基于粒子群算法的指數平滑系數優化方法

高春雷，安 泰，向 兵，董 杰，梁羅希，范訓禮

(1．國電南瑞科技股份有限公司，江蘇南京 001111;2．西北大學信息科學與技術學院，陜西西安 710127)

指數平滑方法是時間序列分析的重要方法，在經濟預測、電力計量設備需求預測、能源節約等方面有著廣泛的應用。平滑系數是指數平滑算法中的重要參數之一，其取值可在［0，1］范圍內確定，它的選擇決定預測的準確性。傳統方法中平滑系數是由人工指定，其缺點表現在依賴人工經驗、不具有動態性。因此很多學者對平滑系數進行了研究，尋求平滑系數的自動優化算法，并取得了顯著的成果。常用的平滑系數自動優化算法有:黃金分割法、Fibonacci法、切線法、二分法等［9］。這些自動優化算法可以在短時間內求出平滑系數的較優值，但僅限于平滑系數取值為單極值的情況，當平滑系數取值為多極值時，這些算法不能保證求出的值收斂于最優平滑系數。因此，要對平滑系數進行更加深入的研究，以便找到更好的自動優化算法。

本文采群智能算法之一的粒子群算法來求解指數平滑算法中的平滑系數，充分利用群智能算法全局尋優的特點，求解平滑系數的最優值。實踐證明，改進的粒子群算法求出的平滑系數可以使指數平滑算法預測的數據更加的準確，同時可以避免在平滑系數取值為多極值的情況下一維搜索算法不能找到最值的情況。

1 指數平滑算法概述

指數平滑法是對預測對象的全部歷史序列數據通過加權平均從而進行預測的一種方法。所有的指數平滑法都是要更新上一時間步長的計算結果，并使用當前時間步長的數據中包含的新信息。新的數據是通過新舊信息的“通信”得到的，新舊信息所占比例是由平滑系數來控制的，可見平滑系數對預測值的影響至關重要。本文采用二次平滑算法對數據進行預測，也就是在一次平滑的基礎上進一步平滑，調整預測值。二次指數平滑模型如下:

由最后得到的平滑值S(1)t和S(2)t計算得出。式(2)中的 ^Xt+T表示對第t+T個值進行預測，T=1時就代表對樣本序列之后的第一個數據進行預測。

通過上面的模型可以看出，預測值的影響因素有:①平滑系數α的確定。α值的大小，直接反映出了不同時間段數據的變化趨勢。②初值S0的確定。根據大量實驗證明，在指數平滑預測過程中，如果已知的時間序列值較多，則初始值S0對后期預測結果的影響相對較小，但當時間數列項數較少時，其影響亦不能忽視［2］。

在確定預測模型后，還需要確定預測模型的精度評價指標，在相同精度評價指標下，利用算法對不同取值的平滑系數進行求解，選出評價指標最好值對應的平滑系數作為當前預測序列的最優值。本文采用最小預測誤差平方和(SSE)［11］作為評價指標，來求解平滑系數，在并此基礎上利用指數平滑算法對下一時間序列的數據進行預測。

2 基于粒子群的求解平滑系數求解算法

2．1 粒子群算法簡述

粒子群算法PSO(partical swarm optimization)，是近年來發展起來的一種新的進化算法，由Eberhart博士和Kennedy博士于1995年提出，其源于對鳥群捕食的行為研究［12］。所有的粒子都有一個由被優化的函數決定的適應值(fitness value)，每個粒子還有一個速度決定他們運行的方向和距離，然后粒子們就不斷的向當前的最優粒子在解空間中的位置趨近。在每一次迭代中，粒子通過兩個“極值”的位置來更新自己在解空間中的位置，其中一個就是粒子本身所找到的最優解，這個解叫做局部極值pBest，另一個極值是整個種群目前找到的最優解，這個極值是全局極值gBest。再根據下式來更新粒子的速度和位置。

其中:V是粒子的速度;Present是粒子的當前位置;p Best為局部最優值;g Best為全局最優值;rand()是產生(0，1)之間的隨機數的函數;c1和c2被稱作學習因子，一般的取值為:c1=c2=2;w是加權系數(慣性權重)，取值在0.1到0.9之間。粒子通過兩個最優值的位置來更新，在更新過程中粒子每一維的最大速率限制為Vmax，如果某一維更新后的速度超過設定的Vmax，那么這一維的速度就被限定為Vmax，最終飛至解空間中最優解所在的位置，搜索過程結束。最后輸出全局最優解g Best。

2．2 基于粒子群的求解平滑系數求解算法

粒子群算法對于求解平滑系數可以看作粒子在一維的空間中進行搜索，由于平滑系數的取值在0與1之間，則空間的范圍為［0，1］，為了更加準確地找到空間中的最優解取粒子的速度范圍為［0.05，0.1］，根據大量的實驗證明，空間中的粒子數取值在10～20間時，粒子可以更好地找出解空間的最優值，因此，對于平滑系數的求解我們也把解空間分為10段，每段隨機地取一個值作為初始值，使用二次平滑算法進行預測計算，求出預測值與實際值的誤差平方和，把由這些平滑系數計算出的誤差平方和最小的那個對應的平滑系數作為本次運算最好值。利用粒子群算法的基本公式不斷進行迭代，當迭代次數達到給定值或達到預期給定的精度值時迭代結束，輸出最優解。

對于基本的粒子群算法求解平滑系數，在α的解空間為單極值時基本粒子群算法和一維搜索算法都可以很好地找到空間中趨近最優解的值。但是，當α的解空間中存在多極值時基本粒子群算法可以比一維搜索算法以更高的概率找到空間中趨近最優解的值，也就是說基本粒子算法也不能保證每次找到收斂到最優解附近的值，因此要對基本的粒子群算法進行改進，以便算法更加準確地找到趨近最優平滑系數的值。

基本的粒子群算法在搜索的過程中，每個粒子都不斷在當前粒子歷史最優位置和全局粒子歷史最優位置的影響下向同一點趨近，當α的解空間存在多極值的情況下，搜索粒子可能趨向的位置只是極值并不是最值，這樣粒子就陷入了局部最優即陷入“早熟”。為了解決這一問題，很多學者進行了研究，文獻［13］中提出了對基本粒子群算法進行變異的思想，其基本思想為:在粒子搜索的過程中，如果全局粒子最優位置連續m次沒有改變，則要對粒子的全局最優位置進行一次變異，避免其陷入局部最優。這種變異算法不足在于迭代次數不能太少，迭代數次太少則算法的變異時機m取值太小，從而導致算法失去了變異的能力，不能達到預測的效果，迭代次數太多則影響算法執行的效率。本文借鑒文獻［14］中提出的限制作用域的思想，并綜合黃金分割法的思想，對基本粒子群算法速度更新公式進行改進，改進后的速度更新公式如下

注:當隨機概率大于0.5時，η為正;否則，η為負。

改進的粒子群算法思想為:把平滑系數的解空間分為10段，每段初始化2個粒子，依變異概率Pm選擇一個粒子進行變異，變異的粒子按公式(5)改變其運行速度，并限制粒子的運行空間，使粒子在其作用域當中不斷的根據歷史最優點來更新自己的位置，另一個粒子則按原始公式(4)改變其運行速度，不斷向全局最優解趨近，最后對比變異粒子與普通粒子的預測誤差平方和，找出最趨近全局最優解的值，作為最優平滑系數輸出。這樣既保證了粒子搜索的全局性又不會讓粒子陷入局部最優。

算法描述如下:

Step1 選定初始值S0及10個空間段中的20 個初始平滑系數 αi(i=0，1，2，…，20)，每段隨機出兩個粒子;

Step2 依概率Pm選擇各段中一個粒子作為變異粒子，利用二次指數平滑法對所有粒子，在特定平滑系數α下計算預測值，并計算預測值與實際值間的誤差平方和，對于各段中未選中的粒子，同樣把它們對應的平滑系數作為初始局部最優解pBest1，同時還要對比它們計算出的預測值與實際值間的誤差平方和，把誤差平方和最小值對應的平滑系數作為全局最優解gBest1;對于各段中選定的變異粒子，把其對應的平滑系數作為初始局部最優解pBest2;

Step3 對于各段中未選中的粒子，按式(3，4)更新粒子的位置，并計算誤差平方和，根據誤差平方和的優劣更新粒子的局部最優解pBest1和全局最優解gBest1;對于各段中選中的變異粒子，按式(4，5)更新粒子的位置，并計算誤差平方和，根據誤差平方和的優劣更新粒子的局部最優解pBest2;

Step4 當迭代次數達到預定的迭代次數時轉下一步;否則，轉Step3繼續循環;

Step5 求解各段中變異粒子的最優解pBest2的預測誤差平方和并進行比較，選出全局最優解 gBest2，對比兩個全局最優解gBest1和gBest2，選出預測誤差平方和值較小的那個作為全局最優解輸出，并利用全局最優解預測給定時間序列的下一數據值輸出。

3 數據測試及結果分析

本文采用的數據分別來自天拓咨詢統計的2010年到2012年全社會電量數據表(原數據見:http://www．tianinfo．com/news/news4116．html)、中國產業洞察網統計的各行業單月用電量數據表(原 數 據 見:http://www．51report．com/free/3014608．html)、中電聯長江證券研究部統計的重點行業用電產業表(原數據見:http://pg．jrj．com．cn/acc/Res/CN－RES/INDUS/2013/4/21/29a1cc75－cb6c－4028－8d9c－421f62f1b881．pdf)等，這些數據都是權威網站的統計數據，具有事實說服力。

3.1 數據測試

以中國產業洞察網統計的各行業2010年、2011年單月用電量數據為預測的歷史數據，2012年單月用電量作為預測數據，分別用典型的一維自動尋優算法黃金分割法、文獻［12］中提出的改進粒子群算法以及本文提出的改進粒子群算法進行數據，并與實際數據相比較得到如下的對比圖。

圖1 各產業單月用電情況及預測值Fig．1 Mon thly electricity consumption in various industries and predictive value

3.2 結果分析

從以上不同算法求出的平滑系數進行預測的值與實際值對比的折線圖可以看出，在相同迭代次數下，改進的粒子群算法要比基本粒子群算法、一維黃金分割法以及文獻［12］中提出的變異粒子群算法預測的數據更為準確。

4 結語

本文針對指數平滑算法的典型問題之一的平滑系數如何確定的問題進行了研究，采用群智能算法之一的粒子群算法，并針對現有算法及基本粒子群算法求解平滑系數的不足之處進行了改進，同時避免了文獻［12］中變異粒子群的缺陷。通過編程及對實際數據的仿真實驗，得出本文提出的改進粒子群算法可以比一般算法更加準確地求出收斂于最優平滑系數的值，且可以避免算法中的“早熟”現象，本文研究成果已應用在“計劃模型軟件”系統中，用于基于歷史數據的電力計量裝置需求預測，取得良好的應用效果。

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