推理閉包子空間的基本性質及其交并運算

高 超，趙 彬

(陜西師范大學數學與信息科學學院，陜西西安 710062)

模糊命題演算系統是模糊邏輯學中一個重要研究方面。典型的模糊命題演算系統有Lukasiewicz模糊命題演算系統［1］，模糊命題演算的形式演繹系統［2］，基礎模糊命題演算系統BL*［3］等。吳洪博教授通過對命題演算系統L*共同特征的研究［4－5］提出了基于命題演算系統的一種推理閉包算子，并且建立了一般非空集合上的推理閉包空間［6］，并在推理閉包空間之間引入了連續映射［7］。本文結合拓撲學的思想和方法［8－12］，研究了推理閉包子空間的基本性質及它們之間連續映射的性質。進一步通過推理閉包空間中的兩個子空間的交集和并集運算，探索了推理閉包空間中兩個子空間與它們的交集(并集)形成的推理閉包子空間的關系，給出了交集(并集)上的結論閉域形式，這有助于更深入地理解全體推理閉包子空間的結構，為范疇論中研究萬有空間做了必要的準備。

1 預備知識

定義1［6］設X是一個非空集合。若c:2X→2X，滿足條件:

1)c(?)≠?;

2)?A∈2X，A?c(A);

3)?~D?2X，如果~D是2X的定向子集，c(∪~D)=∪D∈~Dc(D);

4)?A ∈2X，c(c(A))=c(A)，則稱c為X上的一個推理閉包算子，這里2X為X的冪集，稱c(A)為A的推理閉包。

定義2［6］設X是一個非空集合。c:2X→2X為X上的一個推理閉包算子，則稱集族~F={F∈2X|c(F)=F}為集合X上由c誘導的結論閉域，并稱(X，~F)為X上的推理閉包空間，~F中的元素稱為推理閉包空間(X，~F)中的結論閉集。

定義3［6］設(X，~F)是非空集合X上的推理閉包空間，?A∈2X，稱集合∩{F∈~F|A?F}為A的信息閉包，記為ˉA。

定義4［6］設(X，~F1)，(Y，~F2)是兩個推理閉包空間，f:X→Y是映射。若對于Y中的任意結論閉集F，f－1(F)是X的中結論閉集，則稱f是從X到Y的一個連續映射。

定理1［6］設(X，~F)是非空集合X的一個推理閉包空間，則以下性質成立:

1)X ∈ ~F，? ? ~F;

2)~F對非空定向并封閉，即若{Fi|i∈I}是~F中的一個非空定向集族，則∪{Fi|i∈I}∈~F;

3)~F對任意交封閉，即:若{Fi|i∈I}?~F，則∩ {Fi|i∈ I}∈ ~F。

注1 由定理1性質3知，?{Fi|i∈I}?~F，c(Fi)=Fi，則c(∩Fi)=∩Fi=∩c(Fi)，即c保交。

定理2［6］設(X，~F)是推理閉包空間，c:2X→2X是X上的推理閉包算子，則?A∈2X，ˉA=c(A)。

定理3［7］設(X，~F1)，(Y，~F2)，(Z，~F3)是推理閉包空間，則

1)恒同映射iX:X→X是一個連續映射;

2)如果f:X→Y和g:Y→Z都是連續映射，則g·f:X→Z也是連續映射。

2 推理閉包子空間的基本性質

命題1 設c:2X→2X是X上的推理閉包算子，設Y是X的一個非空子集，且c(?)∩Y≠?。定義c|Y:2Y－2Y為?A∈2Y，c|Y(A)=c(A)∩Y，則c|Y是Y上的推理閉包算子。

證 明 1)c|Y(?)=c(?)∩Y≠?;

2)?A∈2Y，c|Y(A)=c(A)∩Y?A∩Y=A;

c|Y(∪)=c(∪)∩Y=(∪D∈~Dc(D))∩ Y=∪D∈~D(c(D)∩ Y)=∪D∈~Dc|Y(D);

4)?A ∈2Y，

則由定義1知c|Y是Y上的推理閉包算子。

注2 由命題1及定義2知，集族~FY={A∈2Y|c|Y(A)=A}={A∈2Y|c(A)∩Y=A}是集合Y上由c|Y誘導的結論閉域，則~FY={A∈2Y|c(A)∩Y=A}={A∈2Y|?F∈2Y，s．t．c(A)=F，F∩Y=A}={F∩Y|F∈ ~F}。

定義5 設c:2X→2X是X上的推理閉包算子，(X，~F)為由c誘導的推理閉包空間，c|Y:2Y→2Y。設Y?X且c)∩Y≠?，定義={F∩Y|F∈~F}，則稱是集合Y上由c誘導的相對結論閉域，并稱(Y)是(X，~F)的一個推理閉包子空間。

2)如果含入映射i:Y→X是一個連續映射，則~FY?~F2。

因此，相對結論閉域是使含入映射連續的最小結論閉域。

食品科學與技術行業相關專家表示，中國食品工業要提質增效就要走出去，“一帶一路”增加了我國食品走向世界的機會，食品的全球化將有效推動食品產業向規?；?、集約化發展，有助于我國食品企業更好地掌握全球食品需求動態，掌握食品產業現狀，促進企業發展。

2)對任意V∈~FY，則存在V'∈~F1使得V=V'∩Y，因為i:Y→X是連續映射，則i－1(V')=V'∩ Y∈ ~F2，故V=V'∩Y=i－1(V')∈ ~F2，所以 ~FY?~F2。

注3 由子對象［13］的定義和定理4(1)知，推理閉包子空間((Y，~F2)，i)是推理閉包空間(X，~F1)的子對象。

定理5 設(X，~F)是推理閉包空間，如果Y是X的推理閉包子空間，Z是Y的推理閉包子空間，則Z是X的一個推理閉包子空間。

證 明 當Y是X的推理閉包子空間，Z是Y的推理閉包子空間，有Z?Y?X。設~F是X的結論閉域，則Z的結論閉域是(~FY)Z={F∩Z|F∈~FY}={F∩Z|T∈~F，F=T∩Y}={T∩Y∩Z|T∈~F}={T∩Z|T∈~F}=~FZ，則Z是X的一個推理閉包子空間。

注4 定理5說明推理閉包空間具有傳遞性。若((Y，~FY)，f)是(X，~F)的子對象，((Z，~FZ)，g)是(Y，~FY)的子對象，則((Z，~FZ)，f·g)是(X，~F)的子對象。

定理6 設(Y，~FY)是推理閉包空間(X，~F)的一個子空間，A是Y的一個子集，則A在Y中的信息閉包是A在X中信息閉包與Y的交。

證 明 記A在X中的信息閉包為ˉA，A在Y中的信息閉包為cY(A)，則cY(A)=∩{F'∈~FY|A?F'}=∩{F∩Y|F∈~F，A?F∩Y}=∩{F∩Y|F∈~F，A?F}={∩{F∈~F|A?F}}∩ Y= ˉA ∩ Y。

引理1 設(X，~F1)和(Y，~F2)是兩個推理閉包空間，c1:2X→2X，c2:2Y→2Y分別是X和Y上的推理閉包算子，~F1和~F2分別是X和Y上由c1和c2誘導出的結論閉域，f:X→Y且f(X)是Y的推理閉包子空間，則f:X→Y是連續映射當且僅當f:X→f(X)是一個連續映射。

證 明 必要性:設f:X→Y是連續映射，f(X)?Y，f(X)是Y的推理閉包子空間。設U?f(X)是f(X)的結論閉集，則U∈~F2，因為f連續，所以f－1(U)∈ ~F1，則f:X→f(X)是一個連續映射。

充分性:設f:X→f(X)是一個連續映射，f(X)是Y的推理閉包子空間，設V是Y的結論閉集，則V∩f(X)是f(X)的結論閉集，而f－1(V∩f(X))=f－1(V)∩ f－1(f(X))=f－1(V)是 X 的結論閉集，所以f:X→Y是連續映射。

引理2 設(X，~F1)和(Y，~F2)是2個推理閉包空間，c1:2X→2X和c2:2Y→2Y分別是X和Y上的推理閉包算子，~F1與~F2分別是X和Y上由c1和c2誘導出的結論閉域，A是X的一個推理閉包子空間，若f:X→Y連續，則f|A:A→Y連續。

證 明 若f:X→Y是一個連續映射，設U∈~F2，則 f－1(U)∈ ~F1，(f|A)－1(U)=(f|A)－1(U ∩f(A))=f－1(U)∩ A ? A，且 f－1(U)∩ A ∈ ~F1，則f|A:A→Y是一個連續映射。

定義6 設X和Y是2個推理閉包空間，如果f:X→Y是一個一一映射，并且f和f－1:Y→X都是連續的，則稱f是一個同胚映射或同胚。

定理7 設(X，~F1)和(Y，~F2)是2個推理閉包空間，A是X的一個推理閉包子空間，則:

1)如果映射f:X→Y是一個同胚，則映射f|A:A→f(A)也是一個同胚;

2)如果X可嵌入Y，則X的任何一個推理閉包子空間也可嵌入Y。

證 明 1)因為f:X→Y是一個同胚，則f|A:A→f(A)是一個在上的一一映射，由引理1和引理2結果知:映射f|A是連續的，下證(f|A)－1:f(A)→A是一個連續映射。設?V∈~F1|A，即存在V'∈ ~F1，使得 V=V'∩ A? A則((f|A)－1)－1(V)=(f|A)(V)=f(V)=(f－1)－1(V)，由于 f－1是連續映射，因此(f－1)－1(V)∈ ~F2，且(f－1)－1(V)=f(V) ? f(A)。 所 以 ((f|A)－1)－1(V)∈ ~F2|f(A)，故映射 f|A:A → f(A)也是一個同胚。

2)設f:X→Y是一個嵌入，A是X的任何一個推理閉包子空間，且f|A:A→f(A)，由結論1)知f|A是A到(f|A)(A)的一個同胚，所以A可嵌入Y。

3 推理閉包子空間的交并運算

對于推理閉包子空間而言，子空間作為子集，自然也有交集與并集運算，那么推理閉包空間中兩個子空間與它們的交集(并集)形成的子空間有何關系，研究這一問題對進一步認識和完善推理閉包空間子空間的結構理論有著重要意義。

定理8 設(X，~F)是一個推理閉包空間，c是X上的推理閉包算子，~F是集合X上由c誘導的結論閉域。設Y，Z?X且c(?)∩Y≠?，c(?)∩Z≠?，即(Y，~FY)和(Z，~FZ)是(X，~F)的兩個推理閉包子空間。記Y∧Z={U'∩V'|U'∈~FY，V'∈ ~FZ}，則~FY∧~FZ是Y∩Z上的由c誘導的相對結論閉域，即~FY∧=Y∩Z。

證 明 由推理閉包子空間的定義可知:

由定理1［6］知，~F對任意交封閉，?U，V∈~F，(U∩V)∩(Y∩Z)∈~FY∧~FZ，則U∩V∈~F，所以 U ∩ V ∈ ~FY∩Z，則 ~FY∧ ~FZ? ~FY∩Z。

反過來，設W∈~FY∩Z，則存在W'∈~F，使得W=W'∩(Y∩Z)。W=(W'∩Y)∩(W'∩Z)∈~FY∧ ~FZ，即? ~FY∧。

由推理閉包子空間定義知，~FY∩Z是由c誘導的Y∩Z上的相對結論閉域，由上述證明知~FY∧=，則∧也是由c誘導的Y∩Z上的相對結論閉域。

定理9 設(X，F~)是一個推理閉包空間，c是X上的推理閉包算子，F~是集合X上由c誘導的結論閉域。{Yi|i∈I}是X的一族非空定向集，且(Yi)(i∈I)是(X，F~)的推理閉包子空間，記∨↑

i∈IF~Yi={∪i∈IVi|Vi∈}，其中{Vi∈|i∈I}構成定向集族，則∨↑i∈是 ∪i∈IYi上由 c誘導的相對結論閉域，即=∨↑i∈I。

另一方面，設{Vi∈|i∈I}是定向的，則?i∈ I，?V'i∈ F~，s．t．ViV'i∩ Yi，則 ∪i∈IVi∈∨i∈I，且有 c|∪jIYj(∪i∈IVi)=c(∪i∈IVi)∩∈

所以 ∪i∈IVi∈。

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