采用輸出誤差符號判決的變步長常數模盲均衡

肖 瑛，阮 睿，李春杰

(1.大連民族學院 信息與通信工程學院，遼寧大連 116605;2.大連理工大學電子信息與電氣工程學部，遼寧大連 116024;3.中南民族大學電子信息工程學院，湖北武漢430074)

盲均衡技術具有不需要訓練序列即可實現信道補償和跟蹤的性能，消除碼間干擾的同時可以有效節省通信帶寬，并可防止均衡器失鎖［1］。未來高速通信發展對通信質量和通信效率將具有更高的要求，盲均衡技術在未來通信中具有潛在應用價值。目前為止，各類盲均衡算法中，常數模算法(Constant Modulus Algorithm，簡稱CMA)是最簡單和穩健的一種實用算法［2］。但是由于CMA算法本質上屬于梯度下降算法，學習步長值對算法性能具有重要影響，固定步長的CMA盲均衡算法在收斂速度和收斂精度上存在矛盾，解決這一問題的有效方法就是采用變步長 CMA算法［3］。現有變步長CMA算法均是設置步長增益因子在算法迭代過程中對步長進行適時調整，而步長增益因子的計算依賴于均衡器的輸出誤差，即步長增益因子利用均衡器輸出誤差的某種非線性變換進行控制，這就需要人為設置一些合理的控制參數，一旦控制參數選擇不合理，嚴重影響算法性能。在時變信道的均衡中，由于信道環境的變化，尤其是某種突發變化，原有設置合理的步長增益因子控制參數可能會在信道變化后并不合理，而且控制參數選擇本身就缺乏理論依據。本文在分析現有變步長盲均衡算法的基礎上，提出了一種采用輸出誤差符號判決的變步長常數模盲均衡算法，算法無需人工設置步長因子控制參數，算法簡單，易于實現。在電話信道和混合相位信道條件下利用計算機仿真對方法的性能進行了驗證，同時，利用信道傳輸路徑變化模擬信道突發干擾，進一步驗證了算法的穩定性。

1 CMA盲均衡

CMA盲均衡是Bussgang類盲均衡算法的一個特例，由Godard和Treichler等人提出，非常適合具有恒定包絡的發射信號的均衡。在Godard算法中設置參數p=2即為CMA算法。如圖1是CMA盲均衡的簡單的離散信道和均衡器的等效基帶模型［4］。

圖1 CMA盲均衡基本原理框圖

圖1中發射信號x(n)經信道h(n)并疊加高斯白噪聲n(n)，在均衡器w(n)前得到觀測信號序列y(n)，盲均衡的本質就是在發射信號x(n)和信道h(n)未知的情況下，僅根據觀測信號y(n)利用均衡器實現對發射信號x(n)的恢復，恢復信號?x(n)利用判決器G(.)進行判決恢復原始發送源符號序列的估計。Bussgang類盲均衡算法是通過對均衡器的輸出進行某種非線性變換，這一非線性變換滿足 Bussgang過程，CMA是Bussgang類算法的一個特例，其代價函數為［5］

從CMA算法代價函數中可以看出，CMA算法間接利用信號的高階統計量，常利用梯度下降算法實現均衡器權系數的迭代更新。根據隨機梯度下降算法原理，CMA盲均衡器權系數更新公式可以寫為

2 變步長CMA盲均衡

收斂速度和收斂精度是評價盲均衡算法性能的兩個重要指標，對于采用隨機梯度下降算法的CMA盲均衡而言，學習步長的選取對于算法的性能有重要影響。在固定步長情況下，CMA盲均衡算法的收斂速度和收斂精度難以同時保證，較大的步長值可以獲得較快的收斂速度，但是收斂后穩態剩余誤差大，較小的步長值可在收斂后獲得較小的穩態剩余誤差，但是收斂速度慢，即固定步長的CMA盲均衡算法在收斂速度和收斂精度上存在著固有的矛盾。變步長盲均衡算法的基本原理是在均衡初始階段利用較大的步長值獲得較快的收斂速度，隨著算法的迭代逐步減小步長值，實現獲得較高收斂精度的目的，從而算法性能在較大步長值和較小步長值之間取得折中。變步長CMA盲均衡的均衡器權值迭代公式可以在式(5)的基礎上進行修改得到

其中γ(n)為步長增益控制函數，并且有1≥γ(n)＞0。γ(n)控制著步長的變化比例，變步長CMA盲均衡算法的關鍵就是調整γ(n)來實現對步長值變化的控制，理想的步長增益γ(n)應該滿足在初始情況下γ(n)→1，隨著算法的迭代收斂，γ(n)逐漸趨于0。

在目前已有的變步長算法中，大多是根據均衡器的輸出誤差的某種非線性變換來控制步長增益 γ(n)，典型的幾種算法包括［7－8］:

在上述變步長算法中 α，β，Vth，ρ，C0均為待定參數，需要人工經驗設置，e(n)表示誤差信號，σx為輸入信號的標準差，E［.］表示數學期望。宋等人在對現有變步長算法的基礎上進行了理論分析，指出上述變步長算法都難以保證初始情況下步長增益γ(n)→1的條件，并提出了一種新的變步長算法［9］，算法的步長因子計算公式為

式中c為經驗常數。在CMA盲均衡算法中，式(12)中的期望輸出d(n)可以用常模R2代替，這種方法可以保證在算法初始階段γ(n)→1，并且滿足變步長算法步長變化規則的需求。

分析上述變步長算法可以看出，步長增益因子γ(n)的控制函數里均包含的誤差或者輸出信號的功率等參數，并且在非線性變換中常需設置一些調整參數。由于自適應算法在迭代過程中逐次接收的數據樣本往往非常有限，并且通信信道常常伴隨噪聲干擾，這使得在迭代過程中逐次估計輸出誤差和信號的功率等信息時得不到準確信息，非線性變換過程中需要人為設置的參數往往不具有通用性，即對不同的通信信道條件，這些參數往往不同。在此基礎上，文中設計了一種新的變步長CMA盲均衡算法，步長控制增益因子γ(n)不依賴于接收信號和誤差信號的信息進行調整，并且無需額外設置調整參數，算法步長因子計算公式如下:

式(13)中，ρ為最大步長值對應的數量級，η為在CMA準則和DD準則下輸出誤差符號的一致性次數與迭代次數的比值。DD盲均衡算法的代價函數為

令DD盲均衡算法的誤差函數為

則在DD盲均衡算法均衡器的更新公式為:

如果盲均衡算法收斂，則根據CMA準則和DD準則計算的誤差具有一致性，因此可以利用eDD(n)與e(n)的符號是否一致來判斷均衡器輸出信號的星座圖是否打開，即算法是否收斂。變步長盲均衡算法在收斂后，需要較小的步長獲得較高的收斂精度，因此可以利用eDD(n)與e(n)符號一致的頻次來判斷算法是否收斂，在這一思想設計的變步長盲均衡算法中的步長增益因子控制參數為

式中N為當前迭代次數。根據步長增益因子γ(n)的定義以及CMA準則和DD準則在盲均衡算法中的誤差性質，可以得到新的變步長CMA盲均衡算法

根據式(18)定義的變步長調整原則，如果在CMA準則和DD準則計算誤差符號一致，那么對應的控制步長增益因子γ(n)的參數η的頻次加1，并且步長值進行在γ(n)作用下減小。否則，認為算法尚未收斂，保持最大步長值進行均衡器權系數調整，以獲得較快的收斂速度。隨著均衡算法的迭代收斂，eDD(n)與e(n)的符號一致頻次越來越高，完全收斂后達到一致，在此過程中，步長值隨著誤差符號一致頻次逐漸減小，實現獲得高收斂精度的目的。

由輸出誤差符號判決的變步長常數模盲均衡算法步長的變化控制參數中可以看出，步長值的調整不依賴于誤差的非線性變換，步長增益因子γ(n)的控制參數ρ和η均可以在程序中計算，并且在算法初期可以保證γ(n)=1，無需人工設置。由于當誤差符號不一致時，步長值自動切換到大步長值，因此算法在信道突發干擾的情況下依然可以保持快速收斂。

3 計算機仿真

為驗證輸出誤差符號判決的變步長常數模盲均衡算法，利用仿真電話信道和混合相位信道進行仿真實驗。發送信號采用等概率二進制序列生成，經QPSK調制，仿真電話信道的基帶沖激響應為

混合相位信道的基帶沖激響應為

接收觀測信號疊加零均值帶限高斯白噪聲，信噪比SNR=20dB，均衡器長度為32。定義剩余碼間干擾ISI來對算法性能進行評價［10］:

圖2 電話信道下仿真結果

圖3 混合相位信道下仿真結果

其中，Ci為信道與均衡器的聯合沖激響應。兩種信道條件下的仿真結果分別如圖2和圖3。為進一步驗證算法對抗信道突發變化的適應性能，在算法迭代至5000次時，利用混合相位信道反射路徑反相模擬信道突發干擾，即信道模型由hM切換至:利用誤差符號判決的變步長常數模盲均衡算法獲得仿真結果如圖4，對應的步長值的變化如圖5。

圖4 突發干擾信道仿真

圖5 步長值變化趨勢曲線

由圖2和圖3種可以看出，文中提出的誤差符號判決的變步長常數模盲均衡算法在收斂初期可以獲得與大步長接近的收斂速度，收斂后可以獲得更高的收斂精度。從圖4和圖5中可以看出，在信道發生突發變化情況下，步長可以迅速調整到大步長值，保證算法快速收斂并可在收斂后具有較高的收斂精度。

4 結語

文中在對現有變步長算法分析的基礎上，提出了一種誤差符號判決的變步長常數模盲均衡算法，步長增益因子由最大步長值的數量級以及在CMA準則和DD準則下計算得到的誤差符號一致性的頻數來控制，因此誤差符號判決的變步長盲均衡算法的步長調節過程中無需人工設置額外參數，具有更為廣泛的適用性。根據對步長增益因子的分析，文中提出的步長增益因子在初期為1，隨算法迭代過程逐步下降，且當信道突發變化時可迅速轉入大步長值進行均衡器權系數更新，因此滿足變步長算法要求的理想步長增益因子需求，計算機仿真結果驗證了算法的有效性。

［1］HWANG K，CHOI S.Blind equalizer for constantmodulus signals based on Gaussian process regression［J］.Signal Processing，2012，92(6):1397 －1403.

［2］DEMISSIE B，KREUZER S.Performance predictions for parameter estimators that minimize cost－functions using wirtinger calculus with application to CM blind equalization ［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2011，59(8):3685－3698.

［3］周俊，劉鵬，曹素芝，等.改進的變步長抖動符號誤差常數模算法［J］.儀器儀表學報，2011，32(3):701－706.

［4］黃蕾，楊綠溪.一種新的基于統計測度的變步長CMA盲均衡算法［J］.數據采集與處理，2003，18(1):62－65.

［5］NEVES A，PANAZIO C.A class of channels resulting in Ill－convergence for CMA in decision feedback equalizers［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2010，58(11):5736－5743.

［6］肖瑛，董玉華.并聯濾波的常數模與判決引導融合盲均衡算法［J］.聲學學報，2012，37(5):495－500.

［7］高鷹，謝勝利.一種變步長LMS自適應濾波算法及分析［J］.電子學報，2001，29(8):1094－1097.

［8］HYUN－CHOOL S，ALI H S，WOO －JIN S.Variable Step － Size NLMS and Affine Projection Algorithms［J］.IEEE Signal Processing Letters，2004，11(2):132 －135.

［9］宋彥，汪萌，戴禮榮，等.一種新的變步長自適應濾波算法及分析［J］.電路與系統學報，2010，15(4):70－74.

［10］CHEN S，COOK TB，ANDERSON LC.A comparative study of two blind FIR equalizer［J］.Digital Signal Processing，2004，14(1):18 －36

(責任編輯 劉敏)