Helmholtz線圈與共軸三線圈磁場均勻性分析

黃兆梁

(1.常州工學院光電工程學院，江蘇 常州 213002;2.常州市光電子材料與器件重點實驗室(常州工學院)，江蘇 常州 213002;3.常州現(xiàn)代光電技術研究院(常州工學院)，江蘇 常州 213002)

Helmholtz線圈作為產(chǎn)生勻強磁場的最簡單有效的方法，在科學實驗及工程應用領域都有廣泛的應用。然而，由于Helmholtz線圈產(chǎn)生的磁場并非嚴格均勻，且其均勻的范圍也比較小，在徑向R/2、軸向R/2的中心區(qū)域有約5%的磁場強度的偏差。［1］

為了獲得更理想的勻強磁場，可在Helmholtz的2個線圈中間再增加1個共軸的第3個線圈，通過調(diào)整線圈間距、電流與匝數(shù)或中間線圈的半徑，都可以明顯改善磁場的均勻性。加入到中間的第3個線圈既可以在保持線圈半徑不變情況下調(diào)整其電流或匝數(shù)［2-3］(簡稱等徑方式)，或者在保持電流和匝數(shù)不變的情況下對線圈半徑稍作調(diào)整［1］(簡稱等流方式)。這2種方法對改善Helmholtz線圈磁感應強度的均勻性都有較為顯著的效果，其中等流方式產(chǎn)生的磁場均勻性要比等徑方式略好，在徑向與軸向各為R/2的近中心區(qū)域，其磁感應強度的偏差小于1%，有效改善了磁場均勻性。

1 圓電流線圈的磁感應強度

笛卡爾坐標系及柱坐標系如圖1所示。考察位于xOy平面內(nèi)的P1(Rcosθ，Rsinθ，d)點的圓線圈電流I在位于xOz平面內(nèi)的P(ρ，0，z)點所產(chǎn)生的磁感應強度B(z，ρ)，可根據(jù)畢奧-沙伐爾定律(其中求得，即

易證明，周向eθ分量為零，只有徑向eρ分量與軸向ez分量不為零。

圖1 圓電流產(chǎn)生的磁場

2 Helmholtz線圈的磁感應強度

對于Helmholtz線圈，設對稱的2個線圈在z軸上位置分別為d與 -d，則

即B的徑向分量Bρ為

B的軸向分量Bz為

磁感應強度B的大小為

磁感應強度B的軸向分量Bz在軸線上的磁感應分布的Mac-laurin級數(shù)為

當d=±R/2時，z2項系數(shù)為零，這時Bz沿軸向變化較平緩，其變化主要由z4項的系數(shù)所確定。

用Mathematica繪制出軸向分量Bz相對于Helmholtz Coil中心B0處的相對強度(Bz-B0)/B0［4］。這里以d=±R/2的Helmholtz Coil中心磁感應強度B0作為比較基準，而不是以實際線圈中心處的磁感應強度Bz0作為基準，這樣可以更容易看到相對于Helmholtz Coil中心的相對強度變化，如圖2所示。當滿足d=±R/2時Bz在中心區(qū)附近最為平坦［5］，因而磁場也最為均勻。

Helmholtz線圈的總磁感應強度B(z，ρ)如圖3所示，其中心區(qū)附近的磁感應強度相對于中心處B0的相對變化情況［6-8］，如圖4所示。

Helmholtz線圈磁感應強度B相對于中心區(qū)的相對變化(B-B0)/B0的等值線圖如圖5所示［9］。

圖2 中心軸線上Bz相對于B0的相對強度分布

圖4 Helmholtz Coil(B－B0)/B0分布圖

圖5 Helmholtz Coil磁感應強度(B－B0)/B0等值線圖

3 共軸三線圈的2種方式

為使中心區(qū)的磁感應強度分布更為均勻，可在2個線圈中間再加上一共軸線圈，且電流的方向與其兩側(cè)線圈內(nèi)的電流保持一致。若以外側(cè)線圈的半徑R作為尺度基準，則有3個獨立變量，分別為外側(cè)2個線圈之間的距離d與其線圈半徑R的比值(d/R)、中間線圈半徑R*與兩側(cè)線圈的半徑R之比值(R*/R)以及中間線圈的磁動勢n*I*與外側(cè)線圈磁動勢nI的比值(n*I*)/(nI)。這3個可變參數(shù)決定了磁感應強度在對稱中心處沿軸向z的Mac-laurin級數(shù)中除了常數(shù)項外的前三項z2、z4、z6的系數(shù)，或者沿徑向ρ的除常數(shù)項外的前三項ρ2、ρ4、ρ6的系數(shù)，二次項和四次項如果都為零則可獲得最為均勻的磁場分布。

若磁動勢為nI、半徑為R，在z=0處的單線圈在軸線上產(chǎn)生的磁感應強度的軸向分量B1z(z，ρ)為

其中:E(κ)為模數(shù)為κ的第二類完全橢圓積分;K(κ)為模數(shù)為κ的第一類完全橢圓積分。

磁感應強度的徑向分量 B1ρ(z，ρ)為

1)共軸三線圈等徑方式下，R*/R=1，產(chǎn)生的磁感應強度的軸向分量B2z(z，ρ)為

其中:k為中間線圈磁動勢與外側(cè)線圈磁動勢的比值，即k=(n*I*)/(nI)。

磁感應強度的徑向分量 B2ρ(z，ρ)為

2)共軸三線圈等流方式下，(n*I*)/(nI)=1，產(chǎn)生的磁感應強度的軸向分量B3z(z，ρ)為

其中:s=R*/R為中間線圈半徑與兩側(cè)線圈半徑的比值。

同樣將總磁感應強度在軸線中心處展開成Mac-laurin級數(shù)，令其z2與z4的系數(shù)(或ρ2與ρ4的系數(shù))分別為零，聯(lián)立方程組求解得到最佳參數(shù)d/R=0.833 412，R*/R=1.212 158。

三線圈等徑方式的磁感應強度相對于中心處的(B-B0)/B0如圖6所示。相比圖4中間部分的場強分布顯得更為平坦，這表明磁場更為均勻。［8］

事實上，2種共軸三線圈結構的磁場分布沿對稱的軸向或徑向的前4次方的系數(shù)都為零，而6次方的系數(shù)都不為零，其中等徑三線圈方式沿中心軸線分布的z6的系數(shù)與等流三線圈方式沿軸向分布的z6的系數(shù)之比為1.506 83倍，系數(shù)越小則表明越均勻，因而這說明等流方式的磁場比等徑方式的更為均勻。

等徑方式下磁感應強度相對于中心處的相對變化(B-B0)/B0的等值線圖如圖7所示。

圖6 三線圈等徑方式(B－B0)/B0分布圖

圖7 三線圈等徑方式(B－B0)/B0等值線圖

三線圈等流方式的磁感應強度分布相對于中心的(B-B0)/B0如圖8所示。與圖6相比差異似乎并不明顯，但是從磁感應強度相對于中心處相對變化的等值線圖上可以較明顯看出兩者的差異。

三線圈等流方式下磁感應強度相對于中心處的百分偏差(B-B0)/B0的等值線圖如圖9所示。

上述2種方式都是令z或ρ的前4次方系數(shù)為零的條件下得到的，那么是否有可能前6次方系數(shù)全都為零，從而獲得更為均勻的磁場分布呢?研究給出了否定的答案:并不存在這樣的實數(shù)解。在z或ρ的前6次方項的系數(shù)不可能全為零，因而上述等徑與等流方式給出了比較均勻的磁場分布。其前4次方系數(shù)均為零，僅z或ρ的6次方以上項系數(shù)不為零，并且等流方式比等徑方式的6次方系數(shù)要小，這意味著等流方式的均勻性要好些。這里級數(shù)展開的6次方系數(shù)大小是決定磁場非均勻程度的重要參數(shù)，也是導致磁場分布不均勻的根源。

圖8 三線圈等流方式(B－B0)/B0分布圖

圖9 三線圈等流方式(B－B0)/B0等值線圖

4 Helmholtz線圈與2種共軸三線圈的磁場均勻性比較

由圖5、圖7和圖9的(B-B0)/B0等值線圖可以看出這3種磁感應強度在中心區(qū)分布的均勻性情況。顯然Helmholtz線圈的均勻性最差，在中心區(qū)的0.3R范圍內(nèi)偏差在1%以內(nèi)，在0.5R范圍內(nèi)的偏差略大于5%;三線圈等徑方式的均勻性其次，在0.3R范圍內(nèi)偏差小于0.2%，在0.5R范圍內(nèi)偏差小于2%;三線圈等流方式的均勻性最好，在0.3R范圍內(nèi)的偏差小于0.1%，在0.5R范圍內(nèi)的偏差略大于1%，遠優(yōu)于Helmholtz線圈的磁場均勻度，也比三線圈等徑方式要好。

將3種結構的線圈產(chǎn)生的磁感應強度相對于中心區(qū)強度相差±1%的等值線圖繪制在同一圖上更便于比較其均勻的范圍，見圖10所示。圖中最內(nèi)層的是Helmholtz線圈的±1%的區(qū)域邊界，呈八齒形分布;而靠外側(cè)幾乎成平行雙線并呈十二齒形態(tài)分布的是三線圈的等值線圖，其中靠內(nèi)側(cè)的是等徑方式;靠外側(cè)的是等流方式，顯然等流方式的磁場均勻性更好。

共軸三線圈的2種方式與Helmholtz線圈在其軸線上產(chǎn)生的磁感應強度相比各自中心處的相對變化的百分比如圖11所示。可見3種方式產(chǎn)生的磁感應強度的均勻性以等流方式為最佳，等徑方式次之，這2種方式都明顯改善了HelmHoltz線圈磁場的均勻性。

在共軸三線圈結構中，上述2種方式可以明顯改善磁場的均勻性，如果增加更多的線圈則相應增加了結構的復雜性，失去了實用意義，還不如采用長螺旋管線圈了。

有一點需要特別指出，上述分析并未考慮到共軸三線圈的幾何尺寸有少許變化，因而上述比較的基準也略有差異，這里暫且忽略這種影響。

共軸三線圈的2種改進Helmholtz Coil磁場均勻性的方法都是行之有效的，其中共軸三線圈的等流方式比共軸三線圈的等徑方式均勻性略好。

圖10 3種線圈在中心區(qū)偏差±1%的等值線圖

圖11 3種線圈軸線上磁感應強度變化的相對百分比

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