“幾何直觀”的內(nèi)涵及教育教學(xué)價(jià)值

對(duì)于“幾何直觀”的含義及其意義，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（下文簡(jiǎn)稱《數(shù)學(xué)課標(biāo)》）是這樣論述的：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用。”從嚴(yán)格意義上講，雖然這只是對(duì)幾何直觀內(nèi)涵的一種描述性解釋，但是卻給了我們進(jìn)行教學(xué)思考的基本依據(jù)。

幾何直觀基于“圖形與幾何”而又超越“圖形與幾何”。幾何直觀是《數(shù)學(xué)課標(biāo)》新增加的核心概念之一，其教育教學(xué)價(jià)值在于，一方面要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，另一方面也能培養(yǎng)學(xué)生的直觀思考能力。在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)過(guò)程中，對(duì)實(shí)物或圖形進(jìn)行觀察，形成表象并進(jìn)行思考和想象，都蘊(yùn)含著豐富的幾何直觀因素。很多數(shù)學(xué)概念又都具有“數(shù)”與“形”兩方面的特征，要透徹地理解它們的本質(zhì)意義，必須從“數(shù)”“形”兩個(gè)視角去認(rèn)識(shí)和把握它們。因此，學(xué)會(huì)用圖形思考和想象問(wèn)題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本能力，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域，要重視培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。

一、對(duì)圖形的理解可以寬泛些

幾何直觀的本質(zhì)是憑借圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)，對(duì)于圖形的理解可以稍為寬泛些。對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，只要有利于他們的思考和理解，就不必囿于規(guī)范的幾何圖形。比如，利用倒推策略解決問(wèn)題，順著把數(shù)量變化的過(guò)程表達(dá)清楚，倒推才有依據(jù)。此時(shí)，可指導(dǎo)學(xué)生用箭頭圖描述數(shù)量變化的過(guò)程，雖然這會(huì)擠占學(xué)生一定的解題時(shí)間，但不應(yīng)該被認(rèn)為是多此一舉的事情。此外，圖形可以是有形可視的，也可以是無(wú)形的想象。教學(xué)到了一定階段，有的學(xué)生能憑借想象，在腦子里“畫(huà)”出圖形來(lái)幫助思考。此時(shí)只要學(xué)生思考順暢，就不必要求學(xué)生必須畫(huà)出圖形來(lái)。

二、圖形更為重要的是表達(dá)關(guān)系

“4件上衣、3條褲子，一共有多少種不同的衣服搭配方法？”對(duì)于這道題，要求學(xué)生畫(huà)圖來(lái)嘗試解答時(shí)，總有一部分學(xué)生畫(huà)出上衣和褲子的實(shí)物圖來(lái)。由此可見(jiàn)，對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，幾何直觀教學(xué)的首要任務(wù)是讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何用圓（圈）或三角形等幾何圖案替代實(shí)物，畫(huà)出題目所述情境的示意圖。這個(gè)描述題意的過(guò)程，關(guān)注的是幾何圖案與具體實(shí)物之間的一一對(duì)應(yīng)，從實(shí)物圖到示意圖，學(xué)習(xí)的是用幾何圖形去表征數(shù)量的多少。這個(gè)過(guò)程雖然抽象，但是終究還是簡(jiǎn)單的。重要的是，逐步讓學(xué)生體會(huì)到幾何直觀更需要關(guān)注如何表達(dá)不同數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系，而量本身的表達(dá)反而可以粗疏些。比如，從左往右數(shù)和從右往左數(shù)，小青都是排在第5個(gè)位置。用幾何直觀表達(dá)便是（見(jiàn)圖1）：

圖1

圖2

如果把“小青都是排在第5個(gè)位置”改成“小青都是排在第15個(gè)位置”，畫(huà)圖的時(shí)候是否必須在表示小青的圓的前面畫(huà)14個(gè)三角形呢？答案是否定的，重要的是表達(dá)出量的重疊，而量的直觀表達(dá)完全可以簡(jiǎn)練些（見(jiàn)圖2）。隨著學(xué)生年級(jí)的升高，這樣的數(shù)量關(guān)系還可以用交叉的韋恩圖來(lái)表征，量本身的表達(dá)可以更為簡(jiǎn)約。

三、要看到圖形的直觀性，更要看到圖形的抽象性

數(shù)學(xué)中的抽象與直觀是相對(duì)的，一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的幾何直觀對(duì)這個(gè)對(duì)象來(lái)說(shuō)，是一種直觀，但對(duì)第一次接觸這個(gè)直觀方式的學(xué)生來(lái)說(shuō)，有可能就是一種抽象。數(shù)學(xué)問(wèn)題的表達(dá)可以有3種語(yǔ)言形態(tài)，比如：用自然語(yǔ)言表達(dá)“一把尺子6元，3把尺子18元”“一個(gè)小組4人，3個(gè)小組12人”這樣的數(shù)量間的關(guān)系，用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)就是a和3a，用幾何直觀的圖形語(yǔ)言表示便是（見(jiàn)圖3）：

圖3

這樣的圖示，同樣可以用來(lái)表示世界上所有的量與量之間具有3倍關(guān)系的兩個(gè)量。借助圖形直觀地把握數(shù)學(xué)對(duì)象，進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，首先需要把研究“對(duì)象”抽象成為“圖形”，再把“對(duì)象之間的關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“圖形之間的關(guān)系”，這樣就把研究的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“圖形的數(shù)量或位置關(guān)系”的問(wèn)題，有利于學(xué)生更好地進(jìn)行直觀的思考與分析。

四、幾何直觀是一種意識(shí)，也是一種技能與能力，更是一種思維方式

時(shí)任北京師范大學(xué)周玉仁教授在考察低年級(jí)學(xué)生解決問(wèn)題的思維水平時(shí)，出了這樣一道變式題：二年級(jí)有兩個(gè)班，這個(gè)學(xué)期（1）班轉(zhuǎn)走了5人，（2）班轉(zhuǎn)來(lái)8人，這個(gè)學(xué)期二年級(jí)人數(shù)比上學(xué)期（ ）（ ）人（只填空，不列式）。調(diào)查結(jié)果顯示，該題的正確率為43%，有一部分學(xué)生認(rèn)為，題中沒(méi)有給出上學(xué)期（1）班、（2）班原有的人數(shù)，無(wú)法解答。然而，有一個(gè)學(xué)生不僅解答正確，還結(jié)合圖形生動(dòng)地講述了他的思考過(guò)程（見(jiàn)圖4）。

圖4

這個(gè)學(xué)生想到了用圖畫(huà)出題意，并且畫(huà)出數(shù)量變化的過(guò)程。而與此形成鮮明對(duì)比的是，在實(shí)際教學(xué)中，不少學(xué)生遇到數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，寧可托著下巴冥思苦想，也不知道畫(huà)畫(huà)圖，嘗試畫(huà)一畫(huà)、算一算，在試探中尋找解題思路。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，幾何直觀首先表現(xiàn)為一種意識(shí)——面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題能想到用畫(huà)圖來(lái)幫助思考；其次表現(xiàn)為掌握一定的幾何直觀的畫(huà)圖技巧，能畫(huà)出圖來(lái)。學(xué)生借助圖形進(jìn)行思考的經(jīng)歷和體驗(yàn)，表現(xiàn)為一種能力，并通過(guò)想不想用圖、會(huì)不會(huì)畫(huà)圖來(lái)解決問(wèn)題，形成正向的動(dòng)力定型，最后逐步形成一種當(dāng)遇到抽象理性的問(wèn)題時(shí)，主動(dòng)地退到適合的直觀層面上去推動(dòng)思維展開(kāi)的思維方式。

值得注意的是，不要把幾何直觀簡(jiǎn)單地等同于能用圖形描述問(wèn)題的技能，幾何直觀更為深遠(yuǎn)的意義表現(xiàn)為能夠借助圖形去思考問(wèn)題的能力。比如：從甲地到乙地，已經(jīng)行駛了全程的75%，還剩50千米，請(qǐng)問(wèn)已經(jīng)行駛了多少千米？根據(jù)題意畫(huà)出線段圖（如圖5）：

圖5

從圖中可以知道，剩下的50千米路程相當(dāng)于全程的（1-75%），因此已經(jīng)行駛了：50÷（1-75%）×75%=150（千米）。明晰了這樣的常規(guī)解題思路還只是幾何直觀價(jià)值的一個(gè)方面，能體現(xiàn)幾何直觀深遠(yuǎn)意義的是，畫(huà)圖時(shí)得琢磨一下：表示行駛路程的線段和剩余路程線段間的長(zhǎng)短關(guān)系，這一琢磨就可以跳過(guò)常規(guī)思路的按部就班，從整體上直接把握這兩個(gè)量之間的關(guān)系，直接用“50×3=150（千米）”這個(gè)方法來(lái)解答此題。正如美國(guó)著名數(shù)學(xué)家克萊因所言，直觀是對(duì)概念、證明的直接把握。也就是說(shuō)，直觀是一種直接把握事物間關(guān)聯(lián)關(guān)系的洞察能力，而非一般的技能技巧。也正因?yàn)槿绱耍瑪?shù)學(xué)邏輯和數(shù)學(xué)直觀對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)展來(lái)說(shuō)，都非常重要。

五、幾何直觀承載的數(shù)學(xué)教育目標(biāo)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》對(duì)空間觀念的特征之一表述為：“能運(yùn)用圖形形象地描述問(wèn)題，利用直觀來(lái)進(jìn)行思考?！边@恰恰是《數(shù)學(xué)課標(biāo)》中“幾何直觀”的主要含義。幾何直觀和空間觀念，由于共同的“幾何圖形”元素，兩者之間相互依賴、相互支撐。小學(xué)階段的數(shù)形結(jié)合，主要是借助于“形”的直觀來(lái)理解抽象的“數(shù)”，這又與幾何直觀難以區(qū)分。在這樣的情況下，需要我們慎思的是，舊詞就足以表達(dá)的意思，為什么在新課標(biāo)中要凸顯幾何直觀呢？

《數(shù)學(xué)課標(biāo)》在學(xué)科培養(yǎng)目標(biāo)中明確提出讓學(xué)生“人人獲得良好的數(shù)學(xué)教育”。“良好”意味著學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)能感悟理解而非死記硬背，而理解必須要借助直觀。例如，1.50末尾的“0”不能去掉，因?yàn)?.50比1.5的精確度更高。根據(jù)四舍五入法，1.5的取值范圍是1.450～1.549，1.50的取值范圍是1.495～1.504，也可以用幾何直觀表示出來(lái)（如圖6）。借助圖形，學(xué)生對(duì)“精確度更高”的體會(huì)才更深刻。把握幾何直觀的價(jià)值，不僅僅在于“有助于探索解決問(wèn)題的思路”，更為重要的是“幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)”。對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)，有學(xué)者將幾何直觀的表現(xiàn)形式體現(xiàn)為實(shí)物直觀、簡(jiǎn)約符號(hào)直觀、圖形直觀、替代物直觀。在以往的教學(xué)中，老師們經(jīng)常使用的直觀手段都放在幾何直觀的范疇里，其意義在于凸顯數(shù)學(xué)教育要靈活地運(yùn)用各種幾何直觀形式，加強(qiáng)直觀，突出理解，以達(dá)成“良好的數(shù)學(xué)教育”。在教學(xué)中，教師不是要?jiǎng)?chuàng)造新的數(shù)學(xué)概念，而是要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，即幫助學(xué)生把抽象的數(shù)學(xué)意義轉(zhuǎn)換成易于理解和運(yùn)用的具體感受和直觀形式。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，定義不是最重要的，引導(dǎo)學(xué)生形成各種直觀的概念意象才是更重要的。從這個(gè)視角來(lái)看，幾何直觀與空間觀念和數(shù)形結(jié)合相比較，其意義和價(jià)值更為深遠(yuǎn)，從舊詞中獨(dú)立出來(lái)，也更能凸顯其內(nèi)涵。

幾何直觀雖然在解題中發(fā)揮著重要的作用，但是對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，更為重要的意義在于利用幾何直觀促進(jìn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。在《數(shù)學(xué)課標(biāo)》中，幾何直觀作為數(shù)學(xué)思考的一種方式提出，這進(jìn)一步印證了其價(jià)值在于“幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)”。因此，教學(xué)時(shí)教師要具有良好的幾何直觀的課程意識(shí)，具體表現(xiàn)為：在圖形與幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)中，讓學(xué)習(xí)者參與觀察和對(duì)圖形替代物的折、疊、截、拼、展開(kāi)等各種活動(dòng)，以及畫(huà)圖表示出自然語(yǔ)言敘述的幾何內(nèi)容的空間形式與位置關(guān)系。學(xué)生積累的幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)越豐富，他們具有的幾何直觀水平就會(huì)越高，表現(xiàn)在學(xué)習(xí)其他領(lǐng)域知識(shí)時(shí)，便越能充分地挖掘和呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)中固有的幾何直觀因素，創(chuàng)造貼切的幾何直觀來(lái)理解所學(xué)的知識(shí)。這方面我們已經(jīng)有了很多經(jīng)典的案例，比如：用移多補(bǔ)少來(lái)體會(huì)平均數(shù)的意義、用求組合矩形（同寬的矩形組成一個(gè)大矩形）的面積來(lái)感悟乘法分配律、用能不能擺成多個(gè)矩形來(lái)體會(huì)素?cái)?shù)與合數(shù)的意義、用各種幾何直觀的形式來(lái)理解計(jì)算的算理。然而，對(duì)于小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，我們需要更多的合適的幾何直觀滲透在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個(gè)環(huán)節(jié)，這樣學(xué)生對(duì)幾何直觀價(jià)值的感受才會(huì)更真切、更清晰。例如，判斷325能不能被3整除，只要看各數(shù)位上數(shù)字之和能不能被3整除，原因是325用計(jì)數(shù)單位畫(huà)出來(lái)，每個(gè)“百”都分成了99和1，每個(gè)“十”都分成了9和1，因此，一個(gè)數(shù)能不能被3整除，關(guān)鍵要看所有多余的1能不能被3整除（如圖7）。

用幾何直觀的方式來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)的內(nèi)在道理，深入淺出，在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的深度理解方面具有重要的意義。只有直觀上弄懂了，才是真正的懂，這也正如數(shù)學(xué)家張廣厚所言：“數(shù)學(xué)無(wú)疑是一門高度抽象的學(xué)科，需要人們具有高度抽象思維的能力，而這同樣需要很強(qiáng)的幾何直觀能力。抽象思維如果脫離直觀，一般是很有限度的。同樣，在抽象中如果看不出直觀，說(shuō)明還沒(méi)有把握住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。”

圖7

當(dāng)前，我們熱議幾何直觀，是因?yàn)橐酝覀儗?duì)數(shù)學(xué)的理解有失全面和辯證，總以為數(shù)學(xué)就是抽象理性、周密嚴(yán)謹(jǐn)，看不到數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展過(guò)程中的直觀形象、曲折錯(cuò)誤，進(jìn)而我們的數(shù)學(xué)教學(xué)也忽視了直觀的價(jià)值。把握了這一點(diǎn)，也便知道了對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，直觀終究是直觀，它不可能是目的，要獲得更多的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，必須在直觀的基礎(chǔ)上進(jìn)行周密的分析和思考。此外，我們也要防止因特殊位置的幾何直觀所帶來(lái)的對(duì)有關(guān)概念和結(jié)論本質(zhì)認(rèn)識(shí)的干擾和誤讀。面對(duì)圖形不能只問(wèn)：你看到了什么？更為重要的是去追問(wèn)：你思考了什么？聯(lián)想（想象）到了什么？發(fā)現(xiàn)了什么？依據(jù)是什么？與此同時(shí)，即便是要發(fā)揮直觀對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值，幾何直觀也不是萬(wàn)能的。作為教師，要善于根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的實(shí)際，靈活選擇更易于學(xué)生理解的方式。

（責(zé)編 歐孔群）