關于導數在高中數學中的應用探討

數學中的應用探討

◆渠海燕

（山西省呂梁離石區江陰高級中學）

【摘要】導數進入中學數學教材，給傳統的中學數學內容注入了新的生機與活力，怎樣利用導數這一工具重新認識原中學課程中的有關問題并為其研究提供新的途徑和方法，是當今中學數學教學中的新課題之一。縱觀目前各類刊物，對導數的研究多停留在函數、解析幾何等內容上，而對其他方面關注甚少。數列與不等式是高中非常重要的知識點，本文重點介紹導數在數列與不等式的應用，以開闊學生視野，拓寬解決這類問題的方法，并能起到拋磚引玉之作用。

【關鍵詞】導數；不等式；數列

1 利用導數得出函數單調性來證明不等式

我們知道函數在某個區間上的到數值大于（或者小于）0時，則說明該函數在該區間上的單調遞增（或遞減）。因而在證明不等式的時候，可以根據不等式的特點，有時可以通過構造函數，用導數來證明該函數的單調性，然后再用函數的單調性達到證明不等式的目的，這就能夠把證明不等值轉化為證明函數的單調性。具體存在以下幾種形式：

（1）直接構造函數，然后用導數來證明該函數的增減性；再利用函數在它的同一單調遞增（減）區間，自變量越大，函數值越大（小），以此來證明不等式。

例1 當時，求證：

證明 設（），則。

，故f（x）在上遞減，

所以，當時，，即成立。

（2）把不等式變形后再構造函數，然后利用導數證明該函數的單調性，達到證明不等式的目的。

例2 已知，求證：

證明 要證明，只需證明，即證明。

設，則，因而f（x）在上遞增。

，故，即，

所以，成立。

2 利用導數求出函數的最值（或值域）后，然后證明不等式

導數的另挖一個作用就是求函數的最值。因此，在證明不等式時，應該根據不等式的特點，有時可以構造函數，利用導數求出該函數的最值，由當函數去最大（或者最小）值時不等式都成立，得到該不等式恒成立，從而可以把證明不等式的問題從而轉化成為函數球最值的問題。

例3 已知，當時，求證：。

證明：，當時，，

在[-1，1]上遞減，故在[-1，1]上的最大值為；函數最小值為，即f（x）在[-1，1]的值域為

所以，當時，。

即有。

3 利用導數解決不等式恒成立問題

不等式恒成立問題，一般都會涉及到求參數的范圍問題，往往可以把變量經過分析以后轉化為m>f（x）（或者m>f（x））恒成立，于是m大于f（x）的最大值（或者m小于f（x）的最大值），從而把不等式恒成立問題轉化為函數求最值的問題。因此，利用導數求函數最值問題往往是解決不等式恒成立問題的一種重要方法。

例4 已知函數，對f（x）定義域內任意的x的值，恒成立，求a的取值范圍。

解 函數f（x）的定義域，由對一切恒成立，

知道，對于一切恒成立。

設，則，由，求解得到。

所以函數h（x）在上遞增，在上遞減。

故h（x）的最大值為，所以，。

4 利用導數求解不等式

例5 函數，解不等式

解 由題意知，

，時，恒成立，故f（x）在R上單調遞減。

又f（0）=1，所以時，，即時的解為。

當時，若

則或。

時，解得，

時，解得。

故函數f（x）在上單調遞減，函數在或上單調遞增。

又時，解得x=0或，且0

所以，當時，不等式的解為；

由上式可以得到，當a≥1時，不等式的解為。當時，不等式的解為。

總之，無論是證明不等式，還是解不等式，只要在解題過程中需要用到函數的單調性或者最值的地方，我們都應該利用導數工具進行求解，這種解題方法也是轉化與劃歸思想在中學數學中的重要體現。

5 利用導數求和、解決數列中相關問題

例6 求和

分析：當x=1時，Sn為等差數列的和；當時，Sn可以看作的導數，而Tn是等比數列，可得，最后再對Tn求導可以得到Sn。

解：當x=1時，

當時，由，得到

即

導數是解決函數問題的有力工具，更為數學解題能夠注入新活力。由于數列可以看作為特殊的函數，所以，應該可以聯想、嘗試、應用導數相關知識來解決數列問題。

參考文獻：

[1] 曹群嶺.以導數的“引導”教學視角——淺談高中數學如伺“導”出實效[J].數學大世界：教師適用，2012，（12）.

[2] 吳龍福.例析導數在高中數學題目解答中的典型性應用[J].數學大世界：教師適用，2012，（11）.