淺探算術—幾何均值不等式在不等式證明中的應用

摘 要：均值不等式是數學中幾個經典不等式之一，在生產和生活中具有重要作用，是證明不等式及求解各類最值問題的一個重要依據和方法。其中算術-幾何均值不等式應用最為廣泛，具有變通靈活性和條件約束性等特點，在不等式證明方面具有不可忽視的作用。本文分別從內容的突破和形式的構造兩個方面，探索算術-幾何均值不等式在不等式證明中的應用。

關鍵詞：不等式 算術-幾何均值不等式 應用

中圖分類號：0178 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2013）05（a）-0165-02

均值不等式是數學中的一個重點內容，由文獻[1]知，它是由調和平均數、幾何平均數、算術平均數 和平方平均數所聯合滿足的不等式≤≤≤。“算術-幾何平均值不等式”（≤）的應用廣泛性已經得到了人們的重視（見[2，3，4]）。研究工作主要集中在函數最值問題，不等式成立問題，但對它在不等式證明中應用的延伸還需進一步深入研究。本文分別從內容的突破和形式的構造兩個方面，探索算術-幾何均值不等式在不等式證明中的應用。

1 基本算術-幾uXcaKeEFLSOwNti6+QAT2pbzwBkaPIXhKi6uQ+vjrd8=何均值不等式

如果、，那么≥（當且僅當時，“=”成立），這個不等式稱為基本“算術-幾何”均值不等式，也叫均值定理。深刻理解和掌握此不等式的內容及形式，便能快速找到問題的突破口，從而解決問題。

4 算術-幾何均值不等式在積分不等式證明中的應用

命題[5]：若函數在上是正值可積的，且，則≤，應用“算術-幾何”均值不等式可推出該命題成立。過程如下：先構造不等式≤，再兩邊同時積分≤，化簡不等式≤1，去分母可得≤

利用算術-幾何均值不等式來證明不等式時需要構造不等式的內容及形式，同時需要注意均值不等式的條件“一正二定三相等”，從上面的例子可以看出算術-幾何均值不等式在不等式證明中的實用性和重要性。

參考文獻

[1]王學功.著名不等式[M].北京：中國物資出版社，1993：12-15.

[2]吳善和，石煥南.平均值不等式的推廣及應用[J].貴州教育學院學報，2003，14（2）：14-16.

[3]劉俊先.平均值不等式在數學分析中的應用[J].廊坊師范學院學報：自然科學版，2009，9（1）：14-15.

[4]冉凱.平均值不等式在數學分析中的應用[J].青海師專學報：自然科學版，1997，1（4）：35-38.

[5]紀樂剛.數學分析[M].上海：華東師范大學出版社，1993：10-14.