基于RLS 算法的高頻響應電流提取策略研究

王 輝，王才東，張段芹

(鄭州輕工業學院，河南鄭州450002)

0 引 言

為了實現對永磁直線同步電動機磁場定向控制，動子位置檢測是實現對永磁直線電機伺服控制的關鍵環節。由于機械式傳感器存在缺陷，給運動控制系統帶來了諸多不利影響［1］。反電勢法是當前應用較多的一種無傳感器法，這種方法主要檢測定子繞組的反電勢來檢測轉子的位置，但在低速或零速時，反電勢較小，檢測誤差較大，甚至無法檢測到反電勢，因此，這種方法可應用的速度范圍較小［2］。高頻信號注入法利用電感系數與轉子位置的關系進行轉子位置的檢測，彌補了傳統無位置傳感器檢測法的缺陷。

由于自適應濾波器具有自我“跟蹤”和“調節”的能力，具有更強的信號處理能力［3］。因此，近年來自適應濾波理論在諸如通信、控制、雷達、地震、生物醫學工程等領域獲得了廣泛的應用［4］。由于遞歸最小二乘(RLS)算法比最小均方(LMS)算法具有更快的響應速度和更強的跟蹤能力，因此，RLS算法更多地應用于時變信號的濾波［5］。

本文將基于RLS 的自適應濾波器與旋轉高頻電壓信號注入法相結合，并應用于永磁直線同步電動機伺服控制系統中，以提高動子位置的檢測精度。

1 高頻電壓注入法數學模型

旋轉高頻電壓信號注入法的基本原理就是在靜止的三相參考坐標系下，利用定子電感和轉子位置間的關系，通過在永磁直線同步電動機的動子端注入小幅值且連續的三相平衡的高頻電壓，使其和基波進行調制，在電機的定子繞組端將會產生一個對應的高頻響應電流信號，這個高頻電流信號中包含有電機動子位置的信息，將該電流信號解調后送入觀測器，可估算出動子位置［6－7］。

根據文獻［8］，永磁直線同步電動機的旋轉高頻電壓信號注入法數學模型可以表示:

對式(1)積分，可得出相應的高頻電流數學模型:

從式(2)中可以看出，對于具有凸極特性的永磁直線同步電動機來說，注入的高頻電壓信號對應的高頻響應電流信號由兩部分組成，即包含有動子位置信息的部分和不包含動子位置信息的部分。包含動子位置信息部分在兩相靜止坐標系下的軌跡是一個順時針方向旋轉的圓形軌跡，而不包含動子位置信息的部分在兩相靜止坐標系下的軌跡是一個逆時針方向旋轉的圓形軌跡，為便于問題的分析，可以把這兩部分分別稱為負序分量和正序分量。利用特定的信號處理方法進行解調處理后，可以從負序分量中獲取轉子的位置信息。為分析問題的方便，把正序分量和負序分量的表達式分別列寫如下。

正序分量表達式:

負序分量表達式:

進一步分析式(3)和式(4)可以看出，由于兩個圓形軌跡的半徑及旋轉方向不同，合成的軌跡，即高頻響應電流的軌跡是一個逆時針旋轉的橢圓，橢圓的長軸與α 軸正向的夾角為動子位置角。圖1 是電機轉子位置分別在0°、15°、30°、45°、75°和90°時理想高頻響應電流信號的合成軌跡。從圖中可以看出，在不同的位置，其理想的合成軌跡都是橢圓形。圖2 則是負序高頻響應電流軌跡的仿真曲線，從圖中可以看出，其軌跡是理想圓形。

圖1 理想的高頻響應電流軌跡

圖2 理想的負序高頻響應電流軌跡

在實際應用中，電機在額定速度下運行時定子電流中不僅包含有驅動電機運行的基波電流及其諧波成分，而且還有高頻信號響應的負序和正序電流及PWM 開關諧波電流。永磁直線同步電動機在額定運行時的定子電流頻譜放大后如圖3 所示。

圖3 定子電流頻譜放大圖

從圖3 的定子電流頻譜圖可以看出，響應電流中不僅包含有基波電流、高頻響應電流和PWM 開關諧波電流，而且在高頻響應電流附近還混雜有其他的諧波成分。對于基波電流及其低次諧波電流，其頻率遠低于高頻載波響應電流，而PWM 開關諧波電流和勵磁電流的高次諧波成分的頻率又遠高于高頻響應電流的電流頻率，如果外干擾較小情況下，理論上可能通過一個帶通濾波器實現。在實際應用中，由于動子可以從零速到額定速度運行，因此其頻率的變化范圍也較大，特別是高頻響應電流附近的諧波成分的頻率與高頻電流的頻率非常接近，加之外干擾的存在，用普通的濾波器很難實現高精度的濾波，為達到理想的濾波效果，本文設計了一種自適應濾波器，用來提取高頻響應電流信號。

2 遞歸最小二乘濾波算法

基于最小二乘算法的自適應濾波器以某種準則為依據，根據信號的變化自動調整其參數，從而使與濾波器輸出相關的目標性能函數的值最小。遞歸最小二乘算法(RLS)是改進的最小二乘算法，在原有估算結果的基礎上，利用新引入數據進行修正，是一種通過迭代的方式尋求每一步最優的算法，大大減小了傳統最小二乘算法的計算量，并加快了自適應濾波器的收斂速度，提高了穩定性［9－10］。

如果濾波器輸入信號為x(i)，濾波器輸出信號為y(i)，則:

式中:wj(i)為抽頭權值;M 為濾波器階數。

相對期望輸出的誤差:

式中:d(i)為期望的輸出信號。

在最小二乘法中，抽頭權值wj(i)的選取，應當使輸出誤差e(i)的平方和構成的代價函數J 最小。

于是，J 可定義:

式中:λ 為不大于1 的常數。

式(7)中的λn－i作為指數加權因子，i 越小，說明過去的時刻也久，其對代價函數的影響越小，反之，則越大。

為求得J 最小時的自適應濾波器的抽頭權值，對式(7)進行求導，并令其導數為零，于是可得:

其中:

式中:X(i)=［x(i)，x(i－1)，…，x(i－M+1)］T;W(n)=［w1(n)，w2(n)，…，wM(n)］T。

當式(8)成立時，求得的W(n)即為所求的最優抽頭權值。這就是最小二乘的批處理方法，由于每個數據都參與重復計算，因此這種方法的運算量大，不適合計算機實時處理，而采用遞歸的最小二乘算法)可以減少運算量。根據文獻［11］，可得基于遞歸最小二乘算法自

適應濾波器的數學模型。

g(n)的更新公式:

其中:

3 結果分析

為驗證基于RLS 算法的自適應濾波器從電機定子繞組中提取高頻響應電流的優越性，本文分別對巴特沃斯帶通濾波器和基于RLS 算法的自適應濾波器進行了仿真研究。在15 r/min、1 200 r/min和3 000 r/min 三種速度下，用兩種濾波器提取高頻響應電流，并對其的頻譜進行了分析，分析結果如圖4 ～圖6 所示。

圖4 提取的高頻響應電流頻譜(n=15 r/min)

圖5 提取的高頻響應電流頻譜(n=1 200 r/min)

圖6 提取的高頻響應電流頻譜(n=3 000 r/min)

從上面的頻譜圖中可以看出，當運行速度較低時，高頻響應電流的正序分量和負序分量的頻率非常接近，速度越高，兩者的頻率差值也越大;但是無論是在高速還是在低速，利用普通的巴特沃斯帶通濾波器提取的高頻響應電流中，包含較多的雜波成分;而利用基于RLS 算法的自適應濾波器提取的高頻響應電流，其雜波較小，這有利于將負序高頻響應電流分量從高頻響應電流中分離出來，從而提高了電動機動子位置的檢測精度。

4 結 語

本文針對普通帶通濾波器提取的高頻響應電流中雜波成分較多的缺陷，提出將基于遞歸最小二乘算法的自適應濾波器引入永磁直線同步電動機無傳感器伺服控制系統中，用于提取包含有動子位置信息的高頻響應電流。頻譜分析結果表明，新濾波器提取的信號與普通巴特沃斯帶通濾波器提取的信號相比較，其提取的信號中包含的雜波成分較小，因此其濾波器的性能更好，有利于提高動子位置的檢測精度。

［1］ 呂魯瑩，陳敏祥.無刷直流電動機無位置傳感器技術的新發展［J］.微特電機，2008(9):56－60.

［2］ Montesinos D，Galceran S，Blaabjerg F，et al. Sensorless control of PM synchronous motors and brushless DC motors－an overview and evaluation［C］//2005 European Conference on Power Electronics and Applications.2005:1－10.

［3］ 鄒艷碧，高鷹.自適應濾波算法綜述［J］. 廣州大學學報(自然科學版)，2002，1(1):44－51.

［4］ 王靜宜，高振斌，曾祥燁.自適應FIR 濾波器的算法研究［J］.河北工業大學學報，2010，39(1):51－55.

［5］ 孫錦華，金力軍.幾種改進型RLS 算法在自適應濾波系統中的應用［J］. 重慶郵電學院學報(自然科學版)，2003，15(3):14－19.

［6］ Benjak O，Gerling D. Review of position estimation methods for PMSM drives without a position sensor，part Ⅲ:Methods based on saliency and signal injection［C］//2010 International Conference on Electrical Machines and Systems (ICEMS).2010:873－878.

［7］ Jeong Y S，Lorenz R D，Jahns T M，et al.Initial rotor position estimation of an interior permanent－magnet synchronous machine using carrier－frequency injection methods［J］. IEEE Transactions on Industry Applications，2005，41(1):38－45.

［8］ 王麗梅，鄭建芬，郭慶鼎.基于載波注入的凸極永磁同步電機無傳感器控制［J］.電機與控制學報，2005，9(4):333－335.

［9］ 耿潔，陳家福.自適應算法LMS 和RLS 的仿真分析［J］. 山西電子技術，2007，(5):78－80.

［10］ 楊承志，孫棣華，張長勝.系統辨識與自適應控制［M］.重慶:重慶大學出版社，2003:52－66.

［11］ 龔耀寰.自適應濾波——時域自適應濾波和智能天線［M］.2版.北京:電子工業出版社，2003:92－95.