淺談數形結合在小學數學中的運用

◆施艷艷

(金華市浦江縣浦陽二小)

一、數形結合——形成概念的好幫手

形成概念就是學生從許多具體事例中以歸納的方式概括出一類事例的本質屬性。學生不能形成概念主要是因為沒有經歷“將豐富的感性材料加以去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里”的改造過程，數形結合能使比較抽象的概念轉化為清晰、具體的事物，從而讓學生更好地發現事例的本質屬性或規律。

例如，教學“三角形的認識”一課，可以這樣引導學生形成概念:

交流:這節課重點研究三角形(板書:三角形)，你在哪里見過三角形?你對三角形已經有哪些了解?

引導:你會畫三角形嗎?請閉上眼睛用彩色筆在紙上畫一個大小適中的三角形。

展示:選擇三幅典型的圖。

評析:這三幅圖是你印象中的三角形嗎?為什么?

交流:圖形(1)中三條邊不是線段，圖形(2)不是封閉圖形，圖形(3)中兩條線段的端點沒有重合。

思考:你認為三角形是怎樣一種圖形?

板書:由三條線段圍成的圖形(每相鄰兩條線段的端點相連)叫三角形。

利用數形結合，幫助學生很快形成了“三角形是怎樣一種圖形”的概念。

二、數形結合——化解難點的好幫手

化解難點就是分解教學難點，做到化難為易、由淺入深、直觀形象。學生不能化解難點主要是因為不能實現將抽象的內容具體化、形象化、直觀化，數形結合能夠化抽象為具體、化復雜為簡單、變生疏為熟悉、變深奧為淺顯。

例如，教學一道練習題:在一個圓柱形儲水桶里，把一段半徑是5厘米的圓鋼全部放入水中，水面就上升9厘米;把圓鋼豎著拉出水面8厘米后，水面就下降4厘米。求圓鋼的體積。

分析與思考:仔細讀題，題目的意思還真是有點難理解。為了幫助學生理解題意，我一共畫了三幅圖。首先，畫一個圓柱形儲水桶，原來有一些水(圖1);接著，將一個底面半徑為5厘米的圓鋼全部放入水中，水面上升了9厘米，引導學生觀察思考:圓鋼的體積就相當于上升的水的體積;最后，又出示了第三幅圖，將圓鋼拉出8厘米，水面下降了4厘米，說明拉出的一部分圓鋼體積就等于下降的水的體積。然后引導學生仔細觀察這三幅圖，并思考:“可以從何處入手呢?”

一些學生通過觀察，動腦筋想出了解決問題的辦法:先求拉出水面圓鋼的體積，也就是下降了4厘米水的體積，5×5×3.14×8=628(平方厘米);再求出圓柱形儲水桶的底面積，628÷4=157(平方厘米);最后求上升了9厘米水的體積，也就是整個圓鋼的體積，157×9=1413(平方厘米)。我表揚了這些學生善于觀察、善于思考，同時激發學生思考:“解決這一問題，你還有更簡便的方法嗎?”經過思考，生1發現了這樣的方法:“圓鋼拉出水面8厘米，水面就下降了4厘米，8厘米正好是4厘米的2倍;而將圓鋼全部放入水中時，水面上升了9厘米，說明圓鋼的高度是9厘米的2倍，也就是18厘米!那求圓鋼的體積就很簡單了，即5×5×3.14×18=1413(平方厘米)。”生2想到:“可以將圓鋼看作兩段，水面以上的為一段，水面以下為一段(如圖2)，這兩部分都沉入水中后，水面上升9厘米;一部分圓鋼到了水上，水面就下降了4厘米，那水下的那部分圓鋼，就相當于(9－4)=5(厘米)水的體積。根據4:5的關系，用8÷4×5=10(厘米)求出圓鋼在水面以下的高度，再用(8+10)×5×5×3.14=1413(平方厘米)就可以求出圓鋼的體積。”也許受剛才同學的啟發，生3又想到一種方法:“求出水面以上的圓鋼體積，因為4厘米占9厘米的，說明露在水面以上的圓鋼體積也是占整個圓鋼體積的，可以得到5×5×3.14×8÷4/9=1413(平方厘米)。”

課上，學生創新思維的火花不斷閃爍，來自于教師的巧妙引導與激發，更來自于教師為學生構建起的橋梁——“數形結合”。

三、數形結合——解決問題的好幫手

解決問題就是綜合性、創造性地應用已學數學知識和方法解決陌生的、新的問題情境的過程。學生不能解決問題主要是因為不能正確理解問題情境和抽象的數量關系，數形結合能把抽象數量關系用最恰當、最清晰的圖形表示出來，化抽象為直觀、化繁雜為簡單、化隱含為顯見。

例如，在一次數學練習課中，老師出了如下一題:一塊長1米20厘米、寬90厘米的長方形鋁片，剪成直徑為30厘米的圓片，最多可以剪幾塊?

學生列式為120×90÷［3.14×(30/2)2］≈15(塊)

大家都以為這樣列式是對的。原因是學生從已有知識出發，按常規的解題思路，用長方形面積除以圓的面積。

師:這個算式是錯誤的。請同學們想一想為什么錯了呢?到底應該怎樣解?

同學們陷入了沉思:我們認為是對的，為什么老師說是錯誤的呢?究竟應該怎樣解呢?

當學生經過苦苦思索，不得其解時，正是老師啟發誘導的極好時機。

這時教師予以點撥:請同學們聯系生活實際進行思考，看看有沒有不同的解法?

這一誘導掀起了學生的思維浪潮，大家七嘴八舌，議論紛紛。幾分鐘后，一個學生舉手發言:(120÷30)×(90÷30)=12(塊)

于是老師請這位學生說說是怎樣想的，他上講臺在黑板上邊畫圖邊說算理，說得思路清晰、算理明白。最后該生小結:解決此類問題，最好應用數形結合的方法，這題算理是長方形的長120厘米是這個圓的直徑30厘米的4倍，寬90厘米是這個圓直徑30厘米的3倍，也就是在這個長方形里，橫著剪，一排只能剪4個圓;豎著剪，一列只能剪3個圓，這個長方形最多只能剪3×4=12(個)這樣的圓。

在整個交流過程中，“數”借助“形”輕而易舉地解除了學生的困惑，使大家實實在在體驗到了數形結合方法的魔力。

數形結合不僅是小學數學教材編排的一個重要特點，更是小學生解決問題常用的方法之一，同時又是一種數學思想。在教學過程中，我們教師應做個有心人，充分利用“一圖抵百語”的優勢，向學生滲透“數形結合”的思想，引領學生走進數學的神奇殿堂!

［1］［美］加里·D.鮑里奇.《有效教學方法》(第四版).江蘇教育出版社，2002.

［2］劉加霞，王淑芳.小學數學教學與思維能力培養.華藝出版社.

［3］王珍.讓直觀與抽象交相輝映.福建教育，2008，(6).

［4］顧娟.淺析小學數學課堂中的“數形結合”.小學教學參考，2009，(3).