基于LMS算法與RLS算法自適應濾波及仿真分析

馬國棟 ， 閻樹田 ， 賀成柱 ， 楊 晨

（1.蘭州理工大學 機電工程學院，甘肅 蘭州 730050；2.甘肅省裝備制造業數字化設計公共服務平臺 甘肅 蘭州 730030）

自適應濾波器是現代信號處理的重要組成部分。因其濾波功能強大，成為信號處理和自動控制應用領域不可或缺的設備。自適應濾波器的算法決定了其性能，根據濾波器算法優化準則不同，自適應濾波器算法可分為兩類基本算法：最小均方誤差（LMS）算法和遞歸最小二乘（RLS）算法[1]。

自適應濾波算法推導較為繁瑣，推導過程中涉及到多個關系的建立及多個參數的假設，而這些都是在一種理想的狀態下完成的[2]。文中針對兩種算法進行了公式推導。在LMS算法中，本文主要抓住使得輸出誤差序列e（n）均方值最小及如何使得目標函數s取得最小值為突破點，進而引出自相關矩陣、期望信號與輸人信號的相關矢量、非奇異矩陣等概念與假設，再使用數學方法進行計算推導，使得復雜的算法在理解上具有層次感，使讀者對算法的結構一目了然。同樣在RLS算法中，本文主要以“遺忘因子”的概念為跳板，分析權重的范圍，通過對比，取濾波器的實際輸入d*（i）作為期望響應d（i），并選擇合適的代價函數。這樣不僅可以優化算法，也使得算法在理解上更具有層次感，便于讀者理解學習。

同時，文中按照原理推導、軟件編程、軟件仿真的試驗方法與步驟，使用MATLAB軟件[3-4]設計自適應數字濾波器。設置輸入信號、噪聲信號，通過輸出信號的圖像走勢對兩種算法的優缺點進行對比分析，便于讀者對兩種算法的學習及對濾波器的設計。

1 自適應濾波器的原理

自適應濾波的基本原理就是利用前一時刻獲得濾波器參數的結果自動調節現時刻的濾波器參數，以適應信號和噪聲未知的或隨時間變化的統計特性，從而實現最優濾波。因此，自適應濾波器具有自我調節和跟蹤能力。自適應濾波器的一般結構如圖1所示[5-6]。

圖1中x（n）為輸入信號，通過參數可調的數字濾波器后產生輸出信號 y（n），將輸出信 y（n）號與期望信號 d（n）進行比較，得到誤差信號 e（n）。 e（n）和 x（n）通過自適應算法對濾波器的參數進行調整，調整的目的使得誤差信號e（n）最小。

圖1 自適應濾波器的一般結構Fig.1 General structure of adaptive filter

2 自適應濾波算法

2.1 LMS算法

最小均方算法即LMS算法是B.Widrow和Hoff提出的來，由于實現簡單且對信號統計特性變化具有穩健性，因此獲得極為廣泛的應用。

給定系統的輸入信號為：X（n）=[x（n），x（n-1），…，x（n-N）]T，

輸入輸出關系式為：

其中 W（n）=[ω0（n），ω1（n），…，ωN（n）]T為濾波器的 N+1個權系數構成的權系數矢量，誤差信號為

LMS算法根據誤差信號來調整濾波器系數，使輸出誤差序列e（n）的均方值最小。

式（3）中，R=E[X（n）x（n-m）]，m=0，1...，N，為（N+1）×（N+1）維輸入信號的自相關矩陣；

P=E[f（n）X（n）]為（N+1）×1 維期望信號與輸入信號的相關矢量。

目標函數s是W（n）的二次函數，其圖形是N+2維空間中一個中間下凹的超拋物面，它有唯一的最低點，即最小均方值，該曲面稱為均方誤差性能曲面為了最快尋找到最小點，要按照梯度負方向移動。

令Δ（n）表示n時刻的（N+1）×1維梯度矢量，則自適應濾波器系數矢量的變化與梯度的關系為:

式中，μ為自適應步長，為正的實常數。

對于LMS算法

式（1）、式（2）、式（7）聯立即構成 LMS 算法的迭代公式。

2.2 RLS算法

遞歸最小二乘算法即RLS算法，它是利用在已知n-1時濾波器抽頭權系數的情況下，通過簡單的更新，求出n時刻的濾波器抽頭權系數。使用指數加權的誤差平方和J（n）=∑λn-i|ε（i）|2（0＜λ＜1，稱為遺忘因子），引入遺忘因子作用是離 n 時刻近的誤差附較大重，離n時刻遠的誤差賦較小權重，確保在過去某一段時間的觀測數據被“遺忘”，從而使濾波器可以工作在非平穩狀態下：ε（i）=d（i）-wH（n）u（i）

定義估計誤差：ε（i）=d（i）-y（i）=d（i）-wH（n）u（i），其中 d（i）為期望相應，y（i）為濾波器輸出，可取濾波器的實際輸入d*（i）作為期望響應 d（i）。

由以上式子可見指數加權最小二乘法的解轉化為Wiener濾波器的形式:wopt=R-1r。因抽頭權向量取得是n時刻的 w（n），而非 i時刻的 w（i）；所以，當 i≤n 時，

化簡得：w（n）=w（n-1）+k（n）e*（n）

總結RLS算法的一般步驟為：

1）初始化：w（0）=0，R（0）=δ-1I.

2）更新：對于 n=1，2，…計算:

濾波：y（n）=wH（n-1）u（n）；估計誤差：e（n）=d（n）-y（n）；更更新權向量：w（n）=w（n-1）+k（n）e*（n）；更新

3 MATLAB 仿真分析

3.1 LMS算法仿真

根據上述算法的推導，使用MATLAB軟件對LMS算法進行仿真分析，假設輸入信號：x（s）=10×sin（0.5×t），噪聲信號為隨機信號，通過軟件編程可得仿真結果如下：

圖2 標準的輸入信號與隨機的噪聲信號Fig.2 Standard input signal and the random noise signal

圖3 濾波器三種輸出比對Fig.3 Three output matching filter

3.2 RLS算法仿真

使用MATLAB軟件對RLS算法進行仿真分析，假設輸入信號：x（k）=A0cos（w0t+φ0）+b（k），噪聲信號：xr（k）=A0cos（w0t+φ0），設置濾波器階數為 200，采樣周期為 1 ms。 仿真結果如圖4~6所示。

圖2~3的仿真分析可以明顯看出LMS算法具有計算量小，易于實現，性能穩定的特點；隨機噪聲信號的期望輸出與輸入信號的波形重合度較高；同時也可以看出，誤差的走勢較為平緩，其跟蹤能力較慢，對非平穩信號的適應性差；為滿足較好的算法收斂和穩態誤差的要求值不可能取得太大，這也就決定了LMS算法的收斂速度不快。

圖4 輸入信號Fig.4 Input signal

圖5 誤差與輸出信號Fig.5 Error and output signals

圖6 Cxx矩陣曲線Fig.6 Cxx matrix curve

圖4 ~6是RLS算法得出的結果。可以看出，系數的變化曲線在200步時有一個超調，這是由于向量為零，200步以后的變化曲線僅代表值，獲得的濾波器的傳遞函數類似于LMS濾波器的傳遞函數。它的中心頻率調整為正弦信號頻率，即75 rad/s。如圖6所示曲線在采樣步數時突變。200步以后曲線值變小。這也正說明了RLS算法具有較好的收斂性能和跟蹤能力，但它卻需要更多的計算量來完成，不利于適時實現。

4 結 論

自適應濾波是信號處理的重要基礎，在各個領域取得了廣泛的應用。在實際問題中，需要研究有效、實用的自適應算法。本文對自適應濾波算法原理進行化繁為簡地推導，并使用MATLAB軟件對兩種算法進行仿真分析。對讀者根據實際需要選擇濾波器的算法，設計自適應濾波器具有一定的參考價值。

[1]鄭田娟.LMS與RLE自適應濾波算法對比研究[J].科技廣場，2012（3）:20-21.ZHENG Tian-juan.Comparative study of LMS and RLS adaptive algorithms[J].Science Mosaic，2012（3）:20-21.

[2]謝勝利，何昭水，高鷹.信號處理的自適應理論[M].北京：科學出版社，2006.

[3]飛思科技產品研發中心.MATLAB7輔助信號處理技術與應用[M].北京：電子工業出版社，2005.

[4]陳懷琛.數字信號處理教程-MATLAB釋義與實現[M].北京：電子工業出版社，2004.

[5]Simon Haykin著，鄭寶玉等譯.自適應濾波器原理[M].4版.北京：電子工業出版社，2010.

[6]龔耀寰.自適應濾波器[M].北京:電子工業出版社，1989.