基于二階壓控電路的互補型四階壓控濾波器

劉紅周, 吳 清, 崔 立, 周 斐, 葛一敏, 謝能達

(華東理工大學 機械與動力工程學院， 上海 200237)

0 引 言

常見的濾波器類型有巴特沃斯濾波器和切比雪夫響應濾波器等[1-2]。這些濾波器各有特點和優缺點，如巴特沃斯濾波器輸出在通帶很平緩，但當階數低時，幅頻特性輸出曲線在通帶下降過早[3]。再如Ⅰ型切比雪夫濾波器輸出阻帶下降快，但在通帶有波紋[3-5]。實際中根據需要選擇不同性能的濾波器。本文以二階壓控電路為基礎進行濾波器的改進設計。

1 互補型濾波器的原理

1.1 二階壓控電路

本文設計的濾波器是以二階壓控電路為基礎，電路原理參見圖1[6]。它由兩節RC電路串聯(R1C1和R2C2)和一節放大電路(R3R4)組成，其中同相放大環節的放大倍數即為濾波器的通帶增益AF，即：AF=1+R4/R3[7]。由圖1：當R1=R2=R，C1=C2=C時，根據基爾霍夫定律可以推導出濾波器歸一化的傳遞函數[6,8]為：

H(s)=AF/[s2+(3-AF)s+1]

其中，s=j(ω/ω0)[6]。

圖1 二階壓控電路原理圖

1.2 二階壓控濾波器的傳輸特性分析

由歸一化傳遞函數H(s)可以推導出該系統的幅頻輸出函數為：

A(x)=|H(s)|/AF=

式中：x=ω/ω0,x是無量綱頻率或歸一化頻率[5]，ω0為截止角頻率。為使系統穩定，通帶增益AF必須小于3,所以1≤AF<3,暫定AF=2。繪出濾波器的幅頻特性曲線，如圖2所示。由圖可以看出,在通頻帶，輸出曲線并不平滑，而是有一凸峰,這樣的濾波效果并不理想，會引起通頻帶信號的失真。在通頻帶，理想的情況是A(x)=1，當A(x)>1時，過盈失真；A(x)<1時，則產生不足失真。圖3為通過改變增益AF觀察到的曲線的變化趨勢,圖中各曲線對應AF的系列值分別為：1.0, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0, 2.2。從圖3可看出，當AF≈1.6，輸出曲線通帶最平滑，但AF=0.5ω0A(x)快速下降，產生不足失真;當AF>1.6時，A(x)開始出現過盈失真并隨AF增大而增大；AF<1.6時,則出現嚴重的不足失真。以上兩種情況中，過大的過盈失真和不足失真都會使原始信號在通頻帶產生較大失真，這不是我們希望的。但如果轉化思路，將這兩缺陷結合起來，讓它們形成互補，是否可以得到效果更好的濾波器呢？

圖2 二階壓控輸出幅頻特性曲線 圖3 二階壓控輸出隨 AF變化曲線

1.3 互補型四階壓控濾波器

本文構造一個四階壓控濾波系統，如圖4所示。圖中，最后一個同相增益環節1/(AF1AF2)是為了平衡前兩個環節的增益系數AF1和AF2。寫出它的歸一化傳遞函數為：

圖4 四階壓控濾波系統原理圖

H(s)=[(s2+(3-AF1)s+1)×

(s2+(3-AF2)s+1)]-1

A(x)={[(1-x2)2+(3-AF1)2x2]×

[(1-x2)2+(3-AF2)2x2]}-1

AF1和AF2分別有一系列的取值，對應著不同的輸出幅頻特性。經過試驗，AF1=1,AF2=2.4是一組便于計算且效果較好的取值組合。此時，A(x)-x的圖像如圖5所示。

圖5 濾波器幅頻特性輸出圖

1.4 四階互補壓控濾波器性能(優缺點分析)

在A(x)表達式中，令A(x)=0.707,解得x=1.07,所以濾波器的截止頻率不是ω0而是ωf=1.07ω0,比ω0稍大。由A(x)圖像看出，通帶中存在波紋，這點是該濾波器的缺陷。當AF1=1,AF2=2.4時，波紋較小，最大波紋處：A(x)max=1.02，即通帶有2%的波紋。而它的優點，可以將它與四階巴特沃斯濾波器和四階切比雪夫濾波器作對比來說明，具體如下：

(1) 與巴特沃斯濾波器對比。巴特沃斯低通響應是最平坦的響應[5]，它能夠最大化濾波器的通帶平坦度[3],然后慢慢衰減，這是它的優點。但巴特沃斯濾波器在通帶內幅度特性是單調下降的，如果階次一定，則在靠近截止頻率處，幅度下降很多[2]，即通帶衰減的過早，這是它的缺陷。四階巴特沃斯傳遞函數[9-11]為：

繪出它與本文濾波器的幅頻輸出對比，見圖6。可以看出，同是四階濾波器，本文濾波器的衰減比巴特沃斯濾波器的晚。為了更準確地對比描述，考慮到兩種濾波器在阻帶的性能基本相同，著重分析通帶的情況，見圖6(b)。假設在通帶可以接受的最大波動程度是±2%，那在圖中，縱坐標0.98就是函數下降的臨界值，低于它就可以看做不足失真；與其對應的橫坐標為x0，0～x0稱為復現帶寬。從圖6(b)可以看出，巴特沃斯濾波器的復現帶寬大小為0.68，四階互補型濾波器為0.88，可見四階互補相比于四階巴特沃斯在通帶復現帶寬上有所提升，而且衰減得慢。另外,也可以看出，在x取值大于0.68的區間內，A(x)|互補>A(x)|巴特活斯，即互補型濾波器比巴特沃斯濾波器在通帶的信號失真要少。

(a) 對比圖

(b) 通帶放大圖

(2) 與切比雪夫濾波器對比。切比雪夫濾波器也是一種常用的濾波器，它的特點是在過渡帶比巴特沃斯濾波器的衰減快，但在通頻帶內存在幅度波動，幅頻特性不如后者平坦[5]。所以它的缺陷和本文的互補型濾波器是一樣的。第一類切比雪夫濾波器的平方幅頻響應表達式[5,14]為：

N=4時的切比雪夫多項式:

T4(Ω)=8x4-8x2+1

將四階切比雪夫濾波器和本文四階互補濾波器幅頻輸出作對比，如圖7所示。

圖中的切比雪夫濾波器的通帶波紋也為2%(ε=0.2)。從圖中可以看出，同為四階，互補型濾波器相比切比雪夫濾波器在濾波性能上大致相同。但本文互補型濾波器在原理及電路結構上比較簡單，所以設計起來比較方便。

1.5 濾波器參數的選擇

由圖1可知，二階壓控電路的參數主要有兩級RC電路中的R1、R2和C1、C2與放大電路的R3和R4。其中，為了方便設計和計算，取R1=R2=R，C1=C2=C，具體值可由截止角頻率公式ωf=1.07ω0和ω0=1/RC確定。需要注意的是，所取電容值不宜過小，否則容易受雜散電容影響導致電路工作不穩定[6]。而R3和R4則跟通帶增益AF有關，可根據AF=1+R4/R3來確定。如圖8中所示，濾波器由兩級二階壓控電路組成，一級電路中，假設截止頻率f0=1.07 Hz，可求出R1=R2=16 kΩ,C1=C2=10 μF。兩級電路中參數的不同之處就在通帶增益AF上，其他參數均相同。所以R3=R4=R1=R2,C3=C4=C1=C2。AF1=1,AF2=2.4時效果最好，此時對于波紋為2%。所以一級放大電路不需要電阻；二級電路放大環節中，R6=10 kΩ,R7=14 kΩ,AF2=1+R7/R6=2.4。最后，再加一級比例縮小電路R8和R9，來平衡前兩個環節的增益系數AF1和AF2。

圖7 四階互補與切比雪夫濾波器輸出對比

2 電路實現與仿真

為了驗證濾波器的可行性，在仿真軟件Multisim中做了仿真，如圖8所示。

運放選用LM358。參數選擇：R1=R2=R3=R4=16 kΩ,C1=C2=C3=C4=10 μF。截止頻率f0=1.07/2πRC=1.07 Hz。一級二階壓控電路放大倍數AF1=1，二級電路AF2=1+R9/R5=2.4。采集信號從Input輸入，濾波信號從Output輸出。實驗源數據采集自齒輪箱轉動的軸心位移數據，仿真結果如圖9所示。可以看出，該電路是有很好地濾波效果的。

圖8 四階互補濾波器實現電路

(a) 源數據

(b) 濾波輸出

圖9 濾波結果對比圖

3 結 語

本文改進設計了一種新型四階互補型濾波器。相比同樣階數的其他濾波器如巴特沃斯，通帶復現帶寬提升了14%(波紋2%的情況下)，與同階數切比雪夫濾波器的性能大致相同，但原理及電路結構較切比雪夫濾波器簡單[15]。因此它具有通道內復現帶寬大、輸出衰減延遲、通帶信號衰減較少、原理簡單、設計簡便的優點。考慮到通帶的紋波，此方法適用于允許通帶輸出有小幅波動的情況中。本文濾波器電路設計簡單、方便，設計時兩通帶增益取AF1=1,AF2=2.4，只要根據截止頻率計算出R和C即可完成設計，實際中有一定的參考價值。

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