非馬爾科夫環(huán)境下依賴于純度的糾纏制備

李艷玲，徐中輝，霍 良

(江西理工大學(xué)信息工程學(xué)院，江西 贛州341000)

非馬爾科夫環(huán)境下依賴于純度的糾纏制備

李艷玲，徐中輝，霍 良

(江西理工大學(xué)信息工程學(xué)院，江西 贛州341000)

考慮了兩個(gè)無相互作用的量子比特系統(tǒng)和一個(gè)處于零溫非馬爾科夫庫耦合的情況.研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)系統(tǒng)初始處于兩體可分離混合態(tài)時(shí)，非馬爾科夫環(huán)境可以誘導(dǎo)兩量子比特間的糾纏，其值的大小高度依賴于體系所處態(tài)的初始純度.此外，非馬爾科夫庫誘導(dǎo)的糾纏遠(yuǎn)大于馬爾科夫庫誘導(dǎo)的糾纏，并且隨著失諧量的增大，誘導(dǎo)糾纏的最大值會(huì)大幅度增加.研究表明，在非馬爾科夫情況下，可以通過增大系統(tǒng)與非馬爾科夫庫之間的失諧量制備量子比特間的高度糾纏態(tài)，進(jìn)而完成量子信息處理的任務(wù).

非馬爾科夫庫；誘導(dǎo)糾纏；純度

0引言

在量子信息和量子計(jì)算理論中，糾纏起著非常重要的作用，是量子信息和量子計(jì)算得以實(shí)現(xiàn)的基本資源[1].而實(shí)際的量子系統(tǒng)不可避免的會(huì)與周圍環(huán)境作用，因此，研究開放系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)是非常有實(shí)際意義的[2].一般來講，與環(huán)境的相互作用會(huì)導(dǎo)致量子體系的退相干[3]和糾纏死亡[4-5]，這對(duì)應(yīng)用量子糾纏實(shí)現(xiàn)量子信息處理是極為不利的.然而，事物大凡具有兩重性，系統(tǒng)與環(huán)境的相互作用會(huì)破壞量子體系的糾纏，但是另一方面，環(huán)境也為兩個(gè)沒有直接相互作用的體系提供了間接的耦合方式.近來的研究發(fā)現(xiàn)，在開放系統(tǒng)中環(huán)境不僅可以破壞糾纏也可以誘導(dǎo)糾纏[6-9].這為在開放量子系統(tǒng)中制備糾纏開辟了新的途徑.

眾所周知，開放系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)關(guān)鍵是依賴于其所耦合系統(tǒng)的類型[10].馬爾科夫環(huán)境具有的特點(diǎn)是：環(huán)境的特征關(guān)聯(lián)時(shí)間比系統(tǒng)的短的多，也就是說環(huán)境沒有記憶.然而，在光子帯隙材料[11]、高Q腔系統(tǒng)[12]、固體系統(tǒng)[13]和自旋浴[14]等許多物理體系中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)非馬爾科夫環(huán)境，其具有的特點(diǎn)是：環(huán)境的關(guān)聯(lián)函數(shù)的時(shí)間尺度比系統(tǒng)的消相干時(shí)間尺度大幾個(gè)數(shù)量級(jí).以至于非馬爾科夫環(huán)境具有明顯的記憶效應(yīng)，其典型特點(diǎn)在于其可以反饋部分信息回系統(tǒng).正是由于這個(gè)原因，非馬爾科夫糾纏動(dòng)力學(xué)的研究越來越受到大家的重視[15-16].

在文獻(xiàn)[6-9]中，作者們考慮了兩個(gè)無相互作用的量子比特與同一個(gè)處于熱平衡的馬爾科夫庫耦合組成的系統(tǒng)，研究發(fā)現(xiàn)環(huán)境可以誘導(dǎo)糾纏.然而，這樣產(chǎn)生的糾纏只能持續(xù)很短一段時(shí)間，并且產(chǎn)生糾纏的最大值也很小.這就嚴(yán)重影響了其在量子隱形傳態(tài)[1]、量子密集編碼[1]和量子密碼術(shù)[1]等許多量子信息處理中的應(yīng)用.幸運(yùn)的是，非馬爾科夫環(huán)境的記憶效應(yīng)提供了一個(gè)有效延長(zhǎng)糾纏有效時(shí)間的可能途徑[16-18].因此，研究非馬爾科夫環(huán)境的記憶效應(yīng)對(duì)誘導(dǎo)糾纏的影響就成了必然.文獻(xiàn)[19]中，考慮了兩個(gè)無相互作用的二能級(jí)系統(tǒng)與同一個(gè)非馬爾科夫庫非共振耦合組成的系統(tǒng)，研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于只含有一個(gè)激發(fā)子的兩體分離態(tài)，非馬爾科夫庫比馬爾科夫庫誘導(dǎo)的糾纏要高得多.但是，在此系統(tǒng)中兩個(gè)量子體系都是以純態(tài)作為初始態(tài)，而由于量子系統(tǒng)與環(huán)境不可避免的相互作用，退相干和耗散都很容易使純態(tài)演化成混合態(tài).因此，考慮初始處于混合態(tài)的兩體系統(tǒng)，研究非馬爾科夫庫誘導(dǎo)的糾纏是非常有意義的.

1 物理模型

在此研究無相互作用的兩個(gè)量子比特系統(tǒng)與同一個(gè)處于零溫的玻色庫耦合的情況，如圖1所示.整個(gè)系統(tǒng)的哈密頓為（h =1）

其中，ω0是兩能級(jí)系統(tǒng)的躍遷頻率，和1,2)分別為第j個(gè)量子比特的反轉(zhuǎn)、上升和下降算符；和ak分別是環(huán)境庫第k個(gè)模(頻率為ωk)的產(chǎn)生和湮滅算符，gk是耦合系數(shù).此外，第j個(gè)量子比特與庫的耦合強(qiáng)度用無量綱的系數(shù)αj表示.

圖1 物理模型示意圖

如果第一個(gè)量子比特處于激發(fā)態(tài)，第二個(gè)量子比特處于基態(tài)，環(huán)境庫處于真空態(tài)，即整個(gè)系統(tǒng)初始處于：

在式（1）所示哈密頓的支配下，則演化為：

文中考慮電磁場(chǎng)在一個(gè)中心頻率為ω0的不完美光學(xué)腔中的情形，其譜密度為洛倫茲分布的形式，即：

其中，Δ是躍遷頻率ω0與腔中心頻率之間的失諧. γ0是馬爾科夫衰減系數(shù).λ表示耦合的譜寬度，它與庫的特征時(shí)間相關(guān)，即τR=λ－1.一般可以分為弱耦合和強(qiáng)耦合兩種機(jī)制.弱耦合機(jī)制下 （γ0＜λ/2），系統(tǒng)表現(xiàn)的是馬爾科夫動(dòng)力學(xué)伴隨著不可逆的衰減；強(qiáng)耦合機(jī)制下（γ0＞λ/2），表現(xiàn)的是非馬爾科夫動(dòng)力學(xué)伴隨著振蕩的可逆衰減.在此，重點(diǎn)討論非馬爾科夫情況.通過求解薛定諤方程可以得到：

在此，令兩量子比特系統(tǒng)初始處于：

而環(huán)境庫處于真空態(tài)，其中d2描述量子比特1處于激發(fā)態(tài)的布居.在式（1）所示哈密頓的支配下，系統(tǒng)的態(tài)演化為：

2 非馬爾科夫環(huán)境誘導(dǎo)糾纏

為了討論環(huán)境誘導(dǎo)的糾纏，在此選擇concurrence[20]來量度兩比特之間的糾纏.它的定義為：

其中，λi（i=1，2，3，4)是矩陣按降序排列的本征值，σy為泡利自旋矩陣，星號(hào)表示復(fù)共軛.由此，式（3）所示量子態(tài)的concurrence為：

由此可以看出，系統(tǒng)concurrence C（t）與量子比特1處于激發(fā)態(tài)的布居d2成正比.而對(duì)于混合態(tài)而言，純度是一個(gè)非常重要的物理參量.對(duì)于任意的量子態(tài)ρ其定義P（ρ）＝tr（ρ2）[21].式（2）所示量子態(tài)的純度為：

圖2給出了兩量子比特系統(tǒng)糾纏與純度之間的關(guān)系曲線，其中α1=α2=1；λ=0.1γ0；Δ=10γ0.當(dāng)d2< 0.5時(shí)，糾纏隨著純度P的增大而減?。欢?dāng)d2>0.5時(shí)糾纏會(huì)隨著純度P的增大而增大.原因在于當(dāng)d2<0.5時(shí)，導(dǎo)致純度增大的原因是量子比特1處于基態(tài)布居的增大，而當(dāng)d2>0.5時(shí)，導(dǎo)致純度增大的原因是量子比特1處于激發(fā)態(tài)布居的增大.

圖2 系統(tǒng)concurrence隨著初態(tài)的純度和時(shí)間變化的曲線

另一個(gè)有趣的現(xiàn)象是，當(dāng)量子比特系統(tǒng)與庫非共振耦合時(shí)，非馬爾科夫環(huán)境誘導(dǎo)的糾纏比馬爾科夫環(huán)境誘導(dǎo)的糾纏大得多.圖3給出了對(duì)于不同的失諧量，在馬爾科夫和非馬爾科夫機(jī)制下，誘導(dǎo)糾纏隨著時(shí)間的變化曲線.在馬爾科夫機(jī)制下，即使考慮失諧效應(yīng)，環(huán)境誘導(dǎo)的糾纏也不足以用來完成一些量子信息處理任務(wù).例如，利用此糾纏態(tài)將不能實(shí)現(xiàn)量子隱形傳態(tài)，因?yàn)楸Ｕ娑刃∮?/3.然而，與馬爾科夫情況不同，在非馬爾科夫機(jī)制下，由耗散環(huán)境誘導(dǎo)的糾纏經(jīng)過后趨于一個(gè)有限值，原因在于量子比特系統(tǒng)與非馬爾科夫庫之間信息的來回流動(dòng).特別是，當(dāng)失諧不為零時(shí)，誘導(dǎo)糾纏的最大值會(huì)隨著失諧量的增大而增大.其內(nèi)在物理機(jī)制是非馬爾科夫環(huán)境的記憶效應(yīng)和系統(tǒng)與庫的失諧抑制了像自發(fā)輻射等一些不可逆過程[17,18,22].

3結(jié)論

圖3 對(duì)應(yīng)于不同的失諧量Δ，環(huán)境誘導(dǎo)的糾纏關(guān)于無量綱量γ0t的變化曲線圖

研究了無相互作用的兩個(gè)量子比特系統(tǒng)與同一個(gè)處于零溫的非馬爾科夫庫耦合所組成系統(tǒng)的糾纏動(dòng)力學(xué).結(jié)果表明，當(dāng)兩比特系統(tǒng)與非馬爾科夫庫非共振耦合時(shí)，可以誘導(dǎo)兩比特間的高度糾纏.并且，非馬爾科夫環(huán)境下的最大值遠(yuǎn)大于馬爾科夫的情況.總之，在非馬爾科夫機(jī)制下，可以通過適當(dāng)?shù)脑黾邮еC量以獲得比較高的糾纏.文中研究的模型是量子光學(xué)中的基本模型，研究結(jié)果對(duì)在開放環(huán)境中制備系統(tǒng)糾纏和實(shí)現(xiàn)量子信息處理都有重要參考價(jià)值.

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Purity dependence of entanglement generation in non-Markovian environment

LI Yan-ling,XU Zhong-hui,HUO Liang(Faculty of Information Engineering,Jiangxi University of Science and Technology,Ganzhou 341000,China)

We consider the model of two uncoupled qubits system interacting with a common zero-temperature non-Markovian reservoir.For an initially factorized two-qubit mixed state,the entanglement can be induced by non-Markovian environment.And its value is highly dependent on the initial purity of the system.Moreover, the entanglement induced by non-Markovian reservoir is much larger than that induced by Markovian reservoir.The maximal value of the induced entanglement increases with the increasing of detuning.The study shows that highly entangled states which are essential to implement some quantum information processing,can be induced by increasing the detuning between the system and the non-Markovian reservoir.

non-Markovian environment;induced entanglement;purity

O431.2

A

2095-3041（2014）00-0090-04

10.13265/j.cnki.jxlgdxxb.2014.01.015

2013-07-17

國家自然科學(xué)基金理論物理專項(xiàng)(11247207)；江西理工大學(xué)科研基金項(xiàng)目(jxxj12056)

李艷玲（1981- ），女，博士，講師，主要從事量子光學(xué)和量子信息等方面的研究，E-mail:liyanling0423@gmail.com.