“幾何概型”概念教學的對比分析

概念基本教學的方式主要有兩種，一種是概念的同化，即學習者利用原有認知結構中的觀念來理解接納新概念；另一種是概念的形成，即從大量的具體例子出發，歸納概括出一類事物的共同本質屬性.對于認知水平較高的學生，可以用概念的同化方式來獲得概念，對于認知水平稍低的學生，用概念的形成可能更加合適.而這兩種概念教學的方式最終目標都是掌握同類事物的關鍵屬性，使學生在頭腦里建構起良好的概念認知圖式[1].本文將以“幾何概型”為例，對這兩種概念教學方式進行分析和對比，探求“幾何概型”教學的本質所在.

1 “幾何概型”概念教學設計及分析

“幾何概型”是課標課程的新增內容，是用于計算等可能事件概率的一種概型，是高中概率模型的重要組成部分，其概念的學習在教學中占據重要地位.

生：射中圓盤上的任意一點.

師：是否等可能？有幾個？

生：等可能，有無限多個.

師：射中圓盤陰影區域的事件有多少個？

生：也是無數多個.

師：都是無數多個，怎么辦？

教師呈現圖3，并作如下小結：在這個問題中，我們把向圓盤投擲飛鏢的問題轉化為在平面區域內取點的問題，取到每個點的機會都是一樣的，事件A發生可視為恰好取到陰影區域中的點，這樣我們就可以用陰影區域的面積比上總面積得到結果.事件A發生的概率只與陰影區域的面積有關，面積越大，概率越大，與陰影區域的位置和形狀無關.

接著，教師提出問題2：取一根長度為3m的繩子，拉直后（如圖4）在任意位置剪斷，記“剪得的兩段的長都不小于1m”為事件A，那么事件A發生的概率是多少？

同樣提問：基本事件是什么？是否等可能？有多少個？如何解決這一問題？

生：用長度比.

教師繼續提出問題3：在一個邊長為20cm盛滿水的正方體容器中，一只小蟲在容器中游動，記“它所在的位置距離正方體中心不超過10cm”為事件A，那么事件A發生的概率是多少？

同樣提問后，讓學生自己嘗試求其概率.

最后，教師總結得出幾何概型的定義，如下：

設D是一個可度量的區域（例如線段、平面圖形、立體圖形等），每個基本事件可以視為從區域D內隨機地取一點，區域D內每一點被取到的機會都是一樣，隨機事件A的發生可以視為恰好取到區域D內地某個指定區域d中的點.這時，事件A發生的概率與d的測度（長度、面積、體積等）成正比，與d的形狀與位置無關.我們把滿足這種條件的概率模型稱為幾何概型.

教師乙講解三道例題及其對應練習或變式.其中，例2的一題多解強調研究對象的不同導致基本事件不同，選擇的幾何對象亦不同.例3則突出幾何概型中所選研究對象必須滿足“等可能發生”這一基本要求.

1.2 對比分析

兩位教師都是從學生已有的認知經驗出發，結合學生的實際生活經驗，從學生熟悉的生活事物中找數學的應用，并先復習之前學習過的古典概型，再開始講授新課，讓學生建立起有意義學習的基礎，與新課程中“強調的以學生的發展為主，貼近學生的實際”理念相符.

1.2.1 概念引入的對比分析

可以看出，教師甲的教學設計運用概念形成的方式，側重概念的形成過程.從多個不同的例子出發，讓學生在頭腦中形成對幾何概型的初步感知，最終歸納得出幾何概型的準確定義.

教師乙僅用兩個與幾何概型相關的問題作為引入，過程中沒有過多強調對引例與古典概型的本質區別.筆者認為這種教學方式屬于概念同化，教師先給出幾何概型的定義后，在后續的例題辨析這一概念的本質屬性，逐步深化學生對這一概念的理解.

兩種概念的引入方式并無優劣之分.對于這兩堂課所教的學生來說，由于學生的認知水平較高，因此，兩種方式都適用，學生也能較好掌握.但對于層次稍低的學生而言，教師甲的引入方式應該更容易讓學生接受，更有利于學生有效內化所學知識.

1.2.2 概念定義方式的對比分析

筆者發現兩位教師給出的幾何概型的定義有所不同，教師甲是用高等數學中的“測度”來定義幾何概型，而教師乙則是按照人教版教科書中的定義.由于授課班級學生水平較好，因此教師甲的定義方式學生能充分理解，而且用測度的定義更加準確.

例如，兩位教師都出現了教師乙中例3的題目，該題與教材定義中所講的“長度、面積、體積”無關，而與角度有關，但此題的確屬于幾何概型，如果根據課本中的定義，那么學生的思維就被局限，若采用“測度”來定義幾何概型，學生可以更好理解本質內涵，而不是僅僅知道可用長度、面積、體積來表示.

1.2.3 概率計算公式合理性驗證的對比分析

在給出幾何概型的概率計算公式后，教師甲利用了Excel軟件對該公式所求得的概率的準確性進行了多次試驗，并得到驗證；教師乙則沒有采取驗證準確性這一做法.

由于概率是由無數多次試驗所得結果的頻率估計得到的，而現實中卻不存在“無數次試驗”的情況，因此，學生對該概率計算公式的合理性抱有一定的懷疑態度.學生心中若對這個公式的合理性產生疑慮，那必然導致學生不能真正接受這一知識，無法完成對知識的建構.就算學生接受了這一知識，也只是機械地習得這一概念，并不能充分了解其內涵.

因此，筆者認為，在概率的教學中，向學生說明概率計算公式的合理性十分必要.考慮到課堂時間有限，不可能像數學家們一樣做無數次試驗，因此，教師可以結合計算機，用產生隨機數的方法來驗證這一結論的合理性.讓學生知其然亦知其所以然，真正地接納知識，建構屬于自己的知識網絡.

2 幾點啟示

2.1 根據學情，選用合適的概念教學方式

概念課的教學一般有概念的同化和概念的形成兩種教學方式，采用何種教學方式與學生的實際情況密切相關.教師在進行概念課的教學時，應從學生的認知水平和已有的經驗出發，根據不同的學生采用不同的引入方式，力求符合該年齡認知發展階段或者某個認知水平下要求.最終目的是為了盡量讓每個學生通過教師的引導能夠掌握同類事物的關鍵屬性，在頭腦里建構起良好的概念認知圖式，最終形成良好的概念體系.

是否

2.2 打開心理缺口，激發學習動機

根據試誤學習理論中的“準備律”，在新知引入當中，創設情境，引出讓學生在原有認知的基礎上沒有辦法解決的問題.能夠讓學生在動機上做好準備，對所學內容產生興趣，使學生在學習前處于對知識的“饑餓狀態”，產生一個心理“缺口”，從而激發學生產生彌合心理缺口的學習動力[3].

另外，這樣的做法也能讓學生明白為什么要學習該知識，引出學習該知識的必要性.本文中兩位教師均從學生現階段無法解決的問題出發，引出本節的所學內容，打開學生心理缺口，讓學生的知識結構失衡，再在新知的學習中重新獲得平衡，以此便形成了學生頭腦中新的知識結構.

2.3 將工具性理性提升至關系性理解

新概念教授時，除了剖析清楚概念本身所代表的含義之外，還需要理解獲取概念中符號代表意義的途徑，以及概念本身有效性的邏輯依據等.前者屬于工具性理解，后者屬于關系性理解，教學時應從多個方面引導學生對概念的理解從工具性理解提升至關系性理解[2].

如本課中，利用計算機技術驗證幾何概型概率計算方法的合理性，揭示該概念與知識的聯系，使學生了解新概念形成獲得的過程.這就有助于學生形成對概念的關系性理解.形成關系性理解，有助于學生建立起高質量的認知結構，提升解決綜合性問題的能力.因此，關鍵還是形成學生對知識的關系性理解，這才是數學理解所追求的.