基于Supporting-Ellipsoid方法的自由曲面構造

顧國超，劉洪波，陳家奇，高 雁

（中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，吉林長春130033）

基于Supporting-Ellipsoid方法的自由曲面構造

顧國超，劉洪波*，陳家奇，高 雁

（中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，吉林長春130033）

為了在特定平面上獲得任意形式的輻照分布,采用了Supporting-Ellipsoid設計方法來構造自由曲面反射鏡。介紹了其設計思想和設計過程,并以具體的設計實例為例構建了自由曲面光學系統。仿真結果表明,在不計反射損失的情況下,系統效率達到了97％,較傳統太陽模擬器光學系統提升了3倍以上,不均勻度達到5.26％,與理想狀態有一定差距,這是因為設計中兼顧了計算時間和自由曲面光滑性所造成的。

Supporting-Ellipsoid方法；自由曲面；均勻照明

1 引言

在傳統的照明光學系統中,要獲得均勻穩定的輻照分布,需要采用特定的復雜光學系統來實現,如采用透鏡陣列形式的太陽模擬器光學系統［1］,或采用通道反射式積分器的高熱流密度輸出裝置［2-3］,不僅需要龐大的系統,而且效率不高。若要獲得更加復雜的輻照分布,傳統的光學系統便無能為力,因為傳統的光學表面多為球面、二次曲面或多項式曲面。若要滿足特定的照明,則需要光學面具有足夠高的階次,這勢必會造成面型造型不便和數值不穩定。隨著人們對照明要求的不斷提高,新的照明形式,即采用自由曲面光學面來實現復雜照明的方法便應運而生。自由曲面沒有統一的數學表達式,其具有足夠多的設計自由度能夠應付復雜的照明,同時又具有靈活的空間布局及局部可操作性的優點。

均勻圓形輻照面的自由曲面設計較為簡單,因其具有旋轉對稱性,只要確定旋轉自由曲面的母線即可,W.Tai、L.Peng和顧國超［4～6］等人分別采用了相似的設計思想獲得了不同形式的自由曲面光學面,均獲得了非常不錯的效果。但對于更加一般的輻照情況,如輻照面形狀為不規則形狀且輻照度為特定非均勻的輻照來說,以上的設計思想和設計方法就難以勝任了。J.S.Schruben首次從數學和幾何學上對此類問題進行了闡述,并獲得了從這類問題抽取出來的數學模型,為 Monge-Ampere形式的非線性二階偏微分方程［7］。H.Ries等人于2002年提出了裁剪法,以折射定律為基礎建立入射波前、出射波前的曲率以及自由曲面上對應點處曲面曲率之間的關系,并結合能量守恒定律和傳輸能量密度與光束波前高斯曲率的關系,構建了一組非線性偏微分方程,并通過數值求解獲得了自由曲面的離散面型數據,首次解決了這類問題［8］。但其并沒有公布具體的解決方法。

目前此類問題的基本解決方法主要有3種：數學法、幾何法和優化法,間或有這3種基本解決方法的組合方法。數學法即是基于光源的發光特性和預定照明要求,根據反射或者折射定律,結合能量守恒定律構建自由曲面所滿足的數學方程,通過求解獲得自由曲面的面形數據。如Simultaneous multiple Surfaces（SMS）方法［9］,Seroka和W.Rengmao分別采用不同方法的直接解法［10-11］等。幾何法的核心思想就是將輻照分布離散化,并利用一些二次曲面（如橢球面、拋物面以及笛卡爾卵圓面）的光學特性,用一組這類二次曲面的曲面片來實現離散照明,并用其包絡面作為自由曲面的最終形式。如Supporting Paraboloids（SP）方法。優化法的主要思想就是將曲面參數化,并選取合適的優化變量,通過不斷的調整優化變量來趨近預定照明,直至滿足要求。另外A. B?uerle和Zexin Feng采用了以上基本方法的組合方法,也得到了不錯的效果［12-13］,其核心思想就是首先采用不同數學方法獲得光源、自由曲面和目標面之間的映射關系,并構建自由曲面,然后采用優化方法獲得更加理想的效果。本文的設計思想就是采用幾何方法中的Supporting-Ellipsoid法,這種設計方法能夠解決復雜的照明問題,過程簡單易懂,效果直觀,避免陷入復雜的數學計算當中。

2 Supporting-Ellipsoid方法的設計思想基礎

2.1 系統整體的坐標系

整體照明系統由光源、自由曲面和目標面所構成,如圖1所示,其中光源S位于系統坐標系中心,從光源出射的一條光線入射至自由曲面上的一點P,經反射后出射光線到達目標面上點T,其中入射點P的直角坐標為P（Px,Py,Pz）,球坐標為P（ρ,θ,φ）,入射光線、法線、出射光線的單位矢量分別為I,N,O,系統光軸與Z軸重合,目標面為位于Z軸方向并與光源距離L處的平面,其中目標面與系統光軸正交。

2.2 Supporting-Ellipsoid設計思想基礎

Supporting-Ellipsoid設計方法由Kochengrin和Oliker所提出［14］,其核心思想就是將目標面上的預定輻照分布離散化,利用橢球反射鏡的特性,并將每個離散點與單個橢球曲面片聯系起來,通過調整橢球曲面片的參數,來調整各個離散點所能接收的能量,并以一個整體自由曲面包絡各個曲面片,作為自由曲面的最終形式。為了能夠更好地理解這個問題,考慮最簡單的二維情形下的兩個離散點和兩個橢圓的情況,規則為第一個與入射光線相交的橢圓線反射此光線,反之亦可,即最后一個與入射光線相交的橢圓線反射此光線,以第一條與入射光線相交的橢圓線反射光線為例,如圖2所示,橢圓E1和橢圓E2分別對應目標點T1和T2,其中兩橢圓的第一焦點與點光源重合,橢圓E1的第二焦點F′1為目標點T1,橢圓E2的第二焦點F′2為目標點T2,入射光線分別與兩橢圓相交于點I1和I2,根據規則,則在交點I1處反射此光線,到達目標點T1。圖3則說明了如何調節分配兩個目標點的能量,以橢圓E0作為基本橢圓,在變化的過程中保持不變,橢圓E1則保證兩個焦點不變,即點光源和目標點的位置保證不變,當橢圓E1的長半軸a1?a0時,光源發出的所有光線經反射后全部到達目標點T0,此時目標點T0得到光源的全部能量,T1得到的能量為0,當減小a1,直至a1?a0,此時所有的光線經反射后全部到達目標點T1,此時目標點T1得到光源的全部能量,T0得到的能量為0,在此過程中,只要給定合適的a0和a1值,就可以得到任何我們想要的能量分配比例。定義反射光線的橢圓線段為有效線段,稱為支撐橢圓,從而得到一組不連續的曲線段,根據反射規則的不同,有交叉和非交叉兩種情況,如圖4所示。在多個離散目標點的情況下,基礎橢圓大小和兩焦點均保持不變,保證其他橢圓兩焦點位置不變,并調整其長半軸a的大小,可以調整各個目標點接收能量的大小,直至滿足預定要求,以上兩維的情況可以擴展到三維,即為Supporting-Ellipsoid方法的設計思想基礎。

3 利用Supporting-Ellipsoid方法構造自由曲面反射鏡

利用Supporting-Ellipsoid方法構造自由曲面反射鏡的方法如圖5所示,其過程如下：

（1）將目標照明離散化,并根據目標面的輻照分布賦予各離散點以權值；

（2）以Oliker的Supporting-Ellipsoid方法獲得合乎要求的一組曲面片,通過離散點擬合獲得光源出射角度與目標點之間的關系；

（3）利用擬合后的映射關系構建自由曲面反射鏡。

本文采用短弧氙燈作為光源,以離光源最遠的曲面作為有效曲面,構建非交叉形式的系統幾何結構,光源與目標面之間的距離L選為600 mm,以獲得400 mm×400 mm正方形均勻輻照面為例,給出了自由曲面構建的細節和結果,其中短弧氙燈光源的配光曲線如圖6所示。

3.1 目標面的離散化和映射關系的獲取

由于自由曲面的構造需要對有限的離散點進行插值,則目標面上離散的目標點數越多,獲得的目標輻照面越接近于理想狀態,同時所需的橢球面片亦越多,這就意味著需要調整更多的橢球參數,其計算時間會呈現類似指數關系的增長。由于本文所需為均勻輻照面,采用更多的離散點能夠提升目標面的均勻性,但離散點增加到一定程度后,均勻性的提升已不明顯,同時會大大延長計算時間。因此,在平衡目標面均勻性和計算時間的基礎上,將目標面離散成為15×15的離散點,并依據目標輻照分布給各個離散點賦予權值,調整各個橢球的參數,最終獲得滿足目標離散點能量的一組橢球曲面片,在每個曲面片上選取一特征點作為目標點的對應點,從而可以獲得一組光源出射方向與目標點之間的映射。為了便于觀察理解,選用5×5的離散點,并建立映射關系,如圖7所示。

3.2 曲面擬合及其連續性和光滑性的保證

如果完全按照文章3.1節中的映射關系構建自由曲面反射鏡,并選取足夠多的離散點,則能夠得到理想情況下的輻照面,不論輻照面有多么復雜和特殊。但另一方面,據此構建的自由曲面難以滿足積分條件［8］,則其勢必會存在不連續的情況或者構造偏差,與L.Wang和Y.Ding構造自由曲面所遇到的問題一樣［15-17］,難以滿足其光滑性。積分條件以自由曲面法矢形式給出,如式（1）所示。

式中：N為自由曲面的法矢。

自由曲面的連續性和光滑性是自由曲面加工的基本要求,若自由曲面存在不連續的情況或者構造偏差,會給加工帶來極大的困難,甚至使得加工難以實現。因此,需要對文章3.1節中所獲取的映射關系進行微調,即對映射關系中目標點位置做細微的調整,在盡可能接近以上獲得的映射關系的前提下,使得自由曲面滿足積分條件,盡管這種操作會在一定程度上犧牲目標輻照面的精度,以本文的設計來說,則是在一定程度上犧牲了輻照面的均勻性,來保證自由曲面的連續性和光滑性。本文采用了MATLAB中Gridfit［18］程序來對離散點進行處理,使其滿足積分條件。程序主要特點就是在保證映射關系的基礎上,采用一個彈性曲面片來對離散點進行擬合和插值,經程序處理后所獲得的目標點坐標映射函數關系如圖8和圖9所示,根據所得的映射關系,可以得到在相同θ和φ參數下x與y的對應關系,如圖10所示。

3.3 構建自由曲面反射鏡

基于Gridfit程序處理后所獲得的映射關系,即可構建出光滑的自由曲面。構建自由曲面的方法有很多種,本文所采用的方法就是首先構建自由曲面反射鏡的骨架,即曲面上相互交叉的經線和緯線,以此為基礎獲得自由曲面整體的面片,曲面骨架線的構建流程如圖11所示。

3.4 系統仿真與結果分析

根據所構建的自由曲面,光源采用短弧氙燈的配光曲線,忽略光源大小,并構建目標面,搭建整體系統,結果如圖12所示,在Lighttools中構建整體系統,并采用蒙特卡洛法追跡200萬條光線,最終所獲得的輻照情況如圖13所示。

仿真結果表明,在忽略反射損失時,系統整體的效率可以達到97.54％,輻照不均勻度為5.26％,準直角為±2°,與采用透鏡陣列作為勻光系統的太陽模擬器照明系統相比,在參數均滿足一致的情況下,系統效率提升了3倍以上。系統的輻照不均勻度與太陽模擬器照明系統相比稍有不足,原因分析如下：（1）本文的設計兼顧計算時間和均勻性兩個方面,沒有選取更大數量的離散點；（2）為了保證自由曲面的連續性,映射關系做了微小的調整。

從輻照結果效果圖來看,輻照分布結果基本上處于較為均勻的狀態,且輻照面遵循著正方形各對稱軸的對稱性,這與光源發光特性的軸旋轉對稱性和能量分配特性相吻合。同時由結果圖可以看出,在輻照面角落部分的均勻性與面上其余部分相比較差,這是為了保證輻照面形狀,嚴格限制了自由曲面邊緣與輻照面邊緣的映射關系,這就意味著輻照面角落點成為了一個奇異點,這是角落處均勻性較差的根本性原因。

4 結論

本文采用了Supporting-Ellipsoid設計方法構建了一個自由曲面反射鏡,闡述了這種設計方法的坐標構成和設計思想,并以一個具體實例詳細說明了自由曲面構建的整個過程,并采用所構建的自由曲面搭建了一個照明系統。仿真結果表明,在不考慮反射損失的前提下,系統效率達到了97％以上,輻照不均勻度達到了5.26％,各參數與傳統太陽模擬器照明系統保持一致的情況下,系統效率提升了3倍以上。由于系統在計算時間和均勻性之間取了一個平衡,沒有采用更加龐大的離散點；同時為了滿足自由曲面的連續性和光滑性,對映射關系進行了微小的調整,這是本系統均勻性不如傳統太陽模擬器照明系統的主要原因。本系統采用的是點光源,在采用擴展光源的情況下,輻照面會呈現怎樣的變化,目前尚沒有做具體的分析。如何構建擴展光源下的自由曲面是下一步工作的主要方向。

［1］陳家奇，陳蘭峰，王麗，等.高準直太陽模擬器的設計與仿真［J］.光機電信息,2011,28（11）：68-74. CHEN JQ,CHEN L F,WANG L,etal..Design and simulation of high-collimating solar simulator［J］.OME Information, 2011,28（11）：68-74.（in Chinese）

［2］劉洪波，高雁，王麗，等.高倍聚光太陽模擬器的設計［J］.中國光學,2011,4（6）：594-599. LIU H B,GAO Y,WANG L,et al..Design of high-flux solar simulator［J］.China Optics,2011,4（6）：594-599.（in Chinese）

［3］顧國超，王麗，劉洪波，等.瞬態熱量標定系統的太陽模擬器光學系統設計［J］.中國光學,2012,5（6）：630-638. GU G CH,WANG L,LIU H B,et al..Optical design of solar simulator used for transient calorimeter calibration system［J］.China Optics,2012,5（6）：630-638.（in Chinese）

［4］TAIW,SCHWARTE R.Design of an aspherical lens to generate a homogenous irradiance for three-dimensional sensors with a light-emitting diode source［J］.Appl.Opt.,2000,39（31）：5801-5805.

［5］LIU P,WU R M,ZHENG ZH R,et al..Optimized design of LED freeform lens for uniform circular illumination［J］.Zhe-jiang Uniυ-Sci C（Computers＆Electronics）,2012,13（12）：929-936.

［6］陳家奇，顧國超.利用映射法構造自由曲面反射鏡［J］.長春理工大學學報,2013,36（6）：1-5. CHEN JQ,GU G CH.Using Mapping-method to FormFreeform surface Reflector［J］.J.Changchun Uniυersity of Science and Technology,2013,36（6）：1-5.（in Chinese）

［7］SCHRUBEN JS.Formulation of a reflcetor-design problem for a lighting fixture［J］.Optical Society of America,1972,62（12）：1498-1501.

［8］RIESH.Tailored freeform optical surface［J］.Opt.Soc.Am.A,2002,19（3）：590-595.

［9］BEN TEZ P,MIANO JC,BLEN J,et al..Simultaneousmultiple surface optical design method in three dimensions［J］. Opt.Eng.,2004,43（7）,1489 1502.

［10］SEROKA S,SERTL S.Modeling of refractive freeform surfaces by a nonlinear PDE for the generation of a given target light distribution［C］.International Light Simulation Symposium,Nuremberg,Germany,7-8 March,2012.

［11］WU R,XU L,LIU P,et al..Freeform illumination design：a nonlinear boundary problem for the elliptic Monge-Amp ere equation［J］.Optics Letters,2013,38：229-231.

［12］B UERLE A,BRUNETON A,WESTER R,et al..Algorithm for irradiance tailoring usingmultiple freeform optical surfaces［J］.Opt.Express,2012,20：14477-14485.

［13］FENG Z,HUANG L,JIN G,et al..Designing double freeform optical surfaces for controlling both irradiance and wavefront［J］.Optics Express,2013,21（23）：28693-28701.

［14］KOCHENGIN SA,OLIKER V I.Determination of reflector surfaces from near-field scattering data II.Numerical solution［J］.Numerische Mathematik,1998,79（4）：553-568.

［15］WANG L,QIAN K Y,LUO Y.Discontinuous free-form lens design for prescribed irradiance［J］.Appl.Opt.,2007,46：3716-3723.

［16］DING Y,LIU X,ZHENG ZR,et al..Freeform LED lens for uniform illumination［J］.Opt.Express,2008,16：12958-12966.

［17］丁毅，鄭臻榮，顧培夫.實現LED照明的自由曲面透鏡設計［J］.光子學報，2009，38（6）：1486-1490. DING Y，ZHENG ZH R，GU P F.Freeform lens design for LED illmination［J］.Acta Photonica Sinica，2009，38（6）：1486-1490.（in Chinese）

［18］D′ERRICO J.Surface fitting using gridfit［EB/OL］.［2010-06-20］.http://www.mathworks.cn/matlabcentral/fileexchange/8998-surface-fitting-using-gridfit.

顧國超（1983-）,男,吉林長春人,碩士,研究實習員,2007年于華中科技大學獲得學士學位,2010年于西安交通大學獲得碩士學位,主要從事太陽模擬技術方面的研究。E-mail：ggc-2003@163. com

劉洪波（1956-）,男,吉林長春人,碩士,研究員,1982年、1989年于長春理工大學分別獲得學士、碩士學位,主要從事太陽模擬技術方面的研究。E-mail：hbliu120@sina.com

陳家奇（1971-）,男,吉林長春人,副研究員,1994年于電子科技大學獲得學士學位,主要從事太陽模擬技術方面的研究。E-mail：jiaqi_chen@163.com

高 雁（1982-）,男,吉林長春人,碩士,助理研究員,2006年于東北大學獲得學士學位,2008年于哈爾濱工業大學獲得碩士學位,主要從事太陽模擬技術方面的研究。E-mail：ynogg@163.com

Construction of freeform surface based on Supporting-Ellipsoid method

GU Guo-chao,LIU Hong-bo*,CHEN Jia-qi,GAO Yan
（Changchun Institute of Optics,Fine Mechanics and Physics, Chinese Academy of Sciences,Changchun 130033,China）
*Corresponding author,E-mail：hbliu120@sina.com

To get irradiation distribution of arbitrary form on a specific plane,the free-form surface reflector is constructed with the Supporting-Ellipsoid design method in this paper.Firstly,the design idea and design process are introduced,and then a specific optical system of free-form surface is constructed.Simulation results show that the system efficiency reaches 97％without regard to reflection loss,which is three timesmore than that of the optical system of traditional solar simulator.The irradiance non-uniformity reaches 5.26％, which has a certain gap with the ideal state,resulting from the consideration on both the calculate time and the smoothness of the free-form surface in the design.

Supporting-Ellipsoid method；freeform surface；uniform illumination

TH703

A

10.3788/CO.20140705.0823

2095-1531（2014）05-0823-07

2014-04-11；

2014-06-13

吉林省科技發展計劃資助項目（No.20130303009GX）