無界區域上具有記憶項的隨機波動方程的拉回吸引子的存在性

韓英豪，于吉霞，王宏全

(遼寧師范大學數學學院，遼寧大連 116029)

本文將考慮如下在無界區域R3(n≤3)上具有線性記憶項和可加噪聲的隨機波動方程

式中，α和λ為正常數，g∈L2(Rn)，h∈H1(Rn)。非線性項f滿足特定的增長率和耗散條件。隨機變量ω是一個獨立的雙邊實值Wiener過程。積分項為線性記憶項。假設k(0)，k(∞)＞0。并且，對?s∈R+，k'(s)＜0。為了便于處理記憶項，不失一般性，假設k(∞)=1。

V.Pata和A.Zucchi在文獻［1］中對具有記憶項的確定性方程證明了指數吸引子的存在性。B.Wang在文獻［2-3］中對沒有記憶項的隨機波動方程證明了隨機吸引子的存在性。本文將對上述具有線性記憶項的隨機波動方程證明其拉回吸引子的存在性。

1 預備知識

定義1 如果一個映射θ:R+×Ω→Ω為(B(R)×F，F)-可測，θ(0，·)為在Ω上的恒等映射，對?s，t∈R，θ(s+t)= θ(s)?θ(t)，并對所有的 t∈R 有 θ(t)P=P，則稱(Ω，F，P{θ(t)}t∈R)為一個度量動力系統。以下把θ(t)簡記為θt。

定義2 如果一個映射Φ:R+×Ω×X→X;X(t，ω，x)→Φ(t，ω，x)為(B(R)× F × (B(x)，B(x))-可測，并且，對?ω∈Ω，滿足條件:

(ⅰ)Φ(0，ω，·)為在X上的恒同映射;

(ⅱ)Φ(t+s，ω，·)= Φ(t，θsω，Φ(s，ω，·))，?t，s∈R+;

(ⅲ)對?t∈R+，Φ(t，ω，·):X→X 為連續映射;

則稱Φ為在X上的關于度量動力系統θt的一個隨機動力系統。如果Φ(·，ω，·):R+×X→X是連續的，則稱Φ為連續的隨機動力系統。

設D為X上的一些隨機集合D={D(ω)}ω∈Ω構成的集族。對任意 D={D(ω)}ω∈Ω∈D，以及 X 的任意隨機集合 ?D={?D(ω)}ω∈Ω，如果對?ω∈Ω，有 ?D(ω)?D(ω)時，可推出 ?D∈D，那么稱D為關于包含關系是封閉的。設K={K(ω)}ω∈Ω∈D。如果?B∈D，ω∈Ω，存在 tB(ω)＞0，當 t≥tB(ω)時，Φ(t，θ-tω，B(θ-tω))?K(ω)，則稱K為Φ的一個D-拉回吸收集。

定義3 設D是X的隨機集合構成的集族，如果對 B={B(ω)}ω∈Ω∈D，當 tn→∞時，對每個ω∈Ω，有 xn∈B(θ-tnω)，那么在X中存在收斂子序列。則稱Φ在X上是D-拉回漸進緊的。

定義4 設D是X的隨機集合構成的集族，A={A(ω)}ω∈R∈D。如果

(ⅰ)對?ω∈R，A(ω)是緊的;

(ⅱ)A是關于Φ 不變的，即 Φ(t，ω，A(ω))=A(θtω)，?t≥0，ω∈Ω;

(ⅲ)A吸引D的任意隨機集合，即對?{D(ω)}ω∈Ω∈D，有 limt→∞d(Φ(t，ω-t，D(ω-t))，A(ω))=0;

則稱A為Φ的D-拉回吸引子，其中d為X的Hausdorff半度量。

定理1［4］設D是X的關于包含關系是封閉的隨機集合構成的集族，Φ是在X上一個連續的隨機動力系統。假設Φ存在閉的D-拉回吸收集

2 隨機動力系統

K={K(ω)}ω∈Ω，并且Φ在X中是D-拉回漸進緊。那么，Φ存在唯一D-拉回吸引子

本節首先通過一系列的變量替換把方程化成容易處理的具有隨機參數的確定方程形式，然后給出方程所需的各種條件，最后確定相空間及其方程所對應的隨機動力系統。

假設ω為在完備概率空間(Ω，F，P)中的一個獨立雙邊實值Wiener過程，其軌道ω(·)屬于C(R，R)，且 ω(0)=0。在(Ω，F，P)中的保測度轉移算子定義為

θtω(·)=ω(· +t)-ω(t)，ω∈Ω，t∈R。那么，(Ω，F，P，(θt)t∈R)為一個度量動力系統。對于某一Rn×R上給定的初始函數u0(x，s)，對s≤0令u(s)=u0(s)。那么，通過變換

對方程中的確定性外力項和隨機外力項施加如下假設:

對記憶核，假設μ屬于C1(R+)∩L1(R+)，并滿足條件:

我們把相空間定義為H:=H1(Rn)×L2(Rn)×M1(Rn)。采用與文獻［5］類似方法可以證明，方程(3)在上述假設(H0)-(H2)，(F1)-(F4)下在相空間H中的適定性。也就是說，對概率為1的ω∈Ω，?τ∈R，T＞τ和任意初始條件ω0:=(u0，v0，η0)∈H，方程組(3)有唯一的弱解 w(t)=w(t，τ，θrω，w0):=(u(t，τ，ω)，v(t，τ，ω)，η(t，τ，ω))∈C(［τ，T)，H)滿足 w(τ，τ)=w0。弱解在 H 中關于初始條件是連續的。

隨機波動方程(3)確定的隨機動力系統Φ是一個映射:Φ:R+×Ω ×H→H，對任意(t，ω，w0)∈R+×Ω ×H→H，定義為那么，Φ 是關于(Ω，F，P，(θt)t∈R)的一個連續隨機動力系統。對?ω∈Ω，t≥0和w0∈H，有

下面給出本文的主要結果。

定理1 假設(H0)-(H2)和(F1)-(F4)成立。那么，方程(3)確定的隨機動力系統Φ在H上存在唯一隨機D-拉回吸引子{A(ω)ω∈Ω。

3 解的一致估計

下面假設定理1的假設成立。另外，用符號c來表示正常數，其值在具體場合都不同，可以通過上下文來確定。用c(δ)來表示依賴于參數δ的正常數。

4 隨機吸引子

定理1的證明 由式(29)可知，Φ存在一個閉隨機吸收集 E={E(ω)}ω∈Ω，由引理4可知，在H中是D-拉回漸進緊的。因此，根據定理1，隨機動力系統Φ在H上存在唯一D-拉回吸引子。

［1］PATA V.Attractors for a damped wave equation on with linear memory［J］.Adv.Math.Sci.Appl，2000，23(7):633-653.

［2］WANG B.Asymptotic behavior of stochasticwave equations with critical exponents on R3［J］，Transactions of The American Mathematical Society.2011，363(7):3639-3663.

［3］WANG B.Random attractors for wave equations on unboundeddomains［J］.Discrete and Continuous Dynamical Systems，2009，4(1):800-809.

［4］WANG B.Pullback attractors for non-autonomous Reaction-Diffusionequations on［J］.Frontiers of Mathematics in China，2009，4(3):563-583.

［5］FEILRESL E.Attractors for semilinear damped wave equations on［J］.Nonlinear Analysis:Theory，Methods Applications，1994，23(2):187-195.

［6］韓英豪，賀亞靜.RN上具有記憶項的非自治反應擴散方程的拉回吸引子的存在性［J］.遼寧師范大學學報，2012，35(4):441-448.

(責任編輯 鄒永紅)