基于B樣條插值的高精度型面測量路徑規劃

李建普

（河南省機械設計研究院有限公司，河南 鄭州 450002）

基于B樣條插值的高精度型面測量路徑規劃

李建普

（河南省機械設計研究院有限公司，河南 鄭州 450002）

為了解決型面檢測時測量路徑的規劃問題，提高型面測量的效率和精度，本文針對單光束激光三角法非接觸式型面檢測專用測量系統，提出了基于B樣條曲線插值的測量路徑規劃模型。針對影響單光束激光測量精度和效率的因素：景深范圍、測頭傾角等，利用B樣條曲線插值模型規劃出測量點的位置，使測量運動路徑緊密結合型面曲率變化，提高了實際測量精度及效率，解決了大型型面測量的路徑規劃難題。

型面檢測；路徑規劃；B樣條插值；激光三角法

隨著激光三角法測量技術非常廣泛的應用，大型自由曲面測量路徑規劃問題成為測量時的重點難題之一。自由型面的設計主要是利用B樣條擬合數據點生成型線，然后擴展至整個型面。本文在結合前人研究的基礎上針對激光三角法自由曲面測量的特點提出了B樣條曲線插值的型面測量路徑規劃模型。

1 路徑規劃的研究

1.1 路徑規劃的主要內容

針對自由型面模型的測量路徑規劃目標是根據型面點及測頭信息，對待測點進行規劃，得到能夠反映曲率變化的測點；其測量方式一般首先沿設計型線進行點測，再沿型線垂直方向逐步擴展至整個型面。本文根據型面測量實際，主要針對型線測量的路徑規劃進行研究。

1.2 測量約束條件研究

在本研究中采用激光三角法進行實際測量，其測量景深有限，同時要始終保持激光的入射方向與被測點的法線重合（如圖1）。約定被測點的法線與入射激光方向不重合時稱被測表面發生了傾斜，其夾角稱為傾角θ。傾角是影響測量精度比較大的一個方面，因此研究路徑規劃對提高測量系統精度、效率具有重大意義。

在測量中要求測頭始終保持在最佳測量位置以提高測量精度，所以要根據被測表面的形狀，使測頭和工件表面保 持固定距離，使得測頭的運動軌跡與被測表面變化相同。

圖1 測量約束條件示意圖（俯視）

實際檢測中如何根據理論數據點及測量約束條件，求出實際測頭位置是關鍵點。本文提出首先采用B樣條插值法求得已知型面理論曲線；然后根據測量約束條件（入射光線與測點垂直），求取型面理論點的法矢；最后根據景深限制，在被測點法矢方向上取最佳位置作為測量路徑規劃位置（如圖2）。

由型面造型過程可知，型面截面線一般設計為光滑連續曲線。為保持設計、檢測的一致性，所以要采用三次非均勻B樣條插值求取型面的表達曲線，以使曲線全部通過型值點。

圖2 B樣條插值型面測量路徑規劃

1.3 B樣條曲線的定義及B樣條插值

。由于型面設計中，型線上各相鄰點之間的空間距離很可能相差很大，本文選用三次非均勻B樣條來實現測量路徑的規劃。B樣條插值又被稱為反算B樣條控制點，由已知曲線型值點，根據B樣條函數理論求出其控制頂點。在進行B樣條控制點反算時，首先應根據給定的型值點構造節點矢量U，再根據節點矢量上的節點集算出相應的基函數；而后求得反算控制點的方程組；最后對此方程組求解，求得非均勻B樣條曲線的控制頂點。

2 型線的B樣條插值反算

2.1 數據點參數化

欲唯一地確定一條插值于n+1個數據點 的參數插值曲線，必須先給數據點 賦予相應的參數值，使其形成一個嚴格遞增的序列，稱為數據點的參數化。其中每個參數值稱為節點，它決定了位于插值曲線上的數據點與其參數域內的對應點之間對應關系，即點有節點值 。由于型面線為光滑、連續曲線，本文采用積累弦長參數化法，型值點 對應參數 由遞推公式求取：

2.2 節點矢量的確定

2.3 三次B樣條基函數確定

2.4 反算 控制頂點計算

把插值曲線定義域內的節點值帶入由式（1）（5）得到n+1個數據點

的三次B樣條插值曲線方程，應該滿足插值條件即：

其中系數矩陣元素均為三次B樣條基函數的值，只與節點值有關，由遞推式（2）求得，利用擬追趕法求解該方程，就得到了控制頂點。有了這些特征多邊形頂點，就可以依據這些點通過B樣條插值出實際曲線，曲線輪廓上任意點均可通過插值求得。利用B樣條曲線特性計算出各型值點的切矢，為求測量路徑點做好準備。

圖3 算法實現流程圖

2.5 型線被測點的法矢確定

型面測量過程受激光三角法測量傾角的約束，本文采用直射式激光三角法則需要求得被測點的法矢。B樣條曲線上一點處的r階導矢 遞推公式為：

即k次B樣條曲線的r階導矢相當于k-r次B樣條曲線，但求導矢頂點遞推公式與參數u無關，而所求導矢與參數u有關。由于本文采用三次非均勻B樣條插值法求取型面線，則可以采用公式（8）計算其上被測點的切矢，然后求取切矢的倒數即可求得被測點的法矢。其切矢的計算公式為：

3 路徑規劃算法實現

通過上述步驟求取被測截面線的法矢，則根據型面測量的景深約束條件求取最佳測量位置，即沿被測點法矢方向取被測點的最佳測量位置作為測量點，求取所有被測點的測量位置即為此型面線的測量路徑。算法具體實現流程：1）讀取被測理論型面線坐標點集，并序列化；2）根據N+1個理論型面點 構造節點矢量，算出相應的基函 數；3）根據式（9）求得三次B樣條插值曲線的反算控制點方程組；4）擬追趕法求解反算控制頂點方程組，得控制頂點；5）根據式（2）求解得樣條插值曲線P（x）；6）利用式（10）計算被測點的法矢k；7）沿法矢方向求取測量位置；8）重復1）-7）直至型面被測點計算完畢，并保存所求測量路徑如圖3。

圖4 測頭路徑規劃結果

4 試驗驗證

為了驗證三次非均勻B樣條插值路徑規劃效果，本文采用某一封閉截面輪廓數據為實例進行驗證。規劃測點坐標，并針對理論截面數據生成B樣條曲線及測量路徑如圖4，測量路徑符合型面曲率變化，且路徑變化在景深范圍內，滿足了高精度型面測量的要求。

結語

本文針對激光三角法精密型面測量，提出了基于B樣條插值路徑規劃模型，并行了詳細的論述和說明。通過構造三次B樣條插值曲線規劃測量點，使測頭運動路徑緊密結合型面變化，解決了測頭景深范圍的影響；利用采得型面點法線方向控制測頭傾角的影響，提高了測量精度。從試驗看出本文模型是實現高效率、高精度型面測量的有效方法。

[1]來新民，黃田，陳關龍.自由曲面數字化的自適應規劃[J].上海交通大學學報，1999，33（07）：838-841.

[2]徐驊，張秋菊.針對葉片型面檢測的激光測量系統的規劃及相關研究[J].汽輪機技術，2006，48（01）：76-80.

[3] 楊仁平，張國雄，劉水桂，等.回轉曲面測量技術[J].天津大學學報，2005，38（05）：385-390，（03）：272-277.

[4] 胡俊，王宇晗，李曄，蔡建國.基于曲線外插技術的曲面測量等弧長采樣方法[J].機械科學與技術，2004（23）.

[5]K-C Fan. A non-contact automatic measurement for free-form surface profile，Computer Integrated Manufacturing Syetems， 1997， 10（4）:277-285.

[6]Seokbae Son， Seungman Kim， Kwan H.Lee. Path planning of multi-patched freeform surfaces for laser scanning，International Journal of Advanced Manufactural Technology，2003，22:424–435.

[7]何雪明，李成剛，胡于進，等.三坐標測量機測量路徑的曲率連續自適應規劃[J].清華大學學報（自然科學版），2007，47（S2）：1835-1839.

[8]梁錫坤. B樣條類曲線曲面理論及其應用研究[D].合肥工業大學，2003.

[9]Lee KH， Son S-B， Park H-P. An automated scanning system for freeform surfaces， Proceedings of ICC & IE，2000，Beijing， 11–13.

[10]Funtowicz F， Zussman E， Meltser M.Optimal scanning of freeform surfaces using a laser-stripe， Israel-Korea Geometric Modeling Conference， 1998，TelAviv，Israel， 47–50（）.

[11]Seokbae Son， Hyunpung Park，Kwan H. Lee. Automated laser scanning system for reverse engineering and inspection， International Journal of Machine Tools & Manufacture，2002，42:889–897.

TP391

A

10.13612/j.cnki.cntp.2014.07.085