正弦變換與Bézier曲線的參數化

摘 要： 通過對Bernstein基函數實施正弦變換，給出了Bézier曲線的一類重新參數化方法。基于Bernstein基函數，導出了正弦—Bernstein-Bézier類（Sine Bernstein-Bézier Class-SBBC）函數，定義了SBBC曲線，討論了SBBC曲線和Bézier曲線的關系，提供了Bézier曲線重新參數化的一種有效方法。

關鍵詞： 正弦變換； SBBC函數； SBBC曲線； Bézier曲線； 重新參數化

中圖分類號：TP301.6 文獻標志碼：A 文章編號：1006-8228（2013）10-49-03

0 引言

曲線的重新參數化方法在幾何造型和CAGD中有重要應用。國內外學者已經給出不少重要的結論和方法。有理Bézier曲線可以通過線性變換進行重新參數化而保持參數域和控制頂點不變，變化的是參數和曲線上點的對應關系[1]。Farin和Worsey給出了有理Bézier曲線的標準形式[2]，他們建議重新參數化有理曲線以使得首末權因子為1。Farouki討論了曲線的最佳參數化方法[3]，給出了與曲線導數有關的最佳參數化標準。鄭建民研究了與重新參數化有關的有理Bézier曲線的權因子比率的最小化問題[4]。施法中等介紹了通過權因子變換實現曲線重新參數化的途徑[5-6]。

需要說明的是，這些文獻中解決曲線參數化或重新參數化的問題時主要采用有理線性參數變換f（u）=[（1+α）u]/（1+αu），u∈[0，1]，α>-1，α∈R和權因子變換，前者涉及到參數u的有理式計算和化簡，計算量較大；后者在討論參數化之前必須確定曲線的形狀不變因子，需要相關的計算支持。本文通過對Bernstein基函數實施正弦變換，得到了Bézier曲線等價形式的SBBC曲線，它可以規避現有方法的局限。

5 結束語

SBBC曲線是Bézier曲線的等價形式。可以用來解決Bézier曲線的重新參數化問題。通過調整重新參數化因子θ的值，可以得出任意參數化條件下的Bézier曲線的重新參數化形式，算法計算簡單，容易操作，具有通用性。

參考文獻：

[1] Lucian， M. Linear fractional transformations of rational BézierCurves. In： Farin， G.（Ed.）， NURBS for Curve and Surface Design. SIAM [M].ISBN 0-89871-286-6.

[2] Farin， G.， Worsey， A.J. Tessellation of curved surfaces under highly varying transformations. In： Proc. EUROGRAPHICS 91（1991）：385-397

[3] Farouki， R. Optimal parameterizations[J].Computer Aided Geo-metric Design，1997.14（2）：153-168

[4] Jianmin. Zheng. Minimizing the maximal ratio of weights of arational Bézier Curve[J].Computer Aided Geometric Design，2005.22：275-280

[5] 施法中.計算機輔助幾何設計與非均勻有理B樣條[M].高等教育出版社，2001.

[6] 韓西安，施法中.有理Bézier曲線的重新參數化方法研究[J].小型微型計算機系統，2001.1（22）.