灰色線性回歸組合模型在北京地面沉降分層預測中的應用

周 毅，羅 鄖，賈三滿，田 芳

（1．北京大學地球與空間科學學院，北京 100871；2．北京市水文地質工程地質大隊，北京 100195；3．中國地質環(huán)境監(jiān)測院，北京 100081）

1982年，中國學者鄧聚龍教授創(chuàng)立了灰色系統(tǒng)理論，這是一門新興的橫斷學科，是研究少數據、貧信息不確定性問題的新方法[1]。經過劉思峰、林益等學者的努力使灰色系統(tǒng)理論不斷完善和發(fā)展，同時基于該理論形成了GM(1,1)模型，GM(0，N)模型、verhulst模型等灰色預測模型并被廣泛應用于自然科學、社會科學、工程技術等各個領域。

地面沉降是一個復雜地、系統(tǒng)地過程。誘發(fā)地面沉降的因素有很多，有土體天然固結、有地下水過度開采、有工程建設荷載等等?？傊@是一個包含土層—地質作用—人類活動的復雜系統(tǒng)[2]。那么復雜系統(tǒng)就涉及到許多的未知因素，包括相互關系未知，結果為未知等，因此利用灰色系統(tǒng)理論將其概化為一個單純的數學模型來進行預測就很有意義。例如，郭小萌[3]進行了基于矩陣的GM(1,1)模型對北京市平原區(qū)進行了地面沉降預測，取得了較好的效果。宮相霖[2]利用灰色系統(tǒng)建立了地面沉降與地下水位變化的映射GM(1,2)模型對上海的地面沉降發(fā)展態(tài)勢進行了預測。

本文以北京地面沉降監(jiān)測站分層監(jiān)測的數據為支撐。在地面沉降快速發(fā)展階段中，各種因素對地面沉降的影響無法定量表述的情況下，利用GM(1,1)模型與線性回歸模型相組合對地面沉降進行模擬和預測，既能體現階段地面沉降的快速發(fā)展趨勢，又彌補了單一GM(1,1)模型無法能描述變量間的線性關系的缺點。

1 灰色線性回歸組合模型

灰色線性回歸組合模型可以看作是普通均值GM(1,1)模型與線性相組合。針對原始數據按以下步驟建立模型：

（1）設原始數據序列 X(0)有n個監(jiān)測值分別為：

（2）對 X(0)的一階累加（1-AGO）序列 X(1)為：其中

由此可得 X(1)的預測值為：

其中，C1=0時，上式為一元線性回歸模型；當C2=0時，上式為GM(1,1)模型；當C1≠0，C2≠0上式既包含指數增長趨勢，又包含線性項的灰色線性回歸模型。對上式進行一次累減還原即可得到原序列的預測值(0)X 。（6）預測精度檢驗

2 研究實例

2.1 研究區(qū)概況

北京地面沉降最早于上世紀30年代中期發(fā)生在西單—東單一帶，先后經歷形成階段（1955～1973）、發(fā)展階段（1974～1983）、擴展階段（1984～1998）和快速發(fā)展階段（1999年至今）。隨著北京不斷增加的水資源供給需求，地下水過量超采形勢依舊，地面沉降仍呈現快速發(fā)展趨勢。截止2012年北京地面沉降區(qū)分布呈南北兩個大區(qū)：北區(qū)主要包括昌平沙河－八仙莊沉降區(qū)、朝陽來廣營沉降區(qū)和東八里莊－大郊亭沉降區(qū)。區(qū)內最大累計沉降量為1414mm，位于昌平沙河－八仙莊沉降區(qū)內的八仙莊地區(qū)；南部沉降區(qū)主要為大興榆垡－禮賢沉降區(qū)，該沉降區(qū)與河北相鄰地區(qū)連接。區(qū)內最大累計沉降量位于禮賢沉降區(qū)達1137mm[4]。

為實時監(jiān)測地面沉降發(fā)展趨勢，研究地面沉降成因機理，最終實現預警預報系統(tǒng)。北京市先后于2004年和2008年建設完成了順義天竺等7個地面沉降監(jiān)測站。監(jiān)測站內采用基巖標—分層標靜力水準測量系統(tǒng)對各監(jiān)測站所處的地層進行分層監(jiān)測。本文選用北京東部典型沉降區(qū)內某地面沉降監(jiān)測站內分層監(jiān)測數據作為原始數據的來源。具體分層監(jiān)測情況見表1。

表1 地面沉降分層監(jiān)測概況

2.2 建立組合模型A-F

選取該站2004～2012年監(jiān)測的部分標孔累計沉降量監(jiān)測數據作為的原始數據序列(表2)，以分層監(jiān)測標孔為單元建立一階累加（1-AGO）地面沉降模型組。例如：1層監(jiān)測標的1-AGO灰色線性回歸組合模型記為模型A，2層監(jiān)測標的記為模型B，以此類推。具體建模步驟如下：

(1)建立模型A

表2 地面沉降分層監(jiān)測數據（2004～2012年）

2.3 預測結果對比分析

對原始數據序列作1—AGO可得一階累加數據：

基于灰色線性回歸模型的短期預測精度較高的特點，利用模型組A－F模擬2004～2012年的沉降值，并預測2013年的沉降值。因此，將={15.233 54.101 117.609 199.745 303.013 442.284 626.128 867.438 1173.788}令帶入模型組A，可得一階累加沉降值=（18，56.3，113.5，193.7，302.2，445.3，631，868.8，1170.5，1550.6，2027）。對進行一次累減還原，，=(298.6088,-44.5580,-303.7192)

故1-AGO生成序列的灰色線性回歸組合模型A為：，則參數v的估計值=0.20414948，

(2)按模型A的建立方式依次建立模型B－F，具體見表3?？傻?號標孔2004～2013年的累計沉降量分別為18mm，38.3mm，57.2mm，80.2mm，108.5mm，143.1mm，185.7mm，237.8mm，301.7mm，380.1mm。同理，可得2～6號標孔的2004～2013年的累計沉降量（表5）。計算模型組殘差和相對誤差，發(fā)現2004年部分監(jiān)測層位沉降量相對誤差超出了模型一般精度要求，分析原因可能為監(jiān)測初始年，各分層標孔還未穩(wěn)定，因此該數據在數學模型擬合時

表3 1-AGO的灰色線性組合模型

其誤差較大。但2005～2013年各標孔預測模型相對誤差均符合模型要求，且絕大多數相對誤差小于0.1，模型精度達到較高要求。經過后殘差檢驗（表4），各標孔后殘差比均小于0.35，小誤差概率為1，模型符合建模要求，且精度良好。

表4 模型精度評定表

利用該模型組模擬2004～2012年的各監(jiān)測層位累計沉降量，發(fā)現其相對誤差隨著監(jiān)測層位的不斷加深，平均相對誤差值不斷增加。預測2013年的沉降量發(fā)現，地表沉降量（1號標孔）預測結果與實測誤差為6.375mm，占實測結果的1.7%，同時，其它監(jiān)測層位最大累計沉降量相對誤差不超過實測值的6.5%。利用實測結果值與預測結果值建立相關性分析，得出其相關系數 ，說明實測結果與預測結果有著顯著的相關性。

為進一步對比模型精度，將灰色線性回歸組合模型與普通均值GM(1,1)模型進行對比，通過兩種模型分別進行沉降模擬，發(fā)現2004-2012年基于兩種模型的各分層模擬年沉降值平均誤差均在3～4mm左右，模型的精度均很高（圖1）。但通過擬合的數學模型來預測2013年沉降量時，灰色線性回歸組合模型平均誤差為10mm，普通均值GM(1,1)模型平均誤差達32mm。繪制2013年累計沉降量預測與實測對比曲線圖2，可以看出灰色線性回歸組合模型預測未來沉降量時其精度要遠高于GM(1,1)模型（圖2）。

表5 1～6號標孔分層累計沉降量預測結果表（2004～2013年）

3 結論

地面沉降的誘發(fā)因素很多，各種不確定因素均對地面沉降的預測產生影響。在缺乏對地區(qū)地面沉降與其影響因素定量研究的基礎上，采用灰色線性回歸組合模型對地面沉降進行預測是切實可行的。本文利用灰色線性回歸組合模型對北京東部某典型地面沉降區(qū)內地層進行分層沉降模擬，發(fā)現利用組合模型進行預測其精度要高于普通均值GM(1,1)模型。同時，由于該方法建立在少樣本，貧數據的基礎上，因此只需要利用單一的累計沉降量數據，通過發(fā)掘其序列監(jiān)測值內在的關聯，建立數學模型，即可模擬預測未來的沉降量。在精度上，地表沉降量（1號標孔）短期預測結果與實測誤差為6.375mm，占實測結果的1.7%，精度達到很高的水平，因此，只要不斷引入監(jiān)測數據對模型進行適度校正，即可利用該模型預測未來短期內的沉降量

圖1 兩組模型分層預測結果與實測結果對比

圖2 兩組模型預測2013年沉降量結果與實測結果對比

[1]劉思峰,謝乃明等.灰色系統(tǒng)理論及其應用[M].北京：科學出版社,2013.

[2]宮相霖,董榮鑫.灰色系統(tǒng)在地面沉降分析中的應用[J].上海地質,2003,3：16～21.

[3]郭小萌,宮輝力,朱 鋒等.基于矩陣的GM(1,1)模型預測地。面沉降[J].水文地質工程地質,2013,40(6)：101～105.

[4]羅 勇,周 毅,田 芳等.北京地面沉降監(jiān)測年度報告(2012年)[R].北京市水文地質工程地質大隊,2013.

[5]陳 博,王建國.灰色線性回歸組合模型算法研究[J].西安文理學院學報：自然科學版,2012,15(1)：82～85.

[6]馬保卿,張 蔭.灰色線性回歸組合模型在地面沉降預測中的應用[J].鐵道勘察,2008,5：20～22.

[7]劉國仕,何亮云,薛建華等.灰色線性回歸組合模型在沉降監(jiān)測中的應用[J].長沙理工大學學報（自然科學版,2012,12：32～36.