr4uKNK5q7djuGTg9A777gSHB3Qj/Sc=反例”。于是，我在教學設計中拓展了相關的教學內容，具體包括兩點。

1.在判斷中進一步認識“角”

以前，我習慣在黑板上畫一個作為“正例”的“角”讓學生觀察，學生能憑直覺判斷出這是角，但對于“角”這一概念的本質屬性缺乏深刻的理解。后來，我增加了“非標準正例”與“反例”，引導學生進行比較并深入思考。

如圖所示，圖1、圖2和圖6是“正例”，圖3、圖4和圖5是反例。

在教學中，例子學習是學生掌握復雜、抽象概念的關鍵。通過逐一仔細地觀察、辨認和比較例子，學生在思考中抓住了角的本質：兩條直直的邊一頭挨在一起形成頂點才是角；角與邊的長短、方向無關。

2.在比較中理解“角”的大小

在教學中，教師可通過讓學生動手操作（做活動角），使學生感悟“角”有大小，認識到“角”的大小與“角”兩邊叉開的程度有關?！敖恰钡膬蛇厪埧谠酱?，“角”越大；“角”的兩邊張口越小，“角”越小。在實際操作中，學生自然發現這一規律。為了防止學生在“張口”這個關鍵點犯錯，我增加了兩組易使學生出現判斷錯誤的例子，以強化學生對“張口”這一關鍵屬性的辨識和比較，使學生真正掌握教學內容，最終突破本課的重點和難點。

如圖所示，在圖7、圖8中，小的角兩條邊線長，大的角兩條邊線短。直觀地看，直線末端的張口幾乎相等。對這樣的角，學生容易迷惑，認為兩個角一樣大。通過教師的引導，學生注意到張口的大小不應通過邊線的末端進行判斷，而要看頂點處。在圖9、圖10中，兩個角的大小相同，但因為圖9中角的邊線短，圖10中角的邊線長，所以圖10中角末端的張口明顯地要比圖9中角末端的張口大。于是，學生會誤判圖10中的角更大。

根據“變異理論”，不能孤立地理解任何事物，而應憑借事物在相互聯系中存在相似性和差異性認識事物的特征。因此，“知識遷移”是差異性和共同性作用的結果。在圖7、圖8和圖9、圖10中，突出了兩個角之間的相同與不同，排除了角的非本質屬性（邊的長短與角的大小無關），強化了角的本質屬性（“角”的大小是由頂點處“張口”的大小決定）。

三、課后反思，“變異理論”促我進步

當前課堂教學中知識教學被“虛化”的現象是新課程改革的一大問題。知識的“虛化”直接表現為概念教學被淡化，即將科學、嚴謹的概念“矮化”為生活中的直接經驗，嚴重降低了教學的質量。根據“變異理論”，學習概念即審辨概念的相關屬性。只有學生體驗了屬性之間變與不變的特定類型，才能更好地審辨概念的相關屬性，最終掌握概念。可見，“變異理論”為我們理解“正例”和“反例”在概念學習中的作用提供了獨特視角，使我們不僅知道什么樣的“正例”和“反例”有利于學生的概念學習，更知道為什么這樣的“正例”和“反例”有利于學生的概念學習。

實踐證明，“變異理論”在“角的初步認識”這一內容的教學過程中獲得了卓有成效的運用，最終實現了從“定義教學”到“概念教學”的過渡。“變異理論”闡發的教學原理與教師在實際教學中獲得的樸素經驗相契合。通過課題學習和實踐探索，我對“正例”“反例”及“知識遷移”在教學中的運用更加自覺且有條不紊，既有效總結教學經驗，又巧妙提升理論認識。

（作者單位：北京市海淀區臺頭小學）

（責任編輯：萬馳 梁金）