筑形態創建中的幾何方法——經典二維不可定向流形在E3 中的浸入

黃志斌 張群力 黃 俊 蔣 輝

(浙江省建筑設計研究院，杭州 310006)

1 概述

正如皮特·賽納在他的著作【異質空間】中所評論的，“建筑正在重塑自身，參與到對拓撲幾何的研究中去，參與到機器人材料生產的交響樂中，參與到生成、動力學塑造空間中去”。幾何的定義非常廣泛，按Riemann 的觀點幾何是由度量決定的，Klein 則提出了用變換群(代數方法)對幾何分類的觀點。二種觀點在法國大幾何家E.Cartan 提出聯絡觀點以后得到了統一。拓撲學最初是幾何學的一個分支，研究拓撲形體上與連續性質有關而與度量性質無關的問題。按Klein 的觀點，拓撲學就是研究流形在連續變換下保持不變的性質的一種幾何。因而拓撲學研究的問題更為本質也更抽象。流形上的拓撲結構是本質的，但度量結構則是附加的。拓撲流形是一種柔軟、彎曲的形體或空間。建筑師在大腦中構思建筑的形態時，就自然地在運用流形的方法進行思維了，在他腦海里所呈現出的拓撲形體就是流形。他可以運用拓撲方面的經驗與知識進行抽象的思維。一旦該拓撲形體思考成熟后就采用草圖的方式勾畫在白紙上。接下來就是要將這個拓撲流形(柔軟的)嵌入或浸入到E3中來(賦予其歐氏度量)成為幾何模型(硬的)。M˙obius帶、Klein 瓶、實射影平面是連通、緊致、不可定向的二維流形。M˙obius 帶是開流形，Klein 瓶、實射影平面是閉流形。受視覺功能限制，我們無法看到嵌入在高維歐氏空間中的Klein 瓶和實射影平面。但可以看到它們在E3中的浸入子流形。這些子流形有著豐富的幾何、拓撲結構，是非常理想的造型曲面。拓撲學中的概念較為抽象，本文采用形象思維與抽象思維相結合，直覺與邏輯相結合的方式展開討論。

圖1 不同旋轉對稱的Boy's 曲面

2 流形與閉曲面拓撲分類

2.1 流形簡介

流形的概念是歐氏空間的推廣，同時也是曲線曲面的抽象。歐氏空間是一種最簡單的流形。拓撲學一般關心流形的整體(宏觀)性質，而古典微分幾何關注流形的局部(微觀)性質。由流形上的高斯-博(Gauss -Bonnet)公式可知:流形的局部幾何性質與流形的整體拓撲性質是密切相關的。用流形的方法來討論問題的好處之一就是可以從整體上討論幾何、拓撲間的關系。一般來講凡是可以參數化的幾何形體都是流形，例如NURBS 曲線、曲面，解析曲線、曲面，歐氏空間等等。

2.2 子流形的浸入與嵌入

嵌入、浸入:設M 和N 分別是m 維和n 光滑流形。若存在光滑映射F:M →N，使得:對?p ∈M，映射F 均為滿秩的，即rank(F)=m ≤n，則稱F 是M 在N 中的一個浸入，而稱M 在F下為N 的一個浸入子流形，記為(F，M)。映射F 為滿秩的條件下是單一映射，則稱F 是M 在N中的一個嵌入，(F，M)為N 的一個嵌入子流形。浸入在局部是單一的映射(這一點由滿秩決定)，但是在大范圍則不一定單一。因此，浸入子流形和嵌入子流形的區別在于像集F(M)在N 中是否有自交點。

2.3 流形的定向性

曲面(或二維流形)的定向性是曲面的整體、內在的拓撲性質。曲面(或二維流形)上的法向量從任一點出發，沿著曲面上任一閉曲線回到原處時法向量的方向若不變時稱該曲面(或二維流形)是可定向的。法向量的方向若變成相反時稱該曲面(或二維流形)為不可定向的。

2.4 拓撲粘合

在現實的物理時空中，建筑師會用一些小紙片涂上膠水粘出復雜的模型，或者用建筑模型材料搭出復雜的建筑模型。在抽象的拓撲空間里則可以用內蘊的方法對拓撲對象——流形進行類似操作。拓撲粘合(商映射)的方法是一種內蘊的方法，與外圍空間無關，對每一個粘合過程不必考慮是否能在歐氏空間中的實現問題。商映射就是粘拓撲空間的膠水。它讓我們可以去刻畫以前無法想象的復雜空間，把它們分解成簡單直觀的小塊，并為分解和重新組裝等操作提供嚴謹可靠的拓撲解釋。例如:將二個有界二維流形——圓盤(圓盤中部想象為可以突起)，沿著它們的邊界(一維子流形——圓)上對應點粘合起來，可以得到一個二維閉流形——二維球面，這就是我們生活的現實世界——地球的拓撲模型。將二個三維流形——球體沿著它們的邊界(二維子流形——球面)上對應點粘合起來，可以得到一個三維閉流形——三維球面，這就是Poincar˙e 所猜想的宇宙的拓撲模型。

2.5 閉曲面拓撲的分類

閉曲面分類定理:任何閉曲面必同胚于或球面，或者球面挖掉有限多個圓盤添上環柄，或者球面挖掉有限多個圓盤而補上M˙obius 帶。這些曲面中的任意兩個是不同胚的。在一個球面上挖掉n 個圓盤，再粘上n 個環柄后就得到閉曲面Mn，稱為虧格數為n 的可定向曲面，顯然M1就是圓環T1。而在一個球面上挖掉n 個圓盤，再粘上n 個M˙obius 帶后就得到閉曲面Pn，稱為虧格數為n 的不可定向曲面。當然這種粘帖在E3空間無法具體實現。用曲面拓撲中的粘貼空間(商空間)法，可以證明P1就是實射影平面。而P2就是Klein 瓶。根據曲面拓撲學，E3空間連通、緊致的閉曲面可按虧格數分類:球面虧格數為0，剩下來虧格數為正的(可定向的)一半是環面T1、雙環面T2……Tn;虧格數為負的(不可定向的)一半是實射影平面RP1、Klein 瓶、P2……Pn。M˙obius 帶是開流形，Klein 瓶、實射影平面是閉流形。與可定向的曲面相比不可定向曲面有著更豐富的幾何、拓撲結構。

圖2 二維緊致閉可定向曲面的拓撲分類，虧格數依次為0，1，2，3(網絡圖片)

3 莫比烏斯(M˙obius)帶與建筑造型

M˙obius 帶是二維不可定向的開流形，它可以嵌入到E3中。任何一個二維流形只要其上局部有M˙obius 帶，那么這個二維流形就是不可定向的。它的一個簡單的拓撲模型是，將一個長方形紙條的一端固定，另一端扭轉180 度后，粘合在一起，得到的曲面就是M˙obius 帶。

圖3 M˙obius 帶的基本多邊形

圖4 帶M˙obius 在E3 中的一種嵌入

圖5 全球首座帶M˙obius 造型的三D 打印建筑將于2014年誕生，由荷蘭與德國工程師攜手制造(網絡圖片)

圖6 M˙obius 住宅，韓國設計師設計圖

圖7 M˙obius 塔BAU 建筑事務所

圖8 M˙obius 帶造型

4 克萊因(Klein)瓶與建筑造型

Klein 瓶是二維不可定向的虧格數為-2 的閉流形。Klein 瓶記作P2，它和環面T2都可以用一截圓柱面將兩個截口相互粘接得到。如果每一直母線的兩端粘合，得到的是環面，此時兩個截口是以相同的方相粘接的。如果讓兩個截口方相相反地粘接，得到的就是Klein 瓶。要實現這樣的粘接，必須將圓柱面彎曲后，把一端穿過管壁進入管內與另一端相接。在E3中這是做不到的，因為在進入管內之處必然要相交。但在E4中可以實現(讓相交點的第四個坐標不同，從而把它們分開)。另一種構造方法是，從一個球面挖去二個圓盤，并在此處添上二個M˙obius 帶，M˙obius 帶的邊緣是由一個整圓周構成，將這個圓周與球面上所開洞的邊界圓周粘起來便可。這樣得到的閉曲面就是Klein 瓶。

圖9 Klein 瓶的基本多邊形

圖10 Klein 瓶在E3 中一種經典浸入

圖11 2010 年上海世博會 委瑞內拉館Klein 瓶造型(網絡圖片)

圖12 Klein 瓶在E3 中的經典浸入

圖13 8 字Klein 瓶在E3 中的浸入

5 實射影平面與藝術造型

5.1 實射影平面簡介

實射影平面是二維不可定向的虧格數為-1 的閉流形。實射影平面記作RP1，它是射影幾何中的概念。拓撲學中，有幾種描述它的方法:1)將矩形的兩對對邊按相反的方向粘合起來;2)把圓盤的邊界上每一對對徑點粘合起來;3)從一個球面挖去一個圓盤，并在此處添上一個M˙obius 帶，M˙obius 帶的邊緣是由一個整圓周構成，將這個圓周與球面上所開洞的邊界圓周粘起來便可。這樣得到的閉曲面就是實射影平面(該過程中，不使自己相交的粘合最低維數的歐氏空間是E4)。實射影平面是無法嵌入到E3中的，但可以浸入到E3中，圖18 給出了實射影平面到E3中的幾種經典浸入的圖形。實射影平面到E3中的最佳浸入是由數學家伯伊給出的，通常稱其為Boy's 曲面。其造型獨特、十分優美是理想的建筑造型曲面。

圖14 Klein 瓶在E3 中的浸入的不同變異

圖15 實射影平面的基本多邊形

圖16 實射影平面在E3 中的最佳浸入Boy's 曲面

圖17 德國上沃爾法赫數學研究所大門內的Boy's 曲面雕塑

圖18 其幾種實射影平面在中的經典浸入，這些看上去不太相同的曲面，其實就是同一個拓撲空間RP1 (實射影平面)在E3 中的不同浸入，不過它們有著相同“內蘊”的拓撲結構

5.2 Boy's 曲面的繪制

利用復平面上的圓盤到E3中極小映射(Weierstrass表示)，得到葉輪狀極小曲面。再將葉輪狀極小曲面邊緣上的對徑點“粘合”起來，就得到了Boy's 曲面。

第一步:取復平面上單連通的單位圓域為定義域D，復變量z 采用極坐標形式z=reiθ，得參數變動范圍為D:0 ≤r ≤1;0 ≤θ ＜2π。

第二步:由極小映射

計算出三葉狀極小曲面上離散點的三維空間坐標(x，y，z)，利用Rhino 軟件繪制出它的NURBS 曲面(圖19)。

圖19 三葉狀極小曲面

第三步:粘合邊界上的對徑點得到Boy's 曲面，具體就是用下式:

計算出120 度旋轉對稱的Boy's 曲面上離散點的三維空間坐標(X，Y，Z)，最后繪制出它的NURBS 曲面(圖20)。圖中可以看到，Boy's 曲面在R3中是自交的，因此它是E3的浸入而不是嵌入。另外Boy's 曲面是由極小曲面做粘合映射而得，但它不是極小曲面。

圖20 Boy's 曲面

圖21 Boy's 曲面同胚變換

圖22 Boy's 曲面空間網格造型

6 結語

人類是只能觀察三維物體的生物，我們在鏡中看到自己的圖象是三維物體在二維空間的投影。同樣地，通常人們展示的Klein 瓶、實射影平面的實物模型只不過是它們在E3中的某一種浸入而已(模型上都有一部分和另一部分重疊交叉)。真正的克萊因瓶、實射影平面都是二維不可定向的流形。是柔軟的拓撲形體而不是剛硬的幾何形體。它們只能嵌入到E4中。因此只能進行想象卻又無法看到的。事實上，那些用現實建筑方式表現的克萊因瓶、實射影平面也只是采用了它們在E3中浸入的某種浸入的造型，建筑師只是從中獲得概念性的啟示。同時從這些不同浸入的造型以及它們的拓撲變形中獲得理想的建筑形態。建筑形態一般是基于歐氏幾何的，現在逐步出現了一些基于非歐幾何、流形幾何的傾向。這反映了當代技術、科學、哲學和美學的發展。當然這一切源自于思想的解放、觀念的更新和技術的提高。

［1］當代西方建筑形態數字化設計的方法與策略研究.天津大學高峰學位論文.

［2］包志強.點集拓撲學與代數拓撲學引論.北京:北京大學出版社，2013.9

［3］王丹.非歐幾里德傾向.廈門大學學位論文

［4］劉濱.拓撲學在當代建筑形態與空間創作中的應用.天津大學學位論文

［5］李娜.空間網格結構幾何形態研究與實現.浙江大學學位論文

［6］ROB KUSNER CONFORMAL GEOMETRY AND COMPLETE MINIMAL SURFACES BULLETIN(New Series)OF THE AMRICAN MATHEMATICAL SOCIETY.1987，17(2)

［7］E.加當著，姜立夫等譯.黎曼幾何學科學出版社.北京:1964 年11 月

［8］彭家貴，程卿.微分幾何高等教育出版社.北京:2006(08)

［9］李修成，郭瑞芝，崔登蘭.微分流形基礎科學出版社.北京:2011.(07)

［10］張群力，周平槐，何銀豐，程健.基于軟件Rhino 的異型建筑幾何造型.杭州:浙江建筑2013(03).