非馬爾科夫環境下依賴于純度的糾纏制備

李艷玲，徐中輝，霍 良

(江西理工大學信息工程學院，江西 贛州341000)

非馬爾科夫環境下依賴于純度的糾纏制備

李艷玲，徐中輝，霍 良

(江西理工大學信息工程學院，江西 贛州341000)

考慮了兩個無相互作用的量子比特系統和一個處于零溫非馬爾科夫庫耦合的情況.研究發現，當系統初始處于兩體可分離混合態時，非馬爾科夫環境可以誘導兩量子比特間的糾纏，其值的大小高度依賴于體系所處態的初始純度.此外，非馬爾科夫庫誘導的糾纏遠大于馬爾科夫庫誘導的糾纏，并且隨著失諧量的增大，誘導糾纏的最大值會大幅度增加.研究表明，在非馬爾科夫情況下，可以通過增大系統與非馬爾科夫庫之間的失諧量制備量子比特間的高度糾纏態，進而完成量子信息處理的任務.

非馬爾科夫庫；誘導糾纏；純度

0引言

在量子信息和量子計算理論中，糾纏起著非常重要的作用，是量子信息和量子計算得以實現的基本資源[1].而實際的量子系統不可避免的會與周圍環境作用，因此，研究開放系統的動力學是非常有實際意義的[2].一般來講，與環境的相互作用會導致量子體系的退相干[3]和糾纏死亡[4-5]，這對應用量子糾纏實現量子信息處理是極為不利的.然而，事物大凡具有兩重性，系統與環境的相互作用會破壞量子體系的糾纏，但是另一方面，環境也為兩個沒有直接相互作用的體系提供了間接的耦合方式.近來的研究發現，在開放系統中環境不僅可以破壞糾纏也可以誘導糾纏[6-9].這為在開放量子系統中制備糾纏開辟了新的途徑.

眾所周知，開放系統的動力學關鍵是依賴于其所耦合系統的類型[10].馬爾科夫環境具有的特點是：環境的特征關聯時間比系統的短的多，也就是說環境沒有記憶.然而，在光子帯隙材料[11]、高Q腔系統[12]、固體系統[13]和自旋浴[14]等許多物理體系中，經常會出現非馬爾科夫環境，其具有的特點是：環境的關聯函數的時間尺度比系統的消相干時間尺度大幾個數量級.以至于非馬爾科夫環境具有明顯的記憶效應，其典型特點在于其可以反饋部分信息回系統.正是由于這個原因，非馬爾科夫糾纏動力學的研究越來越受到大家的重視[15-16].

在文獻[6-9]中，作者們考慮了兩個無相互作用的量子比特與同一個處于熱平衡的馬爾科夫庫耦合組成的系統，研究發現環境可以誘導糾纏.然而，這樣產生的糾纏只能持續很短一段時間，并且產生糾纏的最大值也很小.這就嚴重影響了其在量子隱形傳態[1]、量子密集編碼[1]和量子密碼術[1]等許多量子信息處理中的應用.幸運的是，非馬爾科夫環境的記憶效應提供了一個有效延長糾纏有效時間的可能途徑[16-18].因此，研究非馬爾科夫環境的記憶效應對誘導糾纏的影響就成了必然.文獻[19]中，考慮了兩個無相互作用的二能級系統與同一個非馬爾科夫庫非共振耦合組成的系統，研究發現，對于只含有一個激發子的兩體分離態，非馬爾科夫庫比馬爾科夫庫誘導的糾纏要高得多.但是，在此系統中兩個量子體系都是以純態作為初始態，而由于量子系統與環境不可避免的相互作用，退相干和耗散都很容易使純態演化成混合態.因此，考慮初始處于混合態的兩體系統，研究非馬爾科夫庫誘導的糾纏是非常有意義的.

1 物理模型

在此研究無相互作用的兩個量子比特系統與同一個處于零溫的玻色庫耦合的情況，如圖1所示.整個系統的哈密頓為（h =1）

其中，ω0是兩能級系統的躍遷頻率，和1,2)分別為第j個量子比特的反轉、上升和下降算符；和ak分別是環境庫第k個模(頻率為ωk)的產生和湮滅算符，gk是耦合系數.此外，第j個量子比特與庫的耦合強度用無量綱的系數αj表示.

圖1 物理模型示意圖

如果第一個量子比特處于激發態，第二個量子比特處于基態，環境庫處于真空態，即整個系統初始處于：

在式（1）所示哈密頓的支配下，則演化為：

文中考慮電磁場在一個中心頻率為ω0的不完美光學腔中的情形，其譜密度為洛倫茲分布的形式，即：

其中，Δ是躍遷頻率ω0與腔中心頻率之間的失諧. γ0是馬爾科夫衰減系數.λ表示耦合的譜寬度，它與庫的特征時間相關，即τR=λ－1.一般可以分為弱耦合和強耦合兩種機制.弱耦合機制下 （γ0＜λ/2），系統表現的是馬爾科夫動力學伴隨著不可逆的衰減；強耦合機制下（γ0＞λ/2），表現的是非馬爾科夫動力學伴隨著振蕩的可逆衰減.在此，重點討論非馬爾科夫情況.通過求解薛定諤方程可以得到：

在此，令兩量子比特系統初始處于：

而環境庫處于真空態，其中d2描述量子比特1處于激發態的布居.在式（1）所示哈密頓的支配下，系統的態演化為：

2 非馬爾科夫環境誘導糾纏

為了討論環境誘導的糾纏，在此選擇concurrence[20]來量度兩比特之間的糾纏.它的定義為：

其中，λi（i=1，2，3，4)是矩陣按降序排列的本征值，σy為泡利自旋矩陣，星號表示復共軛.由此，式（3）所示量子態的concurrence為：

由此可以看出，系統concurrence C（t）與量子比特1處于激發態的布居d2成正比.而對于混合態而言，純度是一個非常重要的物理參量.對于任意的量子態ρ其定義P（ρ）＝tr（ρ2）[21].式（2）所示量子態的純度為：

圖2給出了兩量子比特系統糾纏與純度之間的關系曲線，其中α1=α2=1；λ=0.1γ0；Δ=10γ0.當d2< 0.5時，糾纏隨著純度P的增大而減小；而當d2>0.5時糾纏會隨著純度P的增大而增大.原因在于當d2<0.5時，導致純度增大的原因是量子比特1處于基態布居的增大，而當d2>0.5時，導致純度增大的原因是量子比特1處于激發態布居的增大.

圖2 系統concurrence隨著初態的純度和時間變化的曲線

另一個有趣的現象是，當量子比特系統與庫非共振耦合時，非馬爾科夫環境誘導的糾纏比馬爾科夫環境誘導的糾纏大得多.圖3給出了對于不同的失諧量，在馬爾科夫和非馬爾科夫機制下，誘導糾纏隨著時間的變化曲線.在馬爾科夫機制下，即使考慮失諧效應，環境誘導的糾纏也不足以用來完成一些量子信息處理任務.例如，利用此糾纏態將不能實現量子隱形傳態，因為保真度小于2/3.然而，與馬爾科夫情況不同，在非馬爾科夫機制下，由耗散環境誘導的糾纏經過后趨于一個有限值，原因在于量子比特系統與非馬爾科夫庫之間信息的來回流動.特別是，當失諧不為零時，誘導糾纏的最大值會隨著失諧量的增大而增大.其內在物理機制是非馬爾科夫環境的記憶效應和系統與庫的失諧抑制了像自發輻射等一些不可逆過程[17,18,22].

3結論

圖3 對應于不同的失諧量Δ，環境誘導的糾纏關于無量綱量γ0t的變化曲線圖

研究了無相互作用的兩個量子比特系統與同一個處于零溫的非馬爾科夫庫耦合所組成系統的糾纏動力學.結果表明，當兩比特系統與非馬爾科夫庫非共振耦合時，可以誘導兩比特間的高度糾纏.并且，非馬爾科夫環境下的最大值遠大于馬爾科夫的情況.總之，在非馬爾科夫機制下，可以通過適當的增加失諧量以獲得比較高的糾纏.文中研究的模型是量子光學中的基本模型，研究結果對在開放環境中制備系統糾纏和實現量子信息處理都有重要參考價值.

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Purity dependence of entanglement generation in non-Markovian environment

LI Yan-ling,XU Zhong-hui,HUO Liang(Faculty of Information Engineering,Jiangxi University of Science and Technology,Ganzhou 341000,China)

We consider the model of two uncoupled qubits system interacting with a common zero-temperature non-Markovian reservoir.For an initially factorized two-qubit mixed state,the entanglement can be induced by non-Markovian environment.And its value is highly dependent on the initial purity of the system.Moreover, the entanglement induced by non-Markovian reservoir is much larger than that induced by Markovian reservoir.The maximal value of the induced entanglement increases with the increasing of detuning.The study shows that highly entangled states which are essential to implement some quantum information processing,can be induced by increasing the detuning between the system and the non-Markovian reservoir.

non-Markovian environment;induced entanglement;purity

O431.2

A

2095-3041（2014）00-0090-04

10.13265/j.cnki.jxlgdxxb.2014.01.015

2013-07-17

國家自然科學基金理論物理專項(11247207)；江西理工大學科研基金項目(jxxj12056)

李艷玲（1981- ），女，博士，講師，主要從事量子光學和量子信息等方面的研究，E-mail:liyanling0423@gmail.com.