基于滑動無偏灰色馬爾科夫模型的水庫年降雨量預測

侯翔龍，陽 輝

（1.太原理工大學 水利科學與工程學院，山西 太原030024；2.太原理工大學 環境科學與工程學院，山西 太原030024）

水庫，可起防洪、蓄水灌溉、供水、發電等作用。水庫年降雨量的大小對農業灌溉以及水庫蓄調有著重要影響。本文以山西省壽陽縣蔡莊水庫研究區，該水庫始建于1959年12月，1962年4月竣工，是一座以防洪為主兼顧灌溉、養殖和工業用水的中型水庫。在以往有關降雨量預測的科學與研究中，廣大科研與技術工作人員使用的模擬方法較單一，使用傳統灰色模型的情況更多，缺乏各種方法的比較與篩選，對單一模型的缺陷改進不足，嘗試多種方法的搭配使用的情況也不多，致使模型過于簡單，適用面較窄，對不規律原始數據的適用程度較低，從而降低了對波動性數據的模擬精準程度。

本文通過傳統灰色、無偏灰色、滑動無偏灰色以及滑動無偏灰色馬爾科夫4種方法，對水庫年降雨量進行數值預測模擬，模擬的數據可用于水庫的蓄調管理，同時可為周邊農業區的灌溉養殖任務的完成提供有力的保障。另一方面，該水庫的年降雨量模擬預測值體現出的特征與規律也能夠較好的反映出整個地區的水文降雨特征。

1 模型的建立

1.1 建立傳統灰色模型

（1）設原始序列［1］：

（2）對X（0）進行一次累加，得：

對 X（1）相鄰的兩項求均值［2］，得Z（1），

于是：

對參數列＾a＝［a，b］T進行最小二乘估計［3］，得

（3）確定模型：

（4）時間響應序列：

還原求出X（0）的模擬值。由

最終求出預測序列 ＾X（0）。

1.2 建立無偏灰色模型

設立無偏GM（1.1）模型的參數為u，A，則對原始序列x（0）k＝Aeu（k－1），k＝1，2，…，n做一次累加［4－5］，生成

由傳統GM（1，1）方法建模得：

由式（10）可求得用傳統 GM（1，1）模型參數a，b表示u和A的估計為：

建立原始數據序列模型：

式中：＾x（0）（k＋1）（k＝0，1，…，－1，n）——原始數據序列的擬合值；＾x（0）（k＋1）（k≥n）——原始數據序列的預測值。

1.3 建立滑動無偏灰色模型

對原始數據X（0）進行一次加權滑動平均處理后［6］，再建立無偏灰色模型，這樣形成滑動無偏灰色模型。

（1）原始數列為：

（2）加權平均處理得：

其中：

1.4 建立灰色無偏馬爾科夫模型

1.4.1 狀態的劃分 以滑動無偏 GM（1.1）模型得出的原始數據序列曲線Y（k）為基準［7］，在Y（k）上下兩邊分別做n，m（m和n可相同，也可不同）條與Y（k）平行的曲線，這樣，m＋n＋1條平行曲線共組成m＋n個區間Q1，Q2，Q3，…，Qm＋n。處于不同區間中的點可依據所屬區間距離中心線Y（k）曲線的遠近，表示自身的偏離程度。任意狀態區間Q1表達為：Qi＝［Qi1，Qi2］（i＝1，2，3，…，s），Pij（k）＝Mij（k）／Mi（i＝1，2，3，…，s），其中：Qi1＝＾Y（k）＋A1，Qi2＝＾Y（k）＋Bi〔A（i），B（i）是平移常數〕。

1.4.2 狀態轉移概率矩陣 狀態劃分好以后，利用m步狀態轉移概率的計算公式：

式中：Mij（k）——由狀態Ei經過k步轉移到狀態Ej的原始數據的個數；Mi——處于狀態Ei的原始數據的個數；Pij（k）——由狀態Ei經k步轉移到狀態Ej的概率，狀態轉移概率矩陣：

2 模型仿真

2.1 研究區簡介

研究區為蔡莊水庫，1964—2008年壩址以上流域面積多年平均降水量為502.3mm，最大年降水量為760.5mm，年份為1973年；最小年降水量為246.4mm，年份為1972年。流域主要地貌類型為黃土丘陵區和土石山區。本文研究的數據樣本取自水庫的年降水量資料，其中1964—2003年的降水資料為模型的原始數據，2004—2008年的降水資料為模型模擬數據。數據分析軟件為Matlab 2012。

2.2 3種灰色模擬方法模擬結果比較

根據前面所建立的傳統灰色模型、無偏灰色模型、滑動無偏灰色模型進行模擬計算，結果見表1。

表1 3種灰色模擬法模擬結果

同時，將3種灰色模擬法得出的模擬結果分別與實際降雨量進行比較（見圖1—3）。

圖1 蔡莊水庫實際年降雨量與傳統灰色模型模擬降雨量對比

圖2 蔡莊水庫實際年降雨量與無偏灰色模型模擬降雨量對比

圖3 蔡莊水庫實際年降雨量與滑動無偏灰色模型模擬降雨量對比

由圖1—3可以看出，3種灰色模擬方法精度相當，改進灰色模擬方法的模擬效果提高并不明顯，這是因為2004—2008年這5a間，每年的降雨量變化幅度相對較大，而原始數據量龐大運用了40a的實際降雨數據，并且數據從總體看接近線性，所以傳統灰色模型的模擬效果得到了很大的提高，作者曾在另外的數據模擬中發現，如若減少原始數據量，傳統灰色模型的模擬精度將大大下降，另外兩種改進灰色模型精度雖然也會下降，但是最終模擬效果要優于傳統灰色模型，這是因為當數據量減小時，從另一角度看，數據的波動性將相對變大，從而影響了傳統灰色模型的模擬精度。

盡管兩種改進灰色方法使得模型模擬效果有了一定的提高，但是仍然克服不了灰色模型對于非線性數據的不適性，為了進一步的提高模擬精度，對滑動無偏灰色模型進行馬爾科夫修正，建立滑動無偏灰色馬爾科夫模型。

2.3 對滑動無偏灰色模型進行馬爾科夫修正

2.3.1 狀態劃分 按1964—2003年的滑動無偏灰色模型模擬數據與實際降雨數據的相對誤差的大小劃分。分為5個區間，設相對誤差為C。區間1：C1∈（－∞，－0.3）；區間2：C2∈（－0.3，－0.1）；區間3：C3∈（－0.1，0）；區間4：C4∈（0，0.1）；區間5：C5∈（0.1，0.3）；區間6：C6∈（0.3，0.5）。

2.3.2 一次轉移概率矩陣 由區間得滑動無偏灰色模型模擬數據的一次轉移概率矩陣，設：C1＝1，C2＝2，C3＝3，C4＝4，C5＝5，C6＝6。

由一次轉移概率矩陣發現2003年的數據屬于第4行，由以上得2004年滑動無偏灰色馬爾科夫模型模擬數據為448.2mm。模型采用等維新信息方法處理，去掉最靠前1964年的數據，加入新近預測出的2004年的數據，再推算出下一年數據。由此得到的5a模擬數據與原始數據對比（見表2）。

表2 改進灰色模型與改進灰色馬爾科夫模擬法模擬結果比較

3 結論

通過對滑動無偏灰色模型進行馬爾科夫修正，提高了模型模擬數據的精確程度。當歷年徑流量發生非線性波動時，改進灰色馬爾科夫模型精度提升更為明顯，這也體現了對灰色模型進行馬爾科夫修正的必要性。但是從模擬結果來看，部分年份的模擬精度仍然不高，另外兩種改進灰色模擬方法模擬精度提高有限，個別年份精度甚至低于傳統模型。在灰色馬爾科夫模型的建立過程中，使用等維新信息的方法，原始數據實時更新，從而提高了模型的精度。馬爾科夫模型的分區的是決定的模型模擬效果好壞的關鍵，理論上分區越詳細越好，但是實際操作發現，過于密集的分區會導致模擬新數據區間不易選擇，從而增大了誤差，因此，區間的合理劃分與判斷是今后值得關注與改進的一個方向。

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