行星齒輪非線性振動的模型建立

【摘要】本文從一對齒輪的齒輪副系統(tǒng)齒側間隙非線性動力學問題展開研究，重點探討了考慮行星齒輪齒側間隙的非線性動力學的模型建立思路及方式。

【關鍵詞】行星齒輪；非線性振動；齒側間隙

Abstract：In this paper，it is beginning researched from the composed of a pair of gears backlash issues of nonlinear dynamics.It mainly focused on the modeling of the nonlinear dynamic behavior of planetary gear system followed this way.

key words：Planetary gear train；Nonlinearity vibration；backlash

1.引言

齒輪傳動作為精密傳動的重要組成部分，越來越多的用于高速、高精度的控制系統(tǒng)和精密機器當中。然而，在齒輪的制造、加工、安裝等環(huán)節(jié)中，不可避免的會出現(xiàn)各種誤差以及在后期齒輪傳動的過程中出現(xiàn)的磨損，使得齒輪嚙合出現(xiàn)齒側間隙。這就使得國內(nèi)外的研究人員不得不開始關注齒輪間隙的非線性問題，本文從一對齒輪的非線性問題出發(fā)，采用類似辦法進一步分析了單自由度行星齒輪非線性動力學模型的動態(tài)系統(tǒng)特性，研究了齒輪副中的剛度、阻尼、載荷諸參數(shù)對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。

2.齒輪系統(tǒng)的非線性振動分析

在齒輪動力學的研究當中，一般情況下根據(jù)研究目的的不同，可以分為動載系數(shù)模型；齒輪副扭轉振動模型；傳動系統(tǒng)模型；齒輪系統(tǒng)模型這四種研究模型。在齒輪系統(tǒng)模型的分析中，包含了若干非線性因素，比如傳動誤差、齒側間隙和齒輪傳動的其它間隙等。在這些因素當中，尤其以齒輪嚙合剛度的時變性引起的振動現(xiàn)象以及齒側間隙引起的非線性振動問題最為重要。而這兩個因素當中，齒側間隙為強非線性，是典型的非線性動力學問題。

齒輪傳動系統(tǒng)是彈性機械系統(tǒng)，是在動態(tài)激勵下產(chǎn)生動態(tài)響應的。而輪齒嚙合是隨時間周期性變化的，那么齒側間隙的非線性就是一種不連續(xù)、不可微的函數(shù)，代表了較強的非線性。在工程實際的求解中，這種強的非線性往往是不可解的，一般采用近似解來解決。所以，輪齒彈性變形和嚙合剛度周期變化的研究是齒輪系統(tǒng)非線性分析的基礎。

3.一對嚙合齒輪的非線性振動模型

針對一對正確嚙合的定軸齒輪傳動，不僅能夠應用于一般定軸齒輪傳動，而且對行星齒輪傳動的分析和模型建立也具有一定的指導意義。國內(nèi)外的現(xiàn)有相關文獻中指出：關于直齒齒輪齒側間隙非線性振動的研究是在假設剛性支撐和忽略輸入輸出慣量的基礎上進行的，在這種假設的基礎上，就可以將其簡化為單自由度振動模型。但是，較為完整的模型應該包含時變嚙合剛度、傳動誤差，再就是上文提到的齒輪齒側間隙的非線性因素。

在模型的建立過程當中，應假設采用質(zhì)量集中的方法建立齒輪系統(tǒng)模型，這樣建立可以重點考慮齒側間隙的非線性，而且也可以兼顧時變嚙合剛度的周期性激勵作用。另外，根據(jù)國內(nèi)外關于齒輪齒側的定義中指出：“裝配好的齒輪副，當一個齒輪固定時，另一個齒輪的圓周晃動量，應以分度圓的弧長來計算；在齒輪動力學模型中，由于是基于嚙合線上的運動來分析的，因此這里的齒側間隙是指嚙合線上度量的側隙。根據(jù)以上假設，我們分析得到，一對嚙合齒輪的齒側間隙函數(shù)應具有以下特點：①由于齒輪嚙合是沿嚙合線進行的，嚙合力和嚙合位移都發(fā)生在嚙合線上，因此，應選取嚙合線位移作為廣義坐標；②嚙合剛度是時間的參數(shù)，方程應該是變參數(shù)微分方程；③齒側間隙是強非線性的，因此它所帶來的彈性恢復力也應該是強非線性的；④齒側間隙函數(shù)應該是單自由度的動力學模型方程，是關于側隙位移量的分段函數(shù)。

4.行星齒輪的非線性振動模型

行星齒輪系統(tǒng)具有結構緊湊、體積小、傳動比大等優(yōu)點，是一種目前市面上應用較為廣泛的齒輪傳動形式，尤其在高速、高精度的控制系統(tǒng)和機器當中。在這些工況下，行星齒輪往往是在輕載的高速運行下，同時，還常常處于頻繁啟動、制動的工作條件下，所以，齒側間隙的非線性振動對系統(tǒng)的影響顯著提高。

本文以最基本的2K-H行星齒輪系統(tǒng)為例進行分析，并建立其非線性動力學模型。在模型中主要考慮齒輪副間隙的非線性影響，得到一個多間隙、變參數(shù)、彎扭耦合的多自由度非線性方程組。行星輪系即存在行星輪的轉動角速度，又存在中心太陽輪的位移，為統(tǒng)一建模，可將構建的角速度轉化成相應嚙合線上的等價位移量。然后利用一對嚙合齒輪的建模思路，將其轉化為具有7個回轉自由度的模型；再加之，由于行星輪不可避免的加工以及裝配誤差，各行星輪所受到的實際載荷又是不完全相等的，在不均勻的力的作用下，最終使得太陽輪不會靜止在幾何中心，必會有平面的位移產(chǎn)生，即就是2個平移自由度的動力學模型。最終可以得到一個關于系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼、剛度以及齒側間隙的非線性函數(shù)的方程通式。

基于以上分析不難發(fā)現(xiàn)，建立的方程式9個自由度的變參數(shù)、強非線性的方程組，這種方程很難直接求解。首先，方程的建立是選取了9個不同的廣義坐標；其次，齒側間隙的非線性函數(shù)是關于行星輪自身坐標以及齒側等價位移量的多元函數(shù)；最后，該方程存在著彈性的弱非線性恢復力以及線性恢復力，參量無法統(tǒng)一，難以實現(xiàn)求解分析。

5.結論

本文從齒輪動力學的現(xiàn)狀入手，指出了齒側間隙研究的必要性。從一對嚙合齒輪的齒側間隙進行分析建模，進一步推廣到行星齒輪齒側間隙的非線性動力學的分析建模工作，得到了行星齒輪的非線性函數(shù)的方程通式。但是，方程的求解問題難以解決，有待后續(xù)進一步研究解決。

參考文獻

[1]楊宏斌等.齒輪非線性振動研究綜述[J].中國機械工程，1999，10（7）.

[2]李潤方，王建軍.齒輪系統(tǒng)動力學——振動、沖擊、噪聲[M]北京：科學出版社，1997.

[3]陳予恕，季進臣.非線性振動系統(tǒng)動力學行為的實驗研究[J].力學進展，1996，26（4）.

[4]因遠，周紀卿.非線性振動和運動穩(wěn)定性[M].西安：西安交通大學出版社，1992.

[5]黃鎮(zhèn)東，何大衛(wèi).機械動力學[M].西安：西北工業(yè)大學出版社，1989.

作者簡介：孔琳（1982—），女，2007年碩士研究生畢業(yè)于景德鎮(zhèn)陶瓷學院，2012年西安理工大學博士研究生在讀，西安航空職業(yè)技術學院航空制造工程系計算機輔助設計與制造教研室助教。