隨機結構主動控制系統的魯棒控制研究

王 磊， 譚 平， 趙時運， 陳 剛， 周福霖

( 1. 廣州大學 工程抗震研究中心，廣州 510405； 2. 安徽水利開發股份有限公司，合肥 230031；3. 安徽建工集團有限公司，合肥 230031)

自1972年Yao[1]結合現代控制理論提出結構振動控制概念以來，結構振動控制從理論到應用都取得了很大進展。其中，主動控制作為一種現代化程度最高，更為積極主動的土木工程結構防災策略，受到世界各國學者的廣泛研究。在結構振動控制理論最初的研究中，以經典隨機最優控制理論為代表的主動控制方法多是基于確定性結構模型、在特定激勵時程或隨機激勵模型下進行控制系統設計，由此建立的控制系統控制效果完全依賴于被控對象和外界干擾的數學模型，但在實際中，由于非完備觀測和非完全控制的存在，結構的物理參數難以精確地確定，在結構不確定性因素的干擾下，控制系統的控制性能和穩定性很難得到保證[2]。因此，不確定性系統的魯棒控制問題已成為結構振動控制領域研究的熱點問題之一。但是在以往的控制系統魯棒性研究中，研究者們基于有界不確定性結構模型討論較多[3-9]，對隨機結構模型研究較少。但對于實際結構或多或少都具有一定的隨機性[10]，如果直接以現有不確定性模型魯棒控制理論進行隨機結構的控制設計，其結果將相對保守，造成控制能量的浪費[11]。因此，對于隨機結構的魯棒控制問題值得進一步地深入研究。

本文針對隨機系統的魯棒控制問題進行了一些初步的研究，提出了基于線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequality，LMI)和隨機結構正交展開理論的魯棒H∞控制系統設計方法，該方法以隨機結構正交展開擴階模型為基礎，結合有界實引理和線性矩陣不等式，建立魯棒控制系統，并使得控制系統傳遞函數對不確定性擾動滿足H∞干擾抑制。最后，以某典型隨機框架結構為例，結合概率密度演化方法，比較了不同魯棒H∞控制系統對于隨機響應的控制效果，驗證了本文所述方法的有效性和適用性。

1 隨機結構控制系統模型

1.1 運動方程

對于n自由度隨機結構控制系統，其運動方程為

(1)

1.2 擴階模型

不失一般性，假設式(1)中隨機結構的質量、阻尼和剛度具有下列形式

(2)

(3)

(4)

式中：M0，C0，K0，M′i，M″i，C′j，C″j，K′l，K″l為質量、剛度、阻尼部分的確定性矩陣；θi(i=1,2,…,N1+N2+N3)為結構中服從λi-PDF分布的相互獨立的有限隨機變量， 其隨著λ取值不同，分別具有不同的分布形式， 關于λi-PDF分布的詳細介紹可參閱文獻[15]。

對于式(1)結構響應可基于隨機結構正交展開理論，利用Gegenbauer多項式近似表示為

(5)

把上述式(2)～式(5)代入式(1)，進一步利用Gegenbauer多項式一次和二次遞推關系式，式(1)可轉化為均方殘差最小意義下的確定性擴階系統

(6)

2 基于LMI的魯棒H∞控制器設計

對于式(6)可轉化為如下狀態空間描述

(7)

(8)

對于控制系統式(8)由w(t)～Y(t)的閉環傳遞函數為

(9)

(10)

(11)

求解式(11)即可得到滿足要求的隨機結構魯棒H∞控制系統。

3 隨機結構概率密度演化分析

對于式(1)，在確定性初始條件下，其解存在、唯一且連續的依賴服從λ-PDF分布的隨機參數θ。 根據廣義概率密度演化方程，結構響應X的第j分量Sj和θ的聯合概率密度函數psjθ(sj,θ,t)有[17]

(12)

利用有限差分法[18]求解式(12)即可得Sj概率密度函數

(13)

式中：Ωθ為前述服從λ-PDF分布的結構隨機參數θ的PDF分布區域。

對于結構響應極值的概率分布可以建立相應的偽隨機過程

(14)

Y(τ)=Zext·τ

(15)

式中：τ為偽時間步，利用式(12)及有限差分法數值求解可得

(16)

則相應極值概率密度分布為pZext(z)=pY(y,τ)|τ=1,y=z。

4 仿真分析

取三層框架結構，結構頂層設置AMD控制系統，其剛度、阻尼按最優TMD參數設計[19]，控制力峰值取為25 kN，結構名義模型參數和AMD參數如表1所示。假設結構的一層剛度k1具有隨機性，其概率密度函數如式(17)所示，概率密度曲線如圖1所示。

(17)

結構層間位移是反映結構是否安全的一項重要指標，因此本文以結構層間位移作為AMD系統的控制對象，同時為兼顧考慮控制能量，其輸出矩陣C1，D1，D2定義如下

式中：a1，a2，a3分別為各層層間位移相對重要性系數，其值分別取為1.5，1和2；a4為考慮能量輸入的相應系數，取為1×10-5。

選取圖2所示的El Centro(NS)地震波作為外激勵，其地震動峰值設為0.1g。對于概率密度演化方法(PDEM)選取5個概率代表點進行計算，其計算結果如圖3～圖5和表2～表4所示。

表1 名義結構參數

圖1 概率密度曲線Fig.1 PDF curve

圖2 地震動時程曲線Fig.2 Time histories of El Centro

圖3和圖4分別給出了隨機結構一層層間位移響應的均值和標準差，其他各層響應均值、標準差和均方根如表2所示。通過對前述圖表分析可以發現：①概率密度演化方法與蒙特卡羅法計算結果差異較小(以無控結構響應為例)，說明概率密度演化方法具有較好的計算精度；②三種控制系統對于隨機結構響應均值、標準差和均方根都有較好的控制效果，在整個時程范圍內，控制系統都將隨機結構響應的概率密度限定在較小的區間內進行演化，減小了響應的離散性。

圖3 一層層間位移響應均值Fig.3 The mean of the inter-story drift of the first floor

圖5(a)和表3、表4分別給出了結構層間位移響應峰值的概率密度分布和相應的數字特征。通過對表3分析可知除二層響應峰值標準差外，控制系統對于結構響應峰值均值、標準差和均方根都具有較好的控制效果，再結合圖5(a)分析可知，雖然控制系統放大了二層響應峰值的標準差，但由于控制系統降低了響應峰值的均值，因此仍增大了結構的動力可靠性。對表4中響應峰值變異系數的比較可以發現，雖然控制系統增大了峰值響應的變異性，但控制力減小了各層響應峰值變異系數的差異性，即剛度的隨機性對于結構響應峰值的影響更為均勻。

圖4 一層層間位移響應標準差Fig.4 The standard deviation of the inter-story drift of the first floor

圖5 El Centro 波作用下極值概率密度曲線Fig.5 The probability density curves of the extreme value of the structure under El Centro earthquake

通過前述分析可以看出三種魯棒H∞控制系統都能有效抑制隨機結構響應，即控制系統對于結構的隨機性具有較好的魯棒性。為了進一步的比較各控制系統的差異，以下將以均方根作為控制指標進行比較。因為在隨機結構控制系統設計中，隨機響應的均方根相較于均值和標準差，能更為全面的反應控制系統的控制效果而常作為設計者們關注的重點。從表2和表3中可以看出，對結構一、二兩層層間位移響應和響應峰值，AMD3具有僅次于AMD2的控制效果。而對結構頂層響應，AMD1控制效果最優，AMD2和AMD3次之且控制效果差異較小。再結合圖5(b)分析可知在整個控制過程中，AMD2所需控制能量最多，AMD3最少，即AMD3以最少的控制能量取得了優于AMD1的控制效果。

通過如上比較分析可以發現，在三種AMD控制系統中，AMD1控制效果的魯棒性相對較差；而AMD2設計相對保守，需要較大的控制能量以保證控制系統的控制效果；本文所述方法設計的AMD3以最少的控制能量較為理想的抑制了隨機結構響應，控制效果魯棒性較好。

表2 El Centro波作用下隨機結構層間位移響應

表3 El Centro波作用下隨機結構層間位移響應峰值

表4 響應峰值的變異系數

5 結 論

本文以隨機結構的正交展開擴階模型為基礎，結合線性矩陣不等式(LMI)和概率密度演化方法，研究了隨機結構的魯棒H∞控制問題，得到了以下一些主要結論：

(1) 相較于無控系統，三種魯棒H∞控制系統對于結構層間位移響應均值、標準差和均方根都具有較好的控制效果，在整個時程范圍內，控制系統都將隨機結構響應的概率密度限定在較小的區間內進行演化，減小了響應的離散性。

(2) 三種魯棒H∞控制系統都能夠有效地抑制結構層間位移響應峰值，在增強結構的可靠性的同時，減小了結構各層響應峰值變異系數的差異，從而使得剛度的隨機性對于響應峰值的影響更為均勻。

(3) 以結構名義模型設計的控制系統，由于忽略了結構參數的隨機性，其魯棒性相對較差；而以結構最不利狀態設計的控制系統，因為設計的保守性，在控制過程中需要以較大的能量來保證控制系統的控制效果；本文所述方法設計的控制系統以合理的控制能量利用效率較為理想的抑制了隨機結構響應，控制系統魯棒性較好。