數學符號發展簡史

【摘要】數學符號是在數學的發展過程中逐漸提出的，并隨著數學的發展而得到完善的。數學研究中每提出一個新概念，一個新理論，一種新方法，必定會增加一些新的術語和新的符號。因此，數學符號系統是一個不斷擴充、優化的開放系統。

【關鍵詞】數學符號；發展簡史；符號系統

數學中常見的符號有200余種，而中學數學中常見的符號也有100多個。這些符號的都是在數學的發展過程中逐漸提出的，并隨著數學的發展而得到完善。數學符號的形成是一個長期的和復雜的歷史過程。

一、建立自然數符號體系，特別是引入位值制計數法及零的特殊記號

數學中最先產生的概念是自然數概念，最早出現的數學符號則是數字符號。但是表示數目的符號的發展是相當緩慢的。現在國際上通用的阿拉伯數字實際上是印度人發明的，它本身的演變也有一段漫長復雜的歷史。印度人最早用梵文的字頭表示數碼，各個地方的寫法也不完全相同。經過幾百年的演變，在8世紀時傳入阿拉伯。當時印刷術還未發明，書籍全部是用手抄寫的，出入很大。12世紀時開始傳入歐洲。歐洲人只知道這些數碼是從那些阿拉伯國家傳來的，所以就稱之為阿拉伯數碼。14世紀，中國的印刷術傳到歐洲。1480年英國有些印刷本書籍中的數字已十分接近現代的寫法了。到1522年，英國聞斯托書中所用數碼已經和今天的基本一致。眾所周知，自然數的概念的完善依賴于算數的計算。在古代文明國家中很早就產生了算術運算及其相應的符號，如表意文字或縮寫文字，或用不同符號把兩數并列表示加號、乘號，又用特殊記號表示減號。而我國古代長期用算籌計算，沒有采用任何表示運算的符號，更沒有圖形符號，必要時直接用文字敘述。位值制記數法是干百年人類智慧的結晶，它可以同字母的發明媲美，兩者都是用少數簡單的記號來代替復雜難記的符號。古埃及人很早就使用了10進制記數法，但是每一個較高的單位都是用不同的符號來表示的。馬雅人懂得位值制用的是20進制，巴比倫人用的是60進制。中國人為最早知道位值制而又是十進制的。而沒有表示零的的位值制是不完備的，所以位值制的關鍵是零的表示。在很早的時候曾用空位的方法表示零，但代之以用圓圈表示的零號“〇”卻遲遲難以產生。到今天為止所發現的第一批載有零號的文字，是同時出現在公元683年柬埔寨和蘇門答臘的一些碑文上。至于用“〇”表示零，因為東南亞各國文化曾受到中、印兩國的影響，因此一些科學史家傾向于認為它是公元4世紀左右產生于中、印兩國的邊境一帶。后來符號“〇”則演變為扁圓的“0”。世界上有不少民族懂得零的道理，然而對零進行系統地研究、處理和介紹，還是印度人最為突出。

二、建立代數的符號體系

代數符號是經過悠久的歲月不斷改良、選擇和淘汰的結果。內塞爾曼于1842年指出代數符號體系演變的三個階段——文字代數、簡寫代數與符號代數。在最初的文字代數階段使用的基本是自然語言，不用任何符號，而是用地道的散文形式寫成。3600年以前的古埃及的紙草書上，用象形文字表示一次方程，一直到公元300年整個代數都還是文字代數。到了后希臘時期，代數學才獲得重大的發展，代表人物是丟番圖（公元246—330年），被譽為代數學的鼻祖。他的重要貢獻之一就是對希臘代數引進了簡寫記法，他用簡寫文字表示三次多項式，用字母來表示未知元和一些運算，這是近世符號代數的嚆矢。公元9世紀，阿拉伯人阿爾·花拉子模的《代數學》中，一切算法都用文字語言來表達。15世紀以前，尤其是西歐基本上都是文字代數，直到后來，才開始有一些零星的簡寫記法。符號代數是15世紀才開始在西歐出現的。在此之前，丟番圖所采用的簡寫代數并沒有受到重視，直到文藝復興時期，由于近代印刷業的興起，標準符號的引進才成為必要和可能，但發展緩慢。直到17世紀中葉常用的符號體系才大致完備了。法國數學家韋達（1540一1603年），他是第一個比較有意識地、系統地在代數中引入符號體系。他的代表作《分析方法入門》一書對符號代數的發展做出了不少貢獻，被認為是一部最早的符號代數著作。其中，他用輔音字母表示已知元，用元音字母表示未知元。對多項式的系數加以修飾，用字母表示一般的系數，還使用了現在的“+”號和“-”號。法國數學家笛卡爾（1596～1650年）在其統一科學的思想的啟發下，通過引進運動著的點的坐標概念，建立了直角坐標系，從而將平面上運動著的點的狀態描述和代數學中的二元方程聯系了起來，由此建立了解析幾何，解析幾何的創立不僅將代數和幾何統一了起來，擴大了幾何學研究的領域，而且由于以代數為方法，幾何學也進一步符號化了。現代的代數符號系統主要是采取笛卡爾的符號。數學符號的隨之發展是跟無窮小解析的創立密切的相聯系的，解析記號的形成在很大程度上為代數學打下了基礎。

三、與微積分學的產生相聯系的符號的發展

微積分學經過了長時間的醞釀，終于在17世紀末，經牛頓、萊布尼茲而完成。微積分的計算方法在牛頓、萊布尼茨之前就已經在各國的著作初見端倪中，其中積分的思想，早在希臘時代已經萌芽。牛頓、萊布尼茲各自引進了一些導數、微分、積分等有關符號，但牛頓引進的符號，基本上早巳淘汰。而萊布尼茲受到韋達符號體系的啟發，認識了到建立符號體系的重大意義，開始了微積分符號化的進程，而且建立的符號一直使用到現在，基本沒有變化。萊布尼茲是第一個清楚地理解了數學符號的巨大意義，并且力圖找到最方便的表達數學概念的記號。他還對自然科學發展兩千多年來曾經出現過的各種符號進行了專門的、系統的研究，他自己創設過許多符號，并聽取他人的意見，從中作出選擇，今天數學中所使用的許多符號，或是他創立的，或是在他的倡導下得到通用的。萊布尼茲認為，好的符號可以節省思維過程，使思路和書寫更加緊湊、美觀和有效。

四、集合論與數理邏輯符號在數學中的發展和滲透

在19世紀，數學符號的作用更加擴大起來，而在創造出新的數學符號的同時，數學家更力求基本符號的標準化，而數學符號化的擴大結果產生了一門新的學科——數理邏輯，也稱為符號邏輯，是研究推理，特別是研究數學中的推理的一門科學。在數理邏輯上取得實質性進展的是英國數學家布爾（1815～1864年），他確信符號化會使邏輯變的嚴密，他的演算遵守某些規律，構成了一個代數系統，布爾是第一個真正使邏輯代數化的數學家。

與布爾同時及之后的許多人，像德·摩根、弗雷格、皮亞諾、懷特海、羅素、哥德爾等人，都為數理邏輯的發展做出了重大的貢獻，他們的工作不僅使數理邏輯發展成為一門成熟的學科，并且伴隨著數學符號化的擴充，數學符號系統更加完備，從而上升為科學語言的最高形式——形式語言。

數學符號的建設并沒有止步不前，今天仍有許多人致力于對它的研究并試圖使之更完備，如布爾巴基學派的年輕人們做了大量的工作以統一數學符號語言，此外，任何一個數學符號從提出到使用，直到被大眾接受而推廣開來，都需要一個選擇過程，最終，好的符號保留下來，不好的符號被淘汰，這種選擇是自然的，非個別人的意志所能強制的。

數學符號的創造是在人們對數學認識的發展過程中不斷進行的。數學研究中的每提出一個新概念，一個新理論，一種新方法，必定會增加一些新的術語和新的符號。因此，數學符號系統是一個不斷擴充、優化的開放系統。

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