構(gòu)造曲線（直線）系方程解題舉偶

解析幾何中常出現(xiàn)如下典型問(wèn)題：①證明動(dòng)直線或動(dòng)曲線恒經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)；②求通過(guò)若干個(gè)點(diǎn)的曲線方程；③證明一點(diǎn)或若干個(gè)點(diǎn)在某一條定曲線上…，等等如果我們能構(gòu)造出有用的曲線系方程，將獲得意想不到的效果那么如何構(gòu)造有用的曲線（直線）系方程呢？如何利用所構(gòu)造的曲線（直線）系方程，直擊問(wèn)題目標(biāo)，快速實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決呢？通過(guò)下面的例子作一簡(jiǎn)單介紹.

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證明直線或曲線恒過(guò)一定點(diǎn)

（1） 求橢圓的方程；

（2） 求線段MN長(zhǎng)度的最小值；

（） 以線段MN為直徑的圓C是否過(guò)定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論.圖1

評(píng)析關(guān)于（），首先由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出動(dòng)圓C的方程①然后在曲線系方程形式的引領(lǐng)下，將其化簡(jiǎn)整理，并注意到條件y1y2=-1，立刻將①變形成②，從②中提取曲線C1、C2，其交點(diǎn)即為所求.

例2（26年武漢市二月調(diào)考題第21題）如圖2，已知拋物線C：x2=2py上一異于原點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn)M和平面上兩個(gè)定點(diǎn)A（，-a，B（b，a（a≠，直線MA交曲線C于M1，直線MB交曲線C于M2，連接M1M2.圖2

評(píng)析關(guān)于（Ⅱ），首先由直線的“點(diǎn)斜式”寫出直線M1M2的方程①如何將①寫成“中心直線系方程”呢？由A，M，M1共線得②，由M，B，M2共線得③通過(guò)嘗試，確定用“x2x”表示“x1+x2”、“x1x2”再據(jù)“中心直線系方程”的形式，即可將①化歸成中心直線系方程⑤，由此提取直線C1、C2，其交點(diǎn)即是動(dòng)直線恒過(guò)的定點(diǎn)

2求通過(guò)若干個(gè)點(diǎn)的曲線方程

例求經(jīng)過(guò)P1（1，-1、P2（2，、P（2，-、P4（，7、P（-2，-9五點(diǎn)的圓錐曲線方程.

分析若設(shè)所求曲線方程為Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+=，將點(diǎn)的坐標(biāo)一一代入，可得關(guān)于字母系數(shù)的五個(gè)方程，運(yùn)算量大是可想而知的可否由五個(gè)點(diǎn)中的部分點(diǎn)構(gòu)造一曲線系方程（即待定的曲線方程），再由余下的點(diǎn)，確定其參數(shù)，從而求得滿足要求的曲線方程呢？評(píng)析這里通過(guò)選取五點(diǎn)中的四點(diǎn)來(lái)確定四條直線，用這四條直線來(lái)構(gòu)造出過(guò)這四點(diǎn)的曲線系方程，減少了變量，獲得了簡(jiǎn)解這種作法具有普遍意義.

證明點(diǎn)在某一條定曲線（直線）上

例4平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知⊙M經(jīng)過(guò)點(diǎn)1（，-c，2（，c，A（c，三點(diǎn)，其中c>.

（Ⅰ）求⊙M的標(biāo)準(zhǔn)方程（用含c的式子表示）；

（Ⅱ）已知橢圓x2b2+y2a2=1（a>b>（其中a2-b2=c2的左、右頂點(diǎn)分別為

D、B，⊙M與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、C，且A點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)，C點(diǎn)在D點(diǎn)右側(cè).

（1）求橢圓離心率的取值范圍；

（2）A、B、M、O、C、D（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）依次均勻分布在x軸上，問(wèn)直線M1與直線D2的交點(diǎn)是否在一條定直線上？若是，請(qǐng)求出這條定直線的方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

評(píng)析關(guān)于（Ⅱ）（2），一般作法是：求出直線M1與D2交點(diǎn)N的坐標(biāo)，由此得到點(diǎn)N的軌跡參數(shù)方程，消參得點(diǎn)N的直線方程這里另劈途徑：構(gòu)造過(guò)M1與D2交點(diǎn)的直線系方程①（其中λ與c為參數(shù)），并將其變?yōu)棰谟散谑揭字?dāng)λ=1時(shí)，②式為定直線.

例（211年全國(guó)高考理科試題（Ⅱ））已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓C：x2+y22=1

在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過(guò)且斜率為-2的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足OA+

OB+OP=.

（1）證明：點(diǎn)P在C上；

（2）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q，證明：A，P，B，Q四點(diǎn)在同一圓上.

分析關(guān)于（2），證法較多，這里通過(guò)構(gòu)造曲線系方程來(lái)求解.

于是P（-22，-1，易驗(yàn)證P（-22，-1滿足橢圓方程故點(diǎn)P在橢圓C上.

（2） 由點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q，故點(diǎn)Q（22，1，所以直線PQ的方程為y=2x

又直線AB的方程為y=-2x+1，故設(shè)經(jīng)過(guò)A，P，B，Q四點(diǎn)的曲線系方程為

上A，P，B，Q在①上，即在②上接下來(lái)就只需證明：“存在實(shí)數(shù)λ，使得②為圓的方程”這只需利用一般二次曲線方程表示圓的充要條件，即可確定出λ的值這作法思路清晰，步驟鮮明，計(jì)算量小.

4 其它

例6設(shè)雙曲線x2a2-y2b2=1（a>，b>的右頂點(diǎn)為A，P為雙曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不是頂點(diǎn)），從點(diǎn)A引雙曲線的兩條漸近線的平行線，與直線OP分別交于Q，R兩點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OP|2與|OQ|·|OR|的大小關(guān)系是 .圖

分析設(shè)P（x，y，Q（x1，y1，R（x2，y2因O，P，Q，R共線，故考察|OP|2與|OQ|·|OR|的大小關(guān)系，只需考察x2與x1x2的大小關(guān)系由x1x2，想到運(yùn)用韋達(dá)定理這就啟發(fā)我們構(gòu)造過(guò)點(diǎn)Q，R的二次曲線系方程，此曲線方程與直線OP聯(lián)立，消去y即得關(guān)于x的一元二次方程.

評(píng)析這里通過(guò)構(gòu)造曲線系方程，減少了運(yùn)算量，使問(wèn)題快速得解.

作者簡(jiǎn)介侯作奎，男，196年月生，湖北省中學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師發(fā)表論文二十余篇，現(xiàn)任教于武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校