提取標記點中心在子孔徑拼接檢測中的應用

張 敏，隋永新，楊懷江

（1.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所應用光學國家重點實驗室，吉林長春130033；2.中國科學院大學，北京100049）

提取標記點中心在子孔徑拼接檢測中的應用

張 敏1，2，隋永新1*，楊懷江1

（1.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所應用光學國家重點實驗室，吉林長春130033；2.中國科學院大學，北京100049）

子孔徑拼接干涉儀中子孔徑定位精度難以在大行程范圍內得到保證,為此本文提出了基于提取標記點中心定位子孔徑的拼接方法。以標記點的中心坐標為標記點坐標,根據標記點在兩子孔徑局部坐標系下的坐標計算兩子孔徑之間的坐標變換,將所有子孔徑數據坐標變換到統一坐標系下,利用機械誤差補償算法拼接出全口徑面形。在搭建的拼接檢測系統上實現了外徑468mm的平面鏡拋光過程和最終的全口徑面形測量,加工過程中的測量結果為面形誤差修正提供了準確的數據,保證了最終全口徑面形誤差RMS快速收斂到35 nm。實驗證明,基于提取標記點中心的子孔徑拼接檢測能放寬對機械定位精度的要求,有效檢測大口徑光學元件面形。

光學檢測；干涉儀；子孔徑拼接算法；標記點中心

1 引言

子孔徑拼接干涉檢測技術是由美國Arizona光學中心的Kim與Wyant在1981年首次提出的［1］,他們實現了用小口徑的平面反射鏡陣列來代替大口徑的平面反射鏡,從而完成拋物面鏡的自準直檢驗,并提出可將子孔徑拼接測量用于非球面的檢測,在此之后國內外很多科技工作者都對子孔徑測量技術進行了研究［2］。在國內,國防科技大學在子孔徑迭代算法和高數值孔徑的子孔徑拼接檢測上碩果累累［3-4］,西安交通大學、中國科學院光電技術研究所、長春光學精密機械與物理研究所等單位［5-8］的科研人員在子孔徑拼接檢測大口徑光學元件方向上均有不少研究。最近幾年一些國內外的子孔徑拼接技術研究者提出了新的子孔徑定位方法,如圖像處理中的搜索方法［6,9,10］。其中Roland Maurer［9］所在的工作組采用標記點輔助搜索的子孔徑定位方法,找出使兩個子孔徑相關系數最大的位置,將其作為子孔徑的定位,但該方法僅在x、y方向的平移定位中有效。

子孔徑拼接檢測較大口徑的光學元件需要干涉儀或待測元件進行大行程的移動,移動距離越大定位精度就越低,其次還有一些不具備定位條件的檢測情況。在相機標定、三維重建等三維形貌測量等領域,科研工作者廣泛采用人工標記點作為重要的定位方法,其中易于識別、定位精度高的圓形標記點最為常用［11］。所以本文采用圓形標記點定位的方法,提出了基于自動提取標記點中心的拼接算法,解決測量大口徑平面鏡定位精度較低的問題,避免了為提高機構運動準確度而增加成本。本文通過外口徑為468 mm、內口徑為202 mm的環形平面鏡鏡面拋光階段的面形檢測,驗證了該方法的可行性以及實用性。

2 基于標記點定位的子孔徑拼接過程

2.1 子孔徑拼接過程

子孔徑拼接檢測過程如圖1,首先進行子孔徑劃分,按干涉儀視場、待測鏡大小以及子孔徑兩兩之間重疊面積大小,確定子孔徑的個數以及分布。在重疊區域做標記點之后,干涉檢測各子孔徑面形信息。對各子孔徑數據邊緣檢測,檢測出標記點邊緣,根據標記點邊緣擬合出相應的橢圓方程,以橢圓中心坐標為標記點的中心坐標,計算出相鄰兩子孔徑之間的坐標變換。最后,將各子孔徑的坐標系轉換到全局坐標系下,采用合適的子孔徑拼接算法拼接出全口徑的面形信息。

2.2 提取標記點的中心位置

在完成各子孔徑的測量后,首先對各帶有標記點子孔徑數據進行Canny邊緣檢測和對邊緣檢測結果進行亞像素定位。Canny邊緣檢測算法對圖像進行平滑處理的是二維高斯函數［12］：

式中,σ為高斯函數參數,由它控制平滑處理的平滑程度［13］。當σ較大時算法定位精度較低,但信噪比較高,σ較小時算法情況正好相反。所以選取高斯函數參數時得根據需要選擇最佳值。本文中σ取圖像灰度值的均方根值,并在雙閾值方法中將圖像的平均灰度值作為高閾值選取的參數［14］。Canny邊緣檢測后可以得到一幅邊緣的二值圖像,如圖2（a）,但圖中邊緣有背景產生的雜亂邊緣。因此,在對圖2（a）中的邊緣數據施加邊緣像素數、邊緣閉合、擬合誤差等約束［15］,可以得到只包含標記點邊緣的圖像,如圖2（b）所示。

從圖2（b）中可看出邊緣仍有毛刺,所以仍需要將邊緣附近的像素分解以得到標記點邊緣的精確坐標,來準確地擬合橢圓方程,這就是邊緣亞像素定位。由于標記點邊緣是階躍邊緣,所以標記點邊緣的準確坐標是使鄰近邊緣像素點擬合出的曲面的梯度方向二階導數等于零的點。為了同時兼顧準確性以及效率,本文采用三次多項式擬合邊緣［16］,對每一個邊緣點位置做亞像素修正,整體修正效果如圖2（c）所示。

各子孔徑中的圓形標記點的成像為平面橢圓,所以對各子孔徑數據邊緣檢測,亞像素邊緣定位后,可根據標記點邊緣數據利用最小二乘擬合出相應的橢圓方程,用橢圓方程的系數計算出相應的橢圓中心坐標,將橢圓中心坐標作為標記點坐標來計算兩子孔徑之間的坐標變換。在二維平面坐標系中,橢圓利用圓錐曲線方程的代數形式表示如下［15］：

為提高計算的精度,采用亞像素邊緣檢測得到的所有離散點的坐標數據組成超定方程組,通過最小二乘法擬合確定A、B、C、D、E、F的值。橢圓中心坐標為：

當標記點所在圖像質量較好的時候,亞像素邊緣定位得到的標記點中心坐標精度高于0.01 pixel,在圖像質量比較差時,該方法仍有0.02 pixel的精度［16］。

3 坐標變換及全局拼接的數學模型

3.1 坐標變換

若有兩個空間A和B,對于空間中點和矢量的剛體變換,主要包括平移（tx,ty）、旋轉（θ）。點（x,y）在空間B中,則其在空間A中的坐標（u,υ）可表示為：

若兩相鄰子孔徑,子孔徑a的3個標記點坐標為（x1,y1）、（x2,y2）、（x3,y3）,子孔徑b中對應的標記點坐標為（x′1,y′1）、（x′2,y′2）、（x′3,y′3）,可以通過式（5）計算出子孔徑b相對于子孔徑a的相對旋轉角θ。通過3個標記點算出3個相對選轉角度θ,最后取均值θavg,并可通過式（4）計算出tx、ty,對子孔徑b所有坐標點（x,y）進行式（4）表示的坐標變換,得到在子孔徑a坐標系下的坐標值。

3.2 全局拼接的子孔徑拼接方法

干涉儀檢測子孔徑過程中,干涉儀與待測鏡之間的相對運動會引入機械運動誤差以及調整誤差,這將在子孔徑測量結果中引入平移（piston）和傾斜（tilt）等誤差,而且會使實際檢測的子孔徑所在位置與規劃的子孔徑位置有偏差。因此相鄰兩子孔徑重疊區相位并不一致。機械定位誤差補償算法在坐標變換后子孔徑相位分布wi（x,y）（i =1,2,...,N-2）中引入調整誤差補償項、機械定位誤差補償項,采用對所有子孔徑同時優化的最小二乘法擬合出各子孔徑的補償系數來補償機械誤差。

若N為子孔徑個數,w0（x,y）為基準子孔徑相位分布。引入調整誤差補償項、機械定位誤差

補償項的相位分布可記為［17］：

式中,P是z方向的平移系數,Tx、Ty分別是x、y方向子孔徑的傾斜系數,Δx、Δy分別是x、y方向子孔徑定位誤差系數,各系數采用最小二乘法擬合,即：

其中

4 實驗驗證

結合本實驗室進行的外直徑468 mm、內直徑202 mm的環形平面鏡鏡面的拋光加工過程,在各次加工迭代過程中以及最終的面形檢測中,應用已搭建的拼接裝置和上述算法對平面鏡進行子孔徑拼接測量實驗。如圖3所示,搭建的拼接檢測系統中檢測平臺可進行二維（傾斜和俯仰）微調,并在平臺上放置可360°連續旋轉的旋轉臺；測量各個子孔徑的干涉儀為Zygo干涉儀,參考面（TF）直徑為150 mm。

子孔徑規劃如圖4,共20個子孔徑。平面鏡放置在旋轉臺上后進行調整,使平面鏡中心在旋轉臺的旋轉軸上。測量第一個子孔徑后,利用MetroPro軟件中Fiducials功能標記其干涉條紋圖中的標記點,并將它們作為其他子孔徑中標記點的初始位置。檢測完所有子孔徑,圖5為其中的一子孔徑的干涉條紋圖。接下來確定每個子孔徑數據中標記點的位置,在每個標記點初始位置上下左右各20個像素的范圍內進行邊緣檢測,其中一個標記點邊緣檢測結果如圖2所示。

各子孔徑數據按檢測平臺自帶的定位的拼接結果如圖6（a）所示,拼接結果中有拼接痕跡,并且最后一個子孔徑與第一個子孔徑重疊處明顯錯開。將子孔徑測量結果和邊緣檢測結果代入到拼接算法中,得到的環形平面鏡初始面形如圖6（b）,PV值為2 663 nm,RMS值為214 nm,拼接結果均利用Data Fill功能填補標記點造成的空白數據。盡管子孔徑的數目較多,圖6（b）仍顯示拼接得到的面形平滑連續；圖6（b）與6（a）相比幾乎看不到拼接痕跡,說明按標記點定位的拼接結果較為準確,進一步驗證了在檢測平臺機械定位精度不高或自身機械運動定位較困難的情況下標記點定位的實用性。

將數據提交給數控加工系統,以此對鏡面進行誤差修正。第一輪加工和第五輪加工后面形檢測結果分別如圖7、8所示,經過五輪加工后RMS值達35 nm,并且中、低頻誤差明顯減少。上述拼接結果均除去加工造成的邊緣效應。將基于提取標記點中心的拼接檢測數據作為每次加工的依據,最終得到較好的加工結果,這間接表明了該方法的有效性,同時在實踐中驗證了該方法的可行性。

5 結論

本文利用圓形標記點中心位置來計算相鄰子孔徑之間坐標變換的方法,采用全局優化的機械誤差補償算法拼接統一坐標系后的各子孔徑數據,為環形平面鏡拋光過程提供了準確的面形數據,最終指導加工出了面形RMS值為35 nm的光學鏡面。實驗驗證了圓形標記點定位和機械誤差補償算法相結合的拼接檢測方法的可靠性,為大口徑平面光學元件的檢測提供了技術基礎,同時也是子孔徑拼接干涉檢測方法在生產實踐中應用的經驗,但是根據標記點中心坐標得到的坐標變換矩陣的精度仍需進一步分析。

［1］KIM C J，WYANT JC.Subaperture test of a large flat on a fast spherical surface［J］.Opt.Soc.Am.，1981，71：15-87.

［2］侯溪，伍凡，楊力，等.子孔徑拼接干涉測試技術現狀及發展趨勢［J］.光學與光電技術,2005,3（3）：50-53. HOU X,WU F,YANG L,et al..Status and development t rend of sub-aperture stitching interferometric testing technique［J］.Opt.Optoelectronic Technology,2005,3（3）：50-53.（in Chinese）

［3］CHEN SH Y,DAIY F.Error reductions for stitching test of large optical flats［J］.Opt.Laser Technology,2012,44（5）：1543-1550.

［4］CHEN SH Y,LIAOW L.Self-calibrated subaperture stitching testof hyper-hemispheres using latitude and longitude coordinates［J］.Optical Society America,2012,51（17）：3817-3825.

［5］張鵬飛，趙宏，周翔，等.采用立體視覺實現子孔徑拼接測量的工件定位［J］.光學精密工程,2010,18（2）：503-511. ZHANG P F,ZHAO H,ZHOU X,et al..Work-piece localization in sub-aperture stitching test based on stereo vision［J］. Opt.Precision Eng.,2010,18（2）：503-511.（in Chinese）.

［6］汪利華，吳時彬，任戈，等.子孔徑拼接檢測光學系統波前機械定位誤差補償算法［J］.光學學報,2012,32（1）：113-118. WANG L H,WU SH B,REN G,et al..Location error compensation algorithm formeasure optical system wave front［J］. Acta Optica Sinica,2012,32（1）：113-118.（in Chinese）

［7］王孝坤，王麗輝，鄧偉杰，等.用非零位補償法檢測大口徑非球面反射鏡［J］.光學精密工程,2011,19（3）：520-528. WANG X K,WANG L H,DENGW J,etal.Measurement of large asphericmirrors by non-null testing［J］.Opt.Precision Eng.,2011,19（3）：520-528.（in Chinese）.

［8］陳一巍，王飛，王高文，等.基于變換的子孔徑拼接新算法［J］.光學學報,2013,33（9）：0912004. CHEN YW,WANG F,WANGGW,etal..New sub-aperture stitching algorithm based on transformation［J］.Acta Optica Sinica,2013,33（9）：0912004.（in Chinese）

［9］ROLAND M,FLORIAN S,CHRISTIAN V,et al..Physicalmarker based stitching process of circular and non-circular interferograms［J］.SPIE,2011,8083：80830Q.

［10］LIN PC,CHEN Y A,CHANG H SH,et al..Aberration compensation and position scanning of a subaperture stitching algorithm［J］.SPIE,2012,8494：84940L.

［11］許策，馬杰，趙全明，等.改進的圓形標志亞像素級中心檢測方法［J］.計算機工程,2013,39（1）：217-220. XU C,MA J,ZHAO Q M,et al..Improved method of sub-pixel centre detection in circlemark［J］.Computer Engineering,2013,39（1）：217-220.（in Chinese）

［12］CANNY JF.A computational approach to edge detection［J］.IEEE Trans,Pattern Analysis and Machine Intelligence, 1986,8（6）：679-698.

［13］YANG J,ZHANG Q.An improved Canny edge detection algorithm combined with steering kernel regression［J］.SPIE, 2013,8768：87687L.

［14］薛麗霞，李濤，王佐成.一種自適應的Canny邊緣檢測算法［J］.計算機應用研究,2010,27（90）：3588-3590. XUE L X,LI T,WANG Z CH.Adaptive Canny edge detection algorithm［J］.Appl.Res.Computers,2010,27（90）：3588-3590.（in Chinese）

［15］殷永凱，劉曉利，李阿蒙，等.圓形標志點的亞像素定位及其應用［J］.紅外與激光工程,2008,37（增刊）：47-50. YIN Y K,LIU X L,LIA M,et al..Sub-pixel location of circle target and its application［J］.Infrared and Laser Engineering,2008,37（Supp.）：47-50.（in Chinese）

［16］HARALICK R M.Digital step edges from zero crossing of second directional derivatives［J］.IEEE Trans,Pattern Analysis and Machine Intelligence,1984,6（1）：58-68.

［17］DONALD G,GREG F,PAUL M.Method for selfcalibrated subaperture stitching for surface figure measurement：USA, 69566572B2［P］.2005.

張敏（1988-）,女,河南杞縣人,博士研究生,2010年于吉林大學獲得學士學位,主要從事光學檢測方面的研究。E-mail：zhangminxiaowei@163.com

楊懷江（1966-）,男,遼寧丹東人,博士,研究員,博士生導師,主要從事紫外光刻技術、光學信息融合、網絡信息安全等方面的研究。E-mail：yanghj@ sklao.ac.cn

隋永新（1970-）,男,吉林長春人,博士,研究員,博士生導師,主要從事超高精度精密光學元件檢測、光學信息融合等方面的研究。E-mail：suiyx@sklao. ac.cn

Subaperture stitching interferometry based on detection ofmarker center

ZHANG Min1,2,SUIYong-xin1*,YANG Huai-jiang1
（1.State Key Laboratory of Applied Optics,Changchun Institute of Optic, Fine Mechanics and Physics,Chinese Academy of Sciences,Changchun 130033,China；2.Uniυersity of Chinese Academy of Sciences,Beijing 100049,China）*Corresponding author,E-mail：suiyx@sklao.ac.cn

The stitching interferometer systemswith larger relativemovementwill show a significantly lower positioning accuracy of subapertures.As a consequence a stitchingmethod based on detection of artificial circularmark center to find the necessary translation between two neighborly subapertures is implemented.Firstly, we take coordinates ofmark centers as themarks′coordinates by which the translation is computed.Then all the subaperture data are unified into the same reference by homogeneous coordinate transformation and the full aperture phase are stitched by usingmechanical system error compensation algorithm.A subaperture stitching process for a 468 mm flatmirror was carried out including surface accuracy tests during the polishing.In this process,subaperture stitching test offered the surface data precisely for polishing,which ensured the surfaceerror converged quickly to a final RMS of 35 nm.The experimental results show that themethod relaxes the precision requirement for subaperture location and can get the full aperture phase for large optical element correctly.

opticalmeasurement；interferometer；subaperture stitching algorithm；marker center

O436.1；TG84

A

10.3788/CO.20140705.0830

2095-1531（2014）05-0830-07

2014-04-15；

2014-07-22

國家科技重大專項基金資助項目（No.2009ZX02205）