第二代曲波加權改進算法在圖像處理中的應用

王化喆，李德啟

（商丘職業技術學院 河南 商丘 476000）

人臉識別技術作為一種新興的生物特征識別技術，已經被廣泛應用到公安偵查、電子商務、安防監控和國家安全等身份識別和鑒定的領域。因此，對人臉特征識別算法的研究越來越受到學者們的關注，因此，一些優秀的算法隨之出現，例如，小波加權雙向二維主成分分析人臉識別算法、四元數Gabor小波的彩色人臉識別算法等，并取得了良好的識別效果，被廣泛應用到圖像識別的各個領域，然而這些算法在廣泛的圖像識別處理過程中，往往都會有一些缺陷或弊端[1]。以小波加權的雙向二維主成分分析人臉識別算法[2]為例，作為一個相對優秀的生物特征識別算法，它是通過小波變換技術對所處理的人臉圖像進行分解，對低頻子帶進行加權，然后用獲得的低頻子圖替代原始人臉圖像，不但可以起到很好的降維效果，而且在隨機噪聲方面得到有效地抑制。由于小波變換技術具有多分辨率的特征，所以是一種被廣泛使用的生物識別技術算法，然而，通過大量實驗表明，此算法在對人臉圖像的處理過程中不具有各向異性的特征，只能反映出一維信號中奇異點的性質，對二維圖像的“沿”邊緣特征根本無法表達[3]。基于小波變換算法上的缺陷，Candes和Donoho于1999年在脊波理論的基礎上提出了第一代曲波變換算法，該算法是由一種特殊的濾波和多尺度Ridgelet變換組合而成，在對人臉圖像識別處理的過程中，直線奇異和曲線奇異特征在該算法中能夠很好的表達[4]。但是，第一代曲波在數字實現上特別復雜，需要子帶分解、平滑分塊、正規化和Ridgelet等一系列步驟，而且曲波變換的塔式分解中帶來的數據冗余量是巨大的，并且具有較高的時間復雜度，這樣勢必限制了第一代曲波變換算法的應用[5]。

基于第一代曲波變換算法的局限性，Candles等于2005年又提出了實現更為簡單、更為容易理解，而且具有良好的細節表達能力的第二代曲波變換算法。但是此算法在非線性變換過程中需要多個調節參數，從而增加了在圖像識別復雜度。另外，第二代曲波變換算法中的變換函數在進行曲波系數變換時，沒有充分考慮到尺度不同分布特征不同的特點，從而影響了圖像識別的效果[6]。為此，筆者對第二代曲波變換算法進行了改進，即第二代曲波加權人臉識別算法。

1 第二代離散曲波變換算法的實現

Candes與Donoho詳細闡述了第二代曲波變換實現方法，即 USFFT（Unequispased FFT）和 Wrap（Wrapping-based transform）兩種算法[7]。

1.1 USFFT算法

利用USFFT算法實現過程如下：

1）將 f[t1，t2]∈L2（R）經過二維 FFT 得到 f^[n1，n2]，-n/2≤n1，n2＜n/2；

4）將局部化的f^經過傅里葉反變換，從而，求得離散的Curvelet系數 cD（j，l，k）。

1.2 Wrap（Wrapping-based transform）算法

該算法是在USFFT算法基礎上添加Wrap步驟，過程如下：

1）把給定的一個笛卡爾坐標下的f[t1，t2]進行二維傅里葉變換，其中二維函數f[t1，t2]用于處理圖像時為二維圖像數據，0≤t1，t2＜ω，求得二維頻域：

2）在頻域內，對不同尺度和方向參數（j，l），重新對 f^[n1，n2]采樣，獲得的采樣值如下：f^[n1，n2-n1.tanθl]∈Pj，其中 θl為旋轉角度；

4）環繞原點Wrap局部化f^，可得：

5）對所有f^j，l通過 2D IFFT變換，即可獲得離散的Curvelet變換系數 CD（j，l，k）。

該算法的核心思想是圍繞原點Wrap，利用周期化技術將任意區域一一映射到原點放射區域，進而形成一一對應的映射關系，通過2D IFFT變換把圖（1）中的橢圓從原點映射，進而獲取矩形區域，這樣，就可以使用二維數組進行表達。這里Pj，l表示一個平行四邊形，包含局部窗口U~j，l[n1，n2]的支撐，對于每個不同尺度的 j都對應著兩個恒定的數，即 L1，j～2j和 L2，j～2j。因此，對于不同的方位 θl通過水平（L1，j）和垂直（L2，j）方向的復合變換 Pj，l，把平面分塊。 然后周期化窗口數據 d[n1，n2]，可得如下等式：

圖1 Wrap算法實現原理圖Fig.1 The schematic of Wrap algorithm

2 對第二代曲波非線性變換算法的改進

通過第二代離散曲波變換算法的實現和大量實現證明，Wrapping快速離散曲波變換算法在進行圖像處理時，不可避免的存在下列缺陷：第一，通過Wrapping算法進行對圖像邊緣信息降噪處理時，因為它所具有的平移不變性，將會出現系數“過扼殺”現象，因此使圖像邊緣出現“振鈴”效應；第二，由于“楔形基”是曲波變換算法所具有的特性，所以變換因子的相關性客觀存在，一條直線的全部數據將隨系數的變化而發生改變，這樣勢必會導致所處理圖像的失真。

針對離散曲波變換算法的缺陷，筆者對第二代曲波非線性變換算法加以改進，提出了第二代曲波圖像加權算法，該算法實現流程如下：

2）根據直方圖圖像分類，確定Beta函數中的參數α與β，然后再利用下式進行變換：

其中非完全Beta變換函數用F（·）表示；

3）將 g′（i，j）經過反歸一操作，進而得到對應的圖像 x（i，j）；

4）然后，通過第二代 Curvelet變換算法對圖像 x（i，j）實現分解處理；

5）通過下式對分解后圖像x（i，j）中的低頻與中頻相應系數進行非線性變換處理。

6）可以使用下式軟閾值函數對步驟（4）中的分解后的高頻曲波實現降噪，

7）通過反變換處理可以獲取結果圖像 x′（i，j）。

3 第二代曲波圖像加權改進算法在人臉圖像識別中的實現

假設：分別用N和C表示低頻人臉圖像的訓練樣本和類別數，Fi表示第i類人臉圖像，樣本數用Mi表示，表示m×n圖像低頻區域的大小。重構的低頻圖像（f′il）可以通過第二代曲波加權算法進行獲取，利用下式獲取全部低頻人臉圖像均值：

行動主張：建議學院專業再次結合現專業、行業背景確定什么是基本能力，什么是必要的擴展能力，當下行業緊俏的擴展能力，但不能設置的太高，不然達不到技訓的目的。

上式中的i和l分別表示第i類中的第l個樣本。

行和列的二維主成分分析是雙向二維主成分分析算法的主要內容。

第一步：首先，利用此算法從人臉圖像行信息的訓練樣本中求取最優矩陣Y，然后，將人臉圖像投影至Y中，進而求得m×d矩陣，如下式所示：

第二步：同樣利用二維主成分分析算法從人臉圖像列信息訓練樣本中求取最優矩陣P，然后，把m×n人臉圖像投影至矩陣P，進而獲取q×n的矩陣L，如下式所示：

其中L就是系數矩陣。用來重構人臉圖像Fi′l的公式可以表示如下：

使用最近鄰域準則去實現對樣本的分類。特征矩陣L的求出，可以根據給定的相應測試樣本A來實現。可以將所有的低頻人臉圖像Fi′l投影到矩陣Y和P中，進而獲取相應的特征矩陣Lk。

4 仿真實驗及結果分析

為了驗證筆者提出的改進算法的有效性，分別選取0RL和Yale人臉庫中的人臉圖像進行仿真實驗，在不同的維數下，利用小波加權雙向二維主成分分析算法（簡稱：小波加權傳統算法）和經過改進的第二代曲波圖像加權算法（簡稱：曲波加權改進算法）分別對不同人臉庫中的圖像進行識別處理。在實驗前，對所用的圖像進行自動檢測、姿態表情定位和歸一化處理。

4.1 ORL人臉庫仿真實驗與結果分析

0RL人臉庫由劍橋大學AT＆T實驗室創建，該數據庫包含了具有不同表情和姿勢、稍許傾斜（不超過20度）以及不同光照的人臉，共有40個人，每人有10幅不同的人臉圖片，共計400張分辨率為92×112人臉灰度圖像，影響圖像識別的因素有姿勢、表情和飾物[8]。在此人臉庫中選取150張人臉圖像作為訓練樣本，其余的250張作為測試樣本，樣本圖像如圖2所示。

圖2 ORL人臉樣本圖像Fig.2 ORL face images

在不同特征矩陣的維數下，分別利用小波加權傳統算法和曲波加權改進算法隨機的進行30次仿真實驗，在實驗過程中對特征向量進行單位化處理，分別獲取平均識別時間和平均識別率，實驗結果數據和平均識別率對比曲線圖分別如表1和圖3所示。

表1 ORL人臉庫仿真實驗數據Tab.1 ORL database simulationdata

通過上表可以看出，ORL圖像庫中的圖像在特征向量維數為4、8和16，經過改進的曲波加權算法較小波加權傳統算法平均識別率分別提高7.73%、4.02%和4.01%，平均識別時間分別提高0.144 9 s、0.126 9 s和0.1321 s，在特征向量為8時，經過改進的曲波加權算法獲得的識別率最高，圖像識別效果最好，較小波加權傳統算法具有明顯的優勢。

圖3 ORL圖像庫仿真識別曲線Fig.3 The simulation curve recognition of ORL image database

通過圖（3）仿真識別對比曲線可以看出，經過改進的第二代曲波加權改進算法，圖像識別率比曲波加權改進算法有明顯的提高，識別效果顯著。

4.2 Yale人臉庫仿真實驗與結果分析

Yale人臉庫圖像由美國耶魯大學創建，其中共有15人在不同的飾物（是否戴眼鏡）、光照和表情下（正常、悲傷、愉快、驚訝、困乏、眨眼）建立的165張圖像，分辨率為144×116[9]。為了方便在實驗過程中的數據處理，按照圖像眼睛的位置進行預處理操作，將圖像歸一化為圖像尺寸為100×100。在該圖像庫中選取60張圖像作為訓練樣本，其余105張作為測試樣本，樣本圖像如圖（4）所示。

圖4 Yale人臉樣本圖像Fig.4 Yale face images

同樣在不同特征向量維數下，分別利用小波加權傳統算法和經過改進的曲波加權改進算法隨機進行30次實驗，分別求出平均識別率和識別時間，實驗數據和識別仿真曲線如表2和圖5所示。

表2 Yale人臉庫仿真實驗數據Tab.2 Yale database simulation data

通過表2中的仿真實驗數據可以看出，在特征向量維數為4、12和20時，經過改進的曲波加權算法較小波加權傳統算法平均識別率分別提高2.12%、6.64%和3.11%，平均識別時間分別提高0.009 2 s、0.048 9 s和0.023 9 s，在特征向量維數為12時，經過改進的曲波加權算法識別率最高。從實驗結果看出，曲波加權改進算法無論在識別率還是識別時間方面提升效果明顯。

圖5 Yale圖像庫仿真識別曲線Fig.5 The simulation curve recognition of Yale image database

由圖5平均識別率對比曲線不難看出，經過的第二代曲波加權改進算法在處理人臉圖像識別率方面明顯較小波加權傳統算法優越。

5 結 論

筆者首先在第二代離散曲波變換算法分析的基礎上，得出此算法在處理圖像時出現邊緣 “振鈴”效應和由于“楔形基”特性使圖像失真的現象，然后，針對所存在的缺陷提出曲波加權改進算法及在圖像識別時的實現方法，最后分別通過在ORL人臉庫和Yale人臉庫的仿真實驗，并和傳統的小波加權雙向二維主成分分析算法對比，說明了筆者提出的第二代曲波加權改進算法的優越性，具有很好的應用前景。

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